1、1课时跟踪训练(十五) 导数与函数的单调性基础巩固一、选择题1已知函数 f(x) x22cos x，若 f( x)是 f(x)的导函数，则函数 f( x)的图象大致是( )解析 设 g(x) f( x)2 x2sin x， g( x)22cos x0，所以函数 f( x)在 R上单调递增答案 A2若幂函数 f(x)的图象过点 ，则函数 g(x)e xf(x)的单调递减区间为( )(22， 12)A(，0) B(，2)C(2，1) D(2,0)解析 设幂函数 f(x) x ，因为图象过点 ，所以 ， 2，所以(22， 12) 12 (22)f(x) x2，故 g(x)e xx2，令 g( x)e
2、 xx22e xxe x(x22 x)0)的单调递增区间为( )A. B(0，2a) (2a， )C. D(， a)( ，2a)解析 由 f( x) a0，得 00， f( x)1 .要使函数 f(x) x alnx不是单调函数，则需ax方程 1 0 在 x0上有解，所以 a2，则 f(x)2x4 的解集为( )A(1,1) B(1，)C(，1) D(，)解析 由 f(x)2x4，得 f(x)2 x40.设 F(x) f(x)2 x4，则 F( x) f( x)2.因为 f( x)2，所以 F( x)0在 R上恒成立，所以 F(x)在 R上单调递增，而 F(1) f(1)2(1)42240，故
3、不等式 f(x)2 x40 等价于 F(x)F(1)，所以 x1，选 B.答案 B二、填空题7函数 f(x) x2 ax3 在(1，)上是增函数，则实数 a的取值范围是_解析 f( x)2 x a， f(x)在(1，)上是增函数，2 x a0 在(1，)上恒成立3即 a2 x， a2.答案 (，28已知函数 f(x)(xR)满足 f(1)1，且 f(x)的导数 f( x)1，即 x(，1)(1，)答案 (，1)(1，)9已知函数 f(x) ax x3，若对区间(0,1)上的任意 x1， x2，且 x1x2 x1成立，则实数 a的取值范围是_解析 问题等价于函数 g(x) f(x) x在区间(0
4、,1)上为增函数，即 g( x) a13 x20，即 a13 x2在(0,1)上恒成立，即 a4，所以实数 a的取值范围是4，)答案 4，)三、解答题10已知函数 f(x) ln x ，其中 aR，且曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的x4 ax 32切线垂直于直线 y x.12(1)求 a的值；(2)求函数 f(x)的单调区间解 (1)对 f(x)求导得 f( x) ，由 f(x)在点(1， f(1)处的切线垂直于14 ax2 1x直线 y x知 f(1) a2，解得 a .12 34 54(2)由(1)知 f(x) ln x ，则 f( x) .x4 54x 32 x2 4x 54x
5、24令 f( x)0，解得 x1 或 x5.因为 x1 不在 f(x)的定义域(0，)内，故舍去当 x(0,5)时， f( x)0，故 f(x)在(5，)内为增函数综上， f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)能力提升11已知函数 f(x) xsinx， xR，则 f ， f(1)， f 的大小关系为( )(5) ( 3)A f f(1)f(3) (5)B f(1)f f(3) (5)C f f(1)f(5) ( 3)D f f f(1)(3) (5)解析 由 f( x)( x)sin( x) xsinx f(x)，知 f(x)是偶函数f( x)sin x xcosx，当 00
6、，所以 f(x)在(0， )上为增函数又2 20f(1)f .故选 A.(3) (5)答案 A12(2017湖北华北师大附中模拟)若 f(x)e x ae x为偶函数，则 f(x1)0，即 f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，且图象关于 y轴对称由 f(x1)0)ax 2x2 a 6 x ax设 g(x)2 x2( a6) x a(x0)，因为函数 f(x)在(0,3)上不是单调函数，等价于函数 g(x)2 x2( a6) x a(x0)在(0,3)上不会恒大于零或恒小于零又 g(0) a， g(3)4 a，所以Error!解得 03 时， g( x)0，当 x0，所以 exf
7、(x)e x(x22)在 R上单调递增，故 f(x) x22 具有 M性质故填.答案 15(2015全国卷改编)已知函数 f(x)ln x a(1 x)(1)讨论 f(x)的单调性；(2)若 f(x)在(2，)上为单调函数，求实数 a的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)， f( x) a.若 a0，则 f( x)0， f(x)在1x6(0，)上单调递增；若 a0，则当 x 时， f( x)0；当 x 时， f( x)(0，1a) (1a， )0时 f(x)在 单调递增，在 单调递减(0，1a) (1a， )(2)由(1)知，当 a0 时， f(x)在(0，)上单调递增，符合要求；当
8、 a0时， f(x)在 上单调递减，则 2 ，即 a .实数 a的取值范围是(，0 .(1a， ) 1a 12 12， )16(2016全国卷)已知函数 f(x)( x2)e x a(x1) 2.讨论 f(x)的单调性解 f( x)( x1)e x2 a(x1)( x1)(e x2 a)()设 a0，则当 x(，1)时， f( x)0，所以 f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增()设 a ，则 ln(2 a)0；e2当 x(ln(2 a)，1)时， f( x)1，故当 x(，1)(ln(2 a)，)时， f( x)0；e2当 x(1，ln(2 a)时， f( x)0)若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a的取3xa值范围是_解析 f( x) 4 x ，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，即 f( x) 4 x3a 1x 3a0 或 f( x) 4 x 0 在1,2上恒成立即 4 x 或 4 x 在1,2上恒成1x 3a 1x 3a 1x 3a 1x立令 h(x)4 x ，则 h(x)在1,2上单调递增，所以 h(2)或 h(1)，即 或1x 3a 3a 3a 1523，又 a0，所以 0a 或 a1.3a 257答案 1，)(0，25
