1、1层级快练(六十二)1若过原点的直线 l 与双曲线 1 有两个不同交点，则直线 l 的斜率的取值范围是x24 y23( )A. B( ， )(32， 32 32 32C. D. 32， 32 ( ， 32 32， )答案 B解析 1，其两条渐近线的斜率分别为 k1 ，k 2 ，要使过原点的直线 lx24 y23 32 32与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线 l 的斜率的取值范围应是 .0，32) ( 32， 02已知椭圆 x22y 24，则以(1，1)为中点的弦的长度为( )A3 B22 3C. D.303 326答案 C解析 设 y1k(x1)，ykx1k.代入椭圆方程，得 x22(k
2、x1k) 24.(2k 21)x 24k(1k)x2(1k) 240.由 x1x 2 2，得 k ，x 1x2 .4k（ k 1）2k2 1 12 13(x 1x 2)2(x 1x 2)24x 1x24 .43 83|AB| .1 14 263 3033(2018辽宁师大附中期中)过点 M(2，0)的直线 n 与椭圆 y 21 交于 P1，P 2两点，x22线段 P1P2的中点为 P，设直线 m 的斜率为 k1(k10)，直线 OP 的斜率为 k2，则 k1k2的值为( )A2 B2C. D12 12答案 D2解析 设 P1(x1，y 1)，P 2(x2，y 2)，P(x，y)，则两式相减，得
3、 (y 1y 2)(y1y 2)0.（ x1 x2） （ x1 x2）2即 2y(y 1y 2)0.2x（ x1 x2）2k 1 ，又k 2 .x2y yxk 1k2 .124(2017山东师大附中模拟)已知两定点 A(0，2)，B(0，2)，点 P 在椭圆 1 上，x212 y216且满足| | |2，则 为( )AP BP AP BP A12 B12C9 D9答案 D解析 易知 A(0，2)，B(0，2)为椭圆 1 的两焦点，| | |248，又x212 y216 AP BP | | |2，| |5，| |3.AP BP AP BP | |4，ABP 为直角三角形， | |29.AB AP
4、 BP BP 5(2018福建厦门中学期中)设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点，且与 C 的一条对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|为 C 的实轴长的 2 倍，则 C 的离心率为( )A. B.2 3C2 D3答案 B解析 不妨设双曲线 C： 1(a0，b0)，焦点 F(c，0)，对称轴为直线 y0.x2a2 y2b2由题意知 1，y ， 4a，b 22a 2，c 2a 22a 2，c 23a 2，e .c2a2 y2b2 b2a 2b2a ca 3故选 B.6(2018德州一中期末)已知抛物线 C：y 24x 的焦点为 F，准线为 l.若射线 y2(x1)(x1)与 C，l
5、 分别交于 P，Q 两点，则 ( )|PQ|PF|3A. B22C. D55答案 C解析 抛物线 C：y 24x 的焦点为 F(1，0)，设准线 l：x1 与 x 轴的交点为 F1，过点P 作直线 l 的垂线，垂足为 P1，由 得点 Q 的坐标为(1，4)，x 1，y 2（ x 1） ， x 1， )所以|FQ|2 .根据抛物线的定义可得，|PF|PP 1|，所以 5|PQ|PF| |PQ|PP1| |QF|FF1| 252，故选 C.57已知顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线与直线 y2x1 交于 P、Q 两点，若|PQ|，则抛物线的方程为( )15Ay 24x By 212xCy 24x
6、 或 y212x D以上都不对答案 C解析 由题意设抛物线的方程为 y22px，联立方程得 消去 y，得y2 2px，y 2x 1， )4x2(2p4)x10，设 P(x1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则 x1x 2 ，x 1x2 .p 22 14|PQ| |x1x 2| ，所1 22 5 （ x1 x2） 2 4x1x2 5（ p 22 ） 2 414 15以 ，p 24p120，p2 或 6，所以 y24x 或 y212x.p24 p 38(2018衡水中学调研)过抛物线 x24y 的焦点作两条互相垂直的弦 AB、CD，则 1|AB|( )1|CD|A2 B4C. D.12 14答案
7、D解析 根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线 AB 的方程为 ykx1(k0)，直线 CD的方程为 y x1，由 得 y2(24k 2)y10，由根与系数的关系得1k y kx 1，x2 4y， )yAy B24k 2，所以|AB|y Ay B244k 2，同理|CD|y Cy D24 ，所以4k2 ，故选 D.1|AB| 1|CD| 14k2 4 k24k2 4 1449(2018福州外国语学校适应性考试)已知双曲线 C： 1(a0，b0)的焦距为x2a2 y2b22 ，抛物线 y x2 与双曲线 C 的渐近线相切，则双曲线 C 的方程为( )514 14A. 1 B. 1x28 y2
8、2 x22 y28Cx 2 1 D. y 21y24 x24答案 D解析 由题意可得 c ，即 a2b 25，双曲线的渐近线方程为 y x.将渐近线方程和5ba抛物线方程 y x2 联立，可得 x2 x 0，由渐近线和抛物线相切可得14 14 14 ba 14 4 0，即有 a24b 2，又 a2b 25，解得 a2，b1，可得双曲线的方程b2a2 14 14为 y 21.故选 D.x2410(2018天津红桥区期末)已知双曲线 1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线x2a2 y2b2y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为 ，则 p(
9、 )3A1 B.32C2 D3答案 C解析 因为双曲线方程为 1，所以双曲线的渐近线方程是 y x.又抛物线x2a2 y2b2 bay22px(p0)的准线方程是 x ，故 A，B 两点的纵坐标分别是 y .因为双曲线的p2 pb2a离心率为 2，所以 2，所以 3，则 ，A，B 两点的纵坐标分别是 y .又ca b2a2 ba 3 pb2a 3p2AOB 的面积为 ，x 轴是AOB 的平分线，所以 p ，解得 p2.故选 C.312 3 p2 311设 F 为抛物线 C：y 22px(p0)的焦点，过 F 且倾斜角为 60的直线交抛物线 C 于A，B 两点(B 在第一象限，A 在第四象限)，
10、O 为坐标原点，过 A 作 C 的准线的垂线，垂足为M，则|OB|与|OM|的比值为( )A. B23C3 D45答案 C解析 抛物线 C：y 22px(p0)的焦点 F( ，0)，准线 x ，直线 AB：y (x )，与p2 p2 3 p2抛物线方程联立，消去 x 得， y22py p20.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则3 3y1 p，y 2 p，故 M( ， p)，则|OM| p，将 y2 p 代入直线33 3 p2 33 p24 p23 216 3AB 的方程得 x2 p，故 B( p， p)，则|OB| p，所以|OB|3|OM|.故选32 32 3 9p24 3p2
11、 212C.12(2018河南郑州二测)过点 P(1，0)作直线与抛物线 y28x 相交于 A，B 两点，且2|PA|AB|，则点 B 到该抛物线焦点的距离为_答案 5解析 设 A(xA，y A)，B(x B，y B)，由相似三角形知识可知 .yAyB 13设直线的斜率为 k，则其方程为 y0k(x1)，即 ykxk，由 可得y kx k，y2 8x， )ky28y8k0，则 yAyB8.由可得 yB2248x B，所以 xB3，由抛物线的定义可知点 B 到焦点的距离为 3 5.4213(2018湖北部分重点高中联考)已知双曲线 C2与椭圆 C1： 1 具有相同的焦点，x24 y23则两条曲线
12、相交的四个交点形成的四边形面积最大时双曲线 C2的离心率为_答案 2解析 设双曲线的方程为 1(a0，b0)，由题意知 a2b 2431，由x2a2 y2b2解得交点的坐标满足 由椭圆和双曲线关于坐标轴对称知，x24 y23 1，x2a2 y2b2 1， ) x2 4a2，y2 3（ 1 a） 2， )以它们的交点为顶点的四边形是长方形，其面积 S4|xy|4 8 4a2 3（ 1 a2） 3 8 4 ，当且仅当 a21a 2，即 a2 时，取等号，此时双a2 1 a2 3a2 1 a22 3 12曲线的方程为 1，离心率 e .x212y212 214(2018淮南一模)过椭圆 1(ab0)
13、上的动点 P 作圆 x2y 2b 2的两条切线x2a2 y2b2PA，PB，切点分别为 A，B，直线 AB 与 x 轴，y 轴分别交于 M，N，则MON(O 为坐标原点)面积的最小值为_6答案 b3a解析 设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，则直线 PA：x 1xy 1yb 2，直线 PB：x 2xy 2yb 2.因为P(x0，y 0)在直线 PA，PB 上，所以 可得直线 AB 的方程为x1x0 y1y0 b2，x2x0 y2y0 b2， )x0xy 0yb 2，得 M( ，0)，N(0， )，则MON 的面积 Sb2x0 b2y0MON ，当且仅当| | |时等号b42|x0y0
14、| b3a 12|x0ay0b| b3a 1（ x0a） 2 （ y0b） 2 b3a x0a y0b成立15(2018湖南永州一模)已知椭圆 C： 1(ab0)的焦距为x2a2 y2b22，离心率为 ，y 轴上一点 Q 的坐标为(0，3)22(1)求该椭圆的方程；(2)若对于直线 l：yxm，椭圆 C 上总存在不同的两点 A 与 B 关于直线 l 对称，且 3 QA 0，解得 0)的直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MANA.(1)当 t4，|AM|AN|时，求AMN 的面积；(2)当 2|AM|AN|时，求 k 的取值范围答案 (1) (2)( ，2)14449 32解析
15、(1)设 M(x1，y 1)，则由题意知 y10.当 t4 时，E 的方程为 1，A(2，0)x24 y23由已知及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为 . 4因此直线 AM 的方程为 yx2.将 xy2 代入 1，得 7y212y0.x24 y23解得 y0 或 y ，y 10，所以 y1 .127 127因此AMN 的面积 SAMN 2 .12 127 127 14449(2)由题意知 t3，k0，A( ，0)t将直线 AM 的方程 yk(x )代入 1，得tx2t y23(3tk 2)x22 tk2xt 2k23t0.t由 x1( ) ，得 x1 ，故tt2k2 3t3 tk2 t（
16、3 tk2）3 tk2|AM|x 1 | .t 1 k26t（ 1 k2）3 tk2由题设知，直线 AN 的方程为 y (x )，1k t9故同理可得|AN| .6kt（ 1 k2）3k2 t由 2|AM|AN|，得 ，23 tk2 k3k2 t即(k 32)t3k(2k1)当 k 时上式不成立，因此 t .323k（ 2k 1）k3 2t3 等价于 0，k3 20， ) 32因此 k 的取值范围是( ，2)321(2017北京大兴一中月考)已知双曲线 C： 1(a0，b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1，F 2，过 F2作平行于 C 的渐近线的直线交 C 于点 P.若 PF1PF
17、2，则 C 的离心率为( )A. B.2 3C2 D. 5答案 D解析 取双曲线 C 的渐近线为 y x.因为 F1(c，0)，F 2(c，0)，所以过 F2作平行于渐近ba线 y x 的直线 PF2的方程为 y (xc)ba ba因为 PF1PF 2，所以直线 PF1的方程为 y (xc)ab联立方程组 得点 P 的坐标为( ， )y ba（ x c） ，y ab（ x c） ， ) b2 a2c 2abc因为点 P 在双曲线 C 上，所以 1，即 1.（ b2 a2c ） 2a2（ 2abc） 2b2 （ b2 a2） 2a2c2 4a2c2因为 c2a 2b 2，所以 1，整理得 c25
18、a 2.（ c2 2a2） 2a2c2 4a2c2因为 e 1，所以 e .故选 D.ca 5102已知双曲线 x2 1，过点 A(1，1)的直线 l 与双曲线只有一个公共点，则 l 的条数y24为( )A4 B3C2 D1答案 A解析 斜率不存在时，方程为 x1 符合设斜率为 k，y1k(x1)，kxyk10.(4k 2)x2(2k 22k)xk 22k50.4x2 y2 4，y kx k 1， )当 4k 20，k2 时符合；当 4k 20，0，亦有一个答案，共 4 条3已知双曲线 T： y 21，过点 B(2，0)的直线交双曲线于 A 点(A 不是双曲线的顶x24点)，若 AB 的中点
19、Q 在直线 yx 上，点 P 为双曲线 T 上异于 A，B 的任意一点(不是双曲线的顶点)，直线 AP，BP 分别交直线 yx 于 M，N 两点，O 为坐标原点，则 ( )OM ON A B83 32C D812答案 A解析 因为 AB 的中点 Q 在直线 yx 上，B(2，0)，所以 A( ， )设 P(x0，y 0)，当直103 43线 AP 的斜率不存在时，易知 P( ， )，M( ， )，N( ， )，此103 43 103 103 25 25时 ( ) ( ) .当直线 AP 的斜率存在时，则直线 AP 的方程是OM ON 103 25 103 25 83y (x )，与直线 yx
20、联立得 xMy M .直线 BP 的方程为 y43y0 43x0 103 103 10y0 4x03y0 3x0 6(x2)，与直线 yx 联立得 xNy N .因为 y 021，所y0x0 2 2y0x0 y0 2 x024以 x MxNy MyN2 .OM ON 10y0 4x03y0 3x0 6 2y0x0 y0 2 834(2017福建福州质检)已知 F1，F 2是双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，若双x2a2 y2b211曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y x 对称，则该双曲线的离心率为_ba答案 5解析 由题意可知双曲线左支上存在一点 P 与点 F2关于直线 y 对
21、称，则 PF1PF 2.又bxa ，联立|PF 2|PF 1|2a，|PF 2|2|PF 1|2(2c) 2，可得 b3a 2b2c 2a.所以|PF2|PF1| bab2a，e .55(2018河北石家庄模拟)已知 F1，F 2分别为双曲线 1(a0，b0)的左、右焦点，x2a2 y2b2点 P 为双曲线右支上一点，M 为PF 1F2的内心，满足 SMPF 1SMPF 2SMF 1F2.若该双曲线的离心率为 3，则 _(注：SMPF 1，SMPF 2，SMF 1F2分别为MPF1，MPF 2，MF 1F2的面积)答案 13解析 设PF 1F2内切圆的半径为 r，则由题意，得|PF1|r |P
22、F2|r |F1F2|r，即|PF 1|PF 2|F 1F2|2c，又12 12 12由双曲线的定义知|PF 1|PF 2|2a，所以 2a2c，即 .ac 1e 136已知抛物线 C：y 22px(p0)的焦点为 F，抛物线 C 与直线 l1：yx 的一个交点的横坐标为 8.(1)求抛物线 C 的方程；(2)不过原点的直线 l2与 l1垂直，且与抛物线相交于不同的两点 A，B，若线段 AB 的中点为 P，且|OP|PB|，求FAB 的面积答案 (1)y 28x (2)24 5解析 (1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8) 22p8，2p8，抛物线方程为 y28x.(2)直线 l2
23、与 l1垂直，故可设直线 l2：xym，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，直线 l2与 x 轴的交点为 M.由 得 y28y8m0，y2 8x，x y m， )6432m0，m2.y1y 28，y 1y28m，x 1x2 m 2.y12y2264由题意可知 OAOB，即 x1x2y 1y2m 28m0，m8 或 m0(舍)，直线 l2：xy8，M(8，0)12故 SFAB S FMB S FMA |FM|y1y 2|123 24 .（ y1 y2） 2 4y1y2 57抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点(1)若 2 ，求直线 AB 的斜率；AF
24、FB (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最小值答案 (1)2 (2)42解析 (1)依题意知 F(1，0)，设直线 AB 的方程为 xmy1.将直线 AB 的方程与抛物线的方程联立，消去 x，得y24my40.设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，所以 y1y 24m，y 1y24.因为 2 ，所以 y12y 2.AF FB 联立和，消去 y1，y 2，得 m .24所以直线 AB 的斜率是2 .2(2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，
25、所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB .因为 2SAOB 2 |OF|y1y 2|12 4 ，（ y1 y2） 2 4y1y2 1 m2所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4.8(2018河南洛阳第一次统考)已知抛物线 C：x 22py(y0)，过焦点 F 的直线交 C 于A，B 两点，D 是抛物线的准线 l 与 y 轴的交点(1)若 ABl，且ABD 的面积为 1，求抛物线 C 的方程；(2)设 M 为 AB 的中点，过 M 作 l 的垂线，垂足为 N，证明：直线 AN 与抛物线相切答案 (1)x 22y (2)略解析 (1)ABl，|FD|p，|AB|2p.S
26、 ABD p 21.p1.抛物线 C 的方程为 x22y.(2)证明：设直线 AB 的方程为 ykx ，p213联立 得 x22kpxp 20.y kx p2，x2 2py， )设方程的两根分别为 x1，x 2，则 x1x 22kp，x 1x2p 2.设 A(x1， )，B(x 2， )x122p x222p设 M(kp，k 2p )，N(kp， )p2 p2k AN .x122p p2x1 kpx122p p2x1 x1 x22x12 p22px1 x22x12 x1x22px1 x22 x1p又x 22py，y .xp抛物线 x22py 在点 A 处的切线斜率 k .x1p直线 AN 与抛物线相切
