1、11.1 正 弦 定 理第一课时 正弦定理(1)直角三角形中的边角关系是怎样的？(2)什么是正弦定理？(3)正弦定理可进行怎样的变形？新 知 初 探 1正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，即 asin A bsin B2 R，其中 R是三角形外接圆的半径csin C2正弦定理的变形：(1)a b csin_ Asin_ Bsin_ C；(2)a2 Rsin A， b2 Rsin B， c2 Rsin_C；(3)sin A ，sin B ，sin C ；a2R b2R c2R(4)asin B bsin A， bsin C csin B， asin_C csin_A.(5)
2、.asin A bsin B csin C a b csin A sin B sin C点睛 正弦定理的变形实现了角化边、边化角的转换，应根据需要进行选择3解三角形(1)解三角形是指由六个元素(三条边和三个角)中的三个元素(至少有一个是边)，求其余三个未知元素的过程(2)利用正弦定理可解决以下两类解三角形问题：已知三角形的两角及任一边，求其他两边和一角；已知三角形的两边和其中一边对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边 和角)预习课本 P58，思考并完成以下问题 2点睛 已知两边和其中一边所对角求另一边的对角时可能会出现无解、一解、两解的情况如下表所示(已知 a， b， A，求 B)A为锐
3、角 A为钝角或直角图形关系式 ab a b解的个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解小 试 身 手 1在 ABC中， a4， A45， B60，则边 b_.解析：由正弦定理，有 ，所以 b 2 .asin A bsin B asin Bsin A 4sin 60sin 45 6答案：2 62在 ABC中，已知 BC ，sin C2sin A，则 AB_.5解析：由正弦定理，得 AB BC2 BC2 .sin Csin A 5答案：2 53在 ABC中，若 A60， B45， BC3 ，则 AC_.2解析：由正弦定理，得 ，BCsin A ACsin B即 ， AC 2 .32sin 60 A
4、Csin 45 3232 22 3答案：2 34 ABC中， a ， b ，sin B ，则符合条件的三角形有_个5 322解析：因为 asin B ，所以 asin Ba，所以 CA，所以 A45.所以 B180604575.因为 ，csin C bsin B所以 b 1.csin Bsin C 6sin 75sin 6066 2432 3已知两边及一边的对角解三角形的方法(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的
5、角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论活学活用1在 ABC中，已知 a5 ， c10， A30，则 B_.2解析：因为， a5 ， c10， A30，根据正弦定理可知 所以，sin 2asin A csin CC ，所以 C45 或 135，即 B105或 15.csin Aa 22答案：105或 1552 ABC中， B45， b ， a1，则角 A_.2解析：由正弦定理得， ，解得 sin A ，所以 A30或 A150.1sin A 2sin 45 12又因 ba，所以 BA，则 A30.答案：30正弦定理的变形应用典例 在 ABC中，已知 b c1， C45， B30，则 b_.
6、解析 由正弦定理知 ，bsin B csin C所以， ， b sin b csin B sin C bsin B b csin B sin CB 1.sin 30sin 45 sin 30 2答案 12利用正弦定理将边化为角或者将角化为边处理，这是正弦定理的一种重要作用，也是处理三角形问题的重要手段正弦定理的变形有多种形式，要根据题目选择合适的变形进行使用活学活用在 ABC中，若 acos A bsin B，则 sin Acos Acos 2B_.解析：由正弦定理，可得 sin Acos Asin 2B，即 sin Acos A1cos 2B，所以 sin Acos Acos 2B1.答案：
7、1层级一 学业水平达标1在 ABC中，已知 BC12， A60， B45，则 AC_.解析：由正弦定理得 ，即 ，所以 AC4 .ACsin B BCsin A ACsin 45 12sin 60 6答案：4 62在 ABC中，若 b5， B ，sin A ，则 a_.4 136解析：由正弦定理得 ，又 b5， B ，sin A ，所以 ， aasin A bsin B 4 13 a13 5sin4.523答案：5233在 ABC中， a15， b10， A60，则 sin B_.解析：根据正弦定理 ，可得 ，解得 sin B .asin A bsin B 15sin 60 10sin B 3
8、3答案：334在 ABC中， B30， C120，则 a b c_.解析： A1803012030，由正弦定理得： a b csin Asin Bsin C11 .3答案：11 35在 ABC中， a bsin A，则 ABC一定是_解析：由题意有 b ，则 sin B1，即角 B为直角，故 ABC是直角三角asin A bsin B形答案：直角三角形6在 ABC中，已知 c ， A45， a2，则 B_.6解析： ，asin A csin Csin C ，c sin Aa 6sin 452 32 C60或 120，当 C60时， B180456075，当 C120时，B1804512015.
9、答案：75或 157已知 ABC中， A， B， C的对边分别为 a， b， c，若 a c 且 A75，则6 2b_.解析：sin Asin 75sin (3045)sin 30cos 45sin 45cos 30 ，2 64由 a c ，可知， C75，6 2所以 B30，sin B ，127由正弦定理得 b sin B 2.asin A 2 62 64 12答案：28在 ABC中， a， b， c分别是角 A， B， C所对的边，若 A105， B45， b2，则 c_.2解析：根据三角形内角和定理，C180( A B)30.根据正弦定理： c 2.bsin Csin B 22sin 3
10、0sin 45答案：29在 ABC中，已知 b6 ， c6， C30，求 a.3解：由正弦定理得 ，bsin B csin C所以 sin B ，bsin Cc 32因为 bc，所以 BC30.所以 B60或 B120.当 B60时， A90，则 a 12.csin Asin C当 B120时， A30，则 a c6.所以 a6 或 a12.10在 ABC中， A， B， C的对边分别是 a， b， c，求证： a2sin 2B b2sin 2A2 ab sin C.证明：因为左边4 R2sin2Asin 2B4 R2sin2Bsin 2A8 R2sin2Asin Bcos B8 R2sin2
11、Bsin Acos A8 R2sin Asin B(sin Acos Bcos Asin B)8 R2sin Asin Bsin(A B)8 R2sin Asin Bsin C2(2 Rsin A)(2Rsin B)sin C2 absin C右边，所以等式成立层级二 应试能力达标1在 ABC中，若 A60， a ，则 _.3a b csin A sin B sin C解析：利用正弦定理变形，得 ，所以asin A bsin B csin C a b csin A sin B sin C8 2.a b csin A sin B sin C 3sin 60答案：22在 ABC中，已知 b4， c
12、8， B30，则 a_.解析：由正弦定理，得 sin C 1.csin Bb 8sin 304所以 C90， A180903060.又由正弦定理，得 a 4 .bsin Asin B 4sin 60sin 30 3答案：4 33在 ABC中， a2 ， b2 ， B45，则 A等于_3 2解析：由正弦定理得， ，解得 sin A ，又 ab，所以 A60或asin A bsin B 32120.答案：60或 1204在 ABC中，角 A， B， C的对应边分别为 x， b， c，若满足 b2， B45的 ABC恰有两解，则 x的取值范围是_解析：要使 ABC恰有两解， xsin 45b， B3
13、0，asin A bsin B 332 1sin B 12 C90， ABC为直角三角形，由勾股定理得 c2.答案：28已知 a， b， c分别是 ABC的三个内角 A， B， C的对边，若a2， b ， A C2 B，则 A_.6解析：因为Error!所以 B ，又因为 ，所以 sin 3 asin A bsin BA ，所以 A45.asin Bb 2326 2216答案：459.如图，一船以每小时 15 km的速度向东航行，船在 A处看到一个灯塔 B在北偏东 60，行驶 4 h后，船到达 C处，看到这个灯塔在北偏东 15，求此时船与灯塔的距离解：如题图，由正弦定理得， ，BCsin 90
14、 60 154sin 45所以 BC30 km.2此时船与灯塔的距离为 30 km.210在 ABC中，已知 a2 bcos C，求证： ABC为等腰三角形解：因为， a2 bcos C，所以，由正弦定理得 2Rsin A4 Rsin Bcos C.所以 2cos Csin Bsin Asin (B C)sin Bcos Ccos Bsin C所以 sin Bcos Ccos Bsin C0，即 sin (B C)0.所以 B C n( nZ)又因为 B， C是三角形的内角，所以 B C，即 ABC为等腰三角形层级二 应试能力达标1在 ABC中，lg(sin A sin C)2lg sin B
15、lg(sin Csin A)，则该三角形的形状是_解析：由已知条件，lg(sin Asin C)lg(sin Csin A)lg sin 2B，sin 2Csin 2Asin 2B.由正弦定理可得 c2 a2 b2.故三角形为直角三角形答案：直角三角形2.如图，设 A， B两点在河的两岸，一测量者在 A的同侧河岸边选定一点 C，测出 AC的距离为 50 m， ACB45， CAB105，则 AB_ m.解析：因为 ACB45， CAB105，所以 ABC30，根据正弦定理得 ，解得 AB50 m.50sin 30 ABsin 45 2答案：50 23在 ABC中，已知 ，则 ABC的形状为_a
16、2sin Bcos B b2sin Acos A解析：因为 ， a2 Rsin A， b2 Rsin B，a2sin Bcos B b2sin Acos A17所以 .4R2sin2Asin Bcos B 4R2sin2Bsin Acos A又因为 sin Asin B0，所以 sin Acos Asin Bcos B，即 sin 2Asin 2 B.所以 2A2 B或 2A2 B，即 A B或 A B .2故 ABC是等腰三角形或直角三角形答案：等腰三角形或直角三角形4设 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 bcos C ccos B asin A，则 ABC的形
17、状为_解析：依据题设条件的特点，由正弦定理，得 sin Bcos Ccos Bsin Csin 2A，有 sin(B C)sin 2A，从而 sin(B C)sin Asin 2A，解得 sin A1， A .2答案：直角三角形5在 ABC中， b8， c8 ， S ABC16 ，则 A_.3 3解析：由 S ABC bcsin A得 sin A ，又因为 0A180，所以 A30或 150.12 12答案：30或 1506一船在海面 A处望见两灯塔 P， Q在北偏西 15的一条直线上，设船沿东北方向航行 4 n mile到达 B处，望见灯塔 P在正西方向，灯塔 Q在西北方向，则两灯塔的距离为
18、_ n mile.解析：如图，在 ABP中， AB4， ABP45， BAP60. APB75.由正弦定理，得 ，ABsin 75 BPsin 60 BP 6 2 .4sin 60sin 75 2 6在 BPQ中， PBQ45， AQB30.由正弦定理，得 PQ 124 ，BPsin 45sin 30 3两灯塔相距(124 )n mile.3答案：124 3187.我炮兵阵地位于地面 A处，两观察所分别位于地面点 C和 D处，已知 CD6 000 m， ACD45， ADC75，目标出现于地面点 B处时，测得 BCD30， BDC15(如图)，求炮兵阵地到目标的距离解：在 ACD中， CAD1
19、80 ACD ADC60， CD6 000， ACD45，根据正弦定理，有 AD CD.CDsin 45sin 60 23同理，在 BCD中， CBD180 BCD BDC135， CD6 000， BCD30，根据正弦定理，有 BD CD.CDsin 30sin 135 22又在 ABD中， ADB ADC BDC90.根据勾股定理，有AB CD CDAD2 BD223 12 4261 000 ，42所以炮兵阵地到目标的距离为 1 000 m.428在 ABC中，cos A ，cos B .513 35(1)求 sin C的值；(2)设 BC5，求 ABC的面积解：在 ABC中，由 cos A ，得 sin A ，513 1213由 cos B ，得 sin B .35 45所以 sin Csin ( A B)sin Acos Bcos Asin B .1665(2)由正弦定理得 AC ，BCsin Bsin A5451213 1331所以 ABC的面积 S BCACsin C 5 .12 12 133 1665 83
