1、1第 29 课时 直线与圆的方程的应用课时目标1.会应用坐标法解决解析几何问题2会应用数形结合的数学思想方法求与圆有关的最值问题3会用数学建模的思想方法解决一些实际问题识记强化1圆与直线位置关系的判定方法(1)代数法：圆与直线方程组成方程组，消去 x(或 y)得到关于 y(或 x)的二次方程，判别式 0 相交； 0 相切； r 相离， d r 相切； dr 相交2圆的半径为 r，圆心到直线的距离 d，直线被圆截得的弦长公式： | AB|2 .r2 d2课时作业一、选择题(每个 5 分，共 30 分)1方程 y 对应的曲线是( )4 x2答案：A解析：由方程 y 得 x2 y24( y0)，它表
2、示的图形是圆 x2 y24 在 x 轴4 x2之下的部分2若直线 x y20 与圆 C：( x3) 2( y3) 24 相交于 A、 B 两点，则 的CA CB 值为( )A1 B0C1 D6答案：B解析：联立Error!消去 y，得 x24 x30，解得 x11， x23， A(1,3)， B(3,5)又 C 为(3,3)， (2,0)， (0,2)CA CB 20020.CA CB 3若直线 y x b 与曲线 y3 有公共点，则实数 b 的取值范围是( )4x x2A12 ，12 B1 ，32 2 2C1,12 D12 ，32 2答案：D解析：2在平面直角坐标系内画出曲线 y3 与直线
3、y x，在平面直角坐标系内平移4x x2该直线，如图结合图象分析，可知当直线向左上方平移到过点(0,3)的过程中的任何位置时，相应的直线与曲线 y3 都有公共点；当直线向右下方平移到与以点(2,3)为4x x2圆心、2 为半径的圆相切的过程中的任何位置时，相应的直线与曲线 y3 都有公4x x2共点又与直线 y x 平行且过点(0,3)的直线方程是 y x3；当直线 y x b 与以点(2,3)为圆心、2 为半径的圆相切时，有 2，解得 b12 ，结合图形，可知|2 3 b|2 2b12 ，不符合题意，舍去所以满足题意的实数 b 的取值范围是12 ，32 24直线 l 将圆 x2 y22 x4
4、 y0 平分，且与直线 x2 y30 垂直，则直线 l 的方程为( )A x2 y0 B2 x y0C x y30 D x y30答案：B解析：已知圆的圆心为(1,2)，设直线 l 的方程为 2x y c0 将(1,2)代入，解得c0，所以直线 l 的方程为 2x y0.5已知两点 A(2,0)， B(0,2)，点 C 是圆 x2 y22 x0 上任意一点，则 ABC 面积的最小值是( )A3 B32 2C3 D.22 3 22答案：A解析：由题意，可得 lAB： x y20，圆心(1,0)，圆心到 lAB的距离d ， AB 边上的高的最小值为 1.又32 322 322|AB| 2 ， AB
5、C 面积的最小值为 2 ( 1)3 . 2 2 2 2 212 2 322 26已知两点 A(1,0)、 B(0,2)，点 P 是圆( x1) 2 y21 上任一点，则 PAB 面积的最大值与最小值分别是( )A2， (4 )12 5B. (4 )， (4 )12 5 12 5C. ，412 5 5D. ( 2)， ( 2)12 5 12 5答案：B解析：以 AB 为底边，则 P 到直线 AB 的距离有最值时， PAB 的面积取得最值，直线AB 的方程为 2x y20， AB ，圆心到直线 AB 的距离为 d ，5|21 0 2|22 1 4 55所以 P 到直线 AB 的最大距离、最小距离分
6、别为 1 、 1，所以 PAB 面积的最大4 55 4 55值与最小值分别为 (4 )， (4 )12 5 12 53二、填空题(每个 5 分，共 15 分)7若圆 O： x2 y24 和圆 C：( x2) 2( y2) 24 关于直线 l 对称，则直线 l 的方程为_答案： x y20解析：两圆的圆心分别为 O(0,0)， C(2,2)，由题意，知 l 为线段 OC 的垂直平分线，故其方程为 x y20.8如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱桥顶部离水面 2 m，水面宽 12 m，则当水面下降 1 m 后，水面宽_m.答案：2 51解析：如图，建立平面直角坐标系，设初始水面在 AB
7、处，则由已知，得 A(6，2)，设圆 C 的半径为 r，则 C(0， r)，圆 C 的方程为 x2( y r)2 r2，将 A(6，2)代入，得 r10，所以圆 C 的方程为x2( y10) 2100.当水面下降 1 m 到 A B后，设 A( x0，3)( x00)将 A( x0，3)代入式，求得 x0 ，所以当水面下降 1 m 后，水面宽为 2x02 m.51 519已知 O 的方程是 x2 y220， O的方程是 x2 y28 x100，由动点 P 向 O 和 O所引的切线长相等，则动点 P 的轨迹方程是_答案： x32解析：由切线长相等得| PO|22| PO| 26，即| PO| 2
8、| PO|24 设 P(x， y)，则( x4) 2 y2( x2 y2)4 解得 x .32三、解答题10(12 分)一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西 70 km 处，受影响的范围是半径为 30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北 40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示取 10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆 O 的方程为 x2 y29，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线的方程为
9、1，即 4x7 y280.x7 y44圆心 O(0,0)到直线 4x7 y280 的距离 d 3，所以直线|28|42 72 28654x7 y280 与圆 O 外离，所以轮船不会受到台风的影响11(13 分)已知直线 2x y c0 与曲线 y 有两个公共点，求 c 的取值范1 x2围解：曲线 y ，整理得 x2 y21( y0)，直线 2x y c0 可变形为 y2 x c.1 x2如图，要使直线与曲线有两个公共点，则直线过点(1,0)时， c 有最大值；直线在 y 轴右侧和圆相切时， c 有最小值；直线过点(1,0)时， c2；直线在 y 轴右侧和圆相切时， 1，解得 c ，或 c (舍
10、去)，所以 c 的取值范围是( ，2|c|22 1 5 5 5能力提升12(5 分)在平面直角坐标系 xOy 中，设直线 y x2 m和圆 x2 y2 n2相切，其中3m， nN *，0| m n|1，若函数 f(x) mx1 n 的零点 x0( k， k1)， kZ，则k_.答案：0解析：直线 y x2 m和圆 x2 y2 n2相切3 n，即 2m2 n，|2m|2 m， nN *,0|m n|1， m3， n4. f(x)3 x1 4，令 3x1 40，得 xlog 341(0,1)，故 k0.13(15 分)一束光线 l 自 A(3,3)发出，射到 x 轴上，被 x 轴反射到 C： x2 y24 x4 y70 上(1)求反射线通过圆心 C 时，光线 l 的方程；(2)求在 x 轴上，反射点 M 的范围解： C：( x2) 2( y2) 21.(1)C 关于 x 轴的对称点 C(2，2)，过 A， C的方程： x y0 为光线 l 的方程(2)A 关于 x 轴的对称点 A(3，3)，设过 A的直线为 y3 k(x3)，当该直线与 C 相切时，有1 k 或 .|2k 2 3k 3|1 k2 43 34过 A， C 的两条切线为 y3 (x3)，43y3 (x3)，令 y0，得 x1 ， x21.34 34反射点 M 在 x 轴上的活动范围是 .34， 1
