1、1第 16 课时 直线与平面垂直的性质课时目标1.能准确应用线面垂直的定义证明线线垂直2能利用线面垂直的性质定理解决平行问题3体会垂直与平行的转化识记强化1直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行2直线与平面垂直的其他性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的任意一条直线如果一条直线垂直于一个平面，那么与这条直线平行的直线也垂直于这个平面课时作业一、选择题(每个 5 分，共 30 分)1在空间，下列哪些命题是正确的( )平行于同一条直线的两条直线互相平行；垂直于同一条直线的两条直线互相平行；平行于同一个平面的两条直线互相平行；垂直于同一个平面的两条直线互相平行
2、A BC D答案：B解析：该命题就是平行公理，即课本中的公理 4，因此该命题是正确的如图(1)，直线 a平面 ， b ， c ，且 b c A，则 a b， a c，即平面 内两条相交直线 b、 c 都垂直于同一条直线 a，但 b、 c 的位置关系并不是平行另外，b、 c 的位置关系也可以是异面，如果把直线 b 平移到平面 外，此时，与 a 的位置关系仍是垂直，但此时 b、 c 的位置关系是异面如图(2)，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，易知 A1B1平面 ABCD， A1D1平面 ABCD，但A1B1 A1D1 A1，因此该命题是错误的该命题是线面垂直的性质定理，因此是正确的综上可知、
3、正确2下列命题正确的是( )Error! b ；Error! a b；Error! b ；Error! b .2A BC D答案：A解析：由性质定理可得正确3若直线 a 与平面 不垂直，那么在平面 内与直线 a 垂直的直线( )A只有一条B有无数条C平面 内的所有直线D不存在答案：B4已知直线 a， b 和平面 ， ， ，可以使 的条件是( )A a ， b ， a bB a ， b ， a ， b C ， D a ， a 答案：D5如图，设平面 平面 PQ， EG平面 ， FH平面 ，垂足分别为 G， H.为使 PQ GH，则需增加的一个条件是( )A EF平面 B EF平面 C PQ GE
4、 D PQ FH答案：B解析：因为 EG平面 ， PQ平面 ，所以 EG PQ.若 EF平面 ，则由 PQ平面 ，得 EF PQ.又 EG 与 EF 为相交直线，所以 PQ平面 EFHG，所以 PQ GH，故选 B.6如图所示， PA 垂直于 O 所在的平面， AB 是 O 的直径， C 是 O 上的一点， E， F分别是点 A 在 PB， PC 上的射影，给出下列结论： AF PB， EF PB， AF BC， AE BC，其中正确的个数为( )A1 B2C3 D4答案：C解析： AB 是 O 的直径， AC BC. PA 垂直于 O 所在的平面， PA AB， PA AC， PA BC，
5、BC平面 PAC， BC AF，正确又 AF PC， AF平面 PBC， AF PB，正确又 AE PB， PB平面 AEF， EF PB，正确若AE BC，则由 AE PB，得 AE平面 PBC，此时 E， F 重合，与已知矛盾，错误故选 C.二、填空题(每个 5 分，共 15 分)7在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中， E 是 BC1的中点，则直线 DE 与平面 ABCD所成角的正切值为_3答案：55解析：如图，过 E 作 EF BC，垂足为 F，连接 DF.易知平面 BCC1B1平面 ABCD，交线为 BC，所以 EF平面 ABCD. EDF 即为直线 DE 与平面 AB
6、CD 所成的角由题意，得 EF CC11， CF CB1，所以 DF .12 12 CF2 DC2 5在 Rt EFD 中，tan EDF .EFDF 15 55所以，直线 DE 与平面 ABCD 所成角的正切值为 .558长方体 ABCDA1B1C1D1中， MN 在平面 BCC1B1内， MN BC 于 M，则 MN 与 AB 的位置关系是_答案：垂直解析：如下图由面面垂直的性质定理知 MN平面 ABCD，再由线面垂直的定义知 MN AB.9将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A BD C，有如下四个结论： AC BD； ACD 是等边三角形； AB 与平面 BCD 所成的角
7、为 60； AB 与 CD 所成的角为 60.其中正确结论的序号是_答案：三、解答题10(12 分)如图， PA平面 ABD， PC平面 BCD， E， F 分别为 BC， CD 上的点，且EF AC.求证： .CFDC CEBC证明： PA平面 ABD， PC平面 BCD， PA BD， PC BD， PC EF.又 PA PC P， BD平面 PAC.又 EF AC， PC AC C， EF平面 PAC， EF BD， .CFDC CEBC411(13 分)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， EF 与 AC， A1D 都垂直相交，求证：EF BD1.证明：如图，连接 AB1，
8、B1C， BD， B1D1，因为 DD1平面 ABCD， AC平面 ABCD，所以 DD1 AC.又 BD AC， DD1 BD D，所以 AC平面 BDD1B1，所以 AC BD1.同理可证 BD1 B1C.又 AC B1C C，所以 BD1平面 AB1C.因为 EF A1D， A1D B1C，所以 EF B1C，因为 EF AC， AC B1C C，所以 EF平面 AB1C，所以 EF BD1.能力提升12(5 分)直线 a 和 b 在正方体 ABCDA1B1C1D1的两个不同平面内，使 a b 成立的条件是_(只填序号即可) a 和 b 垂直于正方体的一个面； a 和 b 在正方体两个相
9、对的面内，且共面； a 和 b 平行于同一条棱； a 和 b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直答案：解析：线面垂直的性质定理；面面平行的性质定理；平行公理13(15 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形， PA平面ABCD， AP AB， BP BC2， E， F 分别是 PB， PC 的中点(1)证明： EF平面 PAD；(2)求三棱锥 EABC 的体积 V.5解：(1)证明：在 PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点， EF BC.又 BC AD， EF AD， AD平面 PAD， EF平面 PAD， EF平面 PAD.(2)连接 AE， AC， EC，过点 E 作 EG PA 交 AB 于点 G，则 EG平面 ABCD，且 EG PA.12在 PAB 中， AP AB， PAB90， BP2， AP AB ， EG .222 S ABC ABBC 2 .12 12 2 2 VEABC S ABCEG .13 13 2 22 13
