1、1一 比较法1作差比较法(1)作差比较法的理论依据 a b0ab， a b0，若 1，则 ab；若 1，则 ab.ab ab(2)作商比较法解题的一般步骤：判定 a， b 的符号；作商；变形整理；判定与 1 大小关系；得出结论作差比较法证明不等式例 1 已知 xy，求证： x3 x2y xy2x2y xy2 y3.思路点拨 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小证明 x3 x2y xy2( x2y xy2 y3) x(x2 xy y2) y(x2 xy y2)( x y)(x2 xy y2)( x y) .(xy2)2 3y24因为 xy，所以 x y0，于是( x y
2、) 0，(xy2)2 3y24所以 x3 x2y xy2x2y xy2 y3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少2(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论1求证： a2 b22( a b1)证明： a2 b22( a b1)( a1) 2( b1) 20，
3、 a2 b22( a b1)2已知 a， bR ， nN ，求证：( a b)(an bn)2( an1 bn1 )证明：( a b)(an bn)2( an1 bn1 ) an1 abn ban bn1 2 an1 2 bn1 a(bn an) b(an bn)( a b)(bn an)当 ab0 时， bn ana0 时， bn an0， a b0 时，( bn an)(a b)0.综合可知，对于 a， bR ， nN ，都有( a b)(an bn)2( an1 bn1 ).作商比较法证明不等式例 2 设 a0， b0，求证： aabb( ab) .a b2思路点拨 不等式两端都是指数式
4、，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法证明 aabb0，( ab) 0，a b2 a b .aabb(ab)a b2 a b2 b a2 (ab)a b2当 a b 时，显然有 1；(ab)a b2当 ab0 时， 1， 0，ab a b23由指数函数单调性，有 1；(ab)a b2当 ba0 时，01.(ab)a b2综上可知，对任意实数 a， b，都有 aabb( ab) .a b2当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与 1 比较3已知 abc0.求证： a2ab2bc2cab cbc a
5、ca b.证明：由 abc0，得 ab cbc aca b0.作商 a2ab2bc2cab cbc aca b aaaabbbbccccabacbcbacacb aa baa cbb cbb acc acc b a b a c b c.(ab) (ac) (bc)由 abc0，得 a b0， a c0， b c0，且 1， 1， 1.ab ac bc a b a c b c1.(ab) (ac) (bc) a2ab2bc2cab cbc aca b.4设 nN， n1，求证 logn(n1)log (n1) (n2)证明：因为 n1，所以 logn(n1)0，log (n1) (n2)0，所以
6、 log (n1) (n2)log (n1) nlog(n 1)(n 2)logn(n 1) 2log(n 1)(n 2) log(n 1)n2 2log(n 1)(n2 2n)2 a 时，设 m a x(x0)，乘坐起步价为 10 元的出租车费用为 P(x)元乘坐起步价为 8 元的出租车费用为 Q(x)元，则 P(x)101.2 x，Q(x)81.4 x.5 P(x) Q(x)20.2 x0.2(10 x)，当 x10 时， P(x)Q(x)，此时选起步价为 8 元的出租车较为合适当 x10 时， P(x) Q(x)，两种出租车任选，费用相同1下列关系中对任意 a1 D. a2 b2ba (
7、12) (12)解析：选 B a b0.( a)2( b)20.即 a2b20. Q B P0 恒成立， Q P.法二： P Q1 (a2 a 1)(a2 a 1)a2 a 1 ， (a4 a2)a2 a 1 a2 a10 恒成立且 a4 a20， P Q0，即 Q P.3已知 a0， b0， m ， n ， p ，则 m， n， p 的大小关系是( )ab ba a b a bA m np B mn pC nmp D n mp6解析：选 A 由 m ， n ，得 a b0 时， m n, 可排除 B、C 项比较ab ba a bA、D 项，不必论证与 p 的关系取特殊值 a4， b1，则m4
8、 ， n213， mn，可排除 D，故选 A.12 924设 mn， nN ， a(lg x)m(lg x) m， b(lg x)n(lg x) n， x1，则 a 与 b的大小关系为( )A a bB a bC与 x 值有关，大小不定D以上都不正确解析：选 A a blg mxlg mxlg nxlg nx(lg mxlg nx) (1lgnx 1lgmx)(lg mxlg nx)lgmx lgnxlgmxlgnx(lg mxlg nx)(11lgmxlgnx)(lg mxlg nx) .(11lgm nx) x1，lg x0.当 0b；当 lg x1 时， a b；当 lg x1 时， a
9、b.应选 A.5若 0Q，则实数 a， b 满足的条件为_解析： P Q a2b25(2 ab a24 a)7 a2b252 ab a24 a a2b22 ab14 a24 a( ab1) 2( a2) 2， PQ， P Q0，即( ab1) 2( a2) 20， ab1 或 a2.答案： ab1 或 a27一个个体户有一种商品，其成本低于 元如果月初售出可获利 100 元，再将3 5009本利存入银行，已知银行月息为 2.5%，如果月末售出可获利 120 元，但要付成本的 2%的保管费，这种商品应_出售(填“月初”或“月末”)解析：设这种商品的成本费为 a 元月初售出的利润为 L1100( a100)2.5%，月末售出的利润为 L21202% a，则 L1 L21000.025 a2.51200.02 a0.045 ，(a3 5009 ) a0，即 ax by czax cy bz.ax by cz( bx ay cz)( a b)x( b a)y( a b)(x y)0， ax by czbx ay cz.ax by cz( bx cy az)( a b)x( b c)y( c a)z( a b)x( b c)y( c b)( b a)z( a b)(x z)( b c)(y z)0， ax by czbx cy az.故 ax by cz 最大9
