1、12017-2018 高二年级第一学期期末考试数学模拟试卷 3一、填空题1命题“若 ，则 ”的逆否命题是_.4tan1【答案】若 ，则ta【解析】 命题的条件： ，结论是： ， 则逆否命题是： ，则 ，=4tan1tan14故答案为若 ，则 .tan12抛物线 y2=2mx(m0)的焦点到双曲线 的一条渐近线的距离为 3,则此抛物线的方程为_x【答案】 0x3 已知 ， 表 示两个不同的平面， m 为平面 内的一条直线，则“ ”是“ m”的_条件. (请在“充要、充分不必要、 必要不充分、既不充分也不必要”中选择一个填空).【答案】必要不充分【解析】当“”时， m 与 的关系可以是相交、平行、
2、垂直，故“ m”不一定成立；反之，当 m 时，又 ，故有 ，即当“ m”时，必有“” 。综上可得“”是“m” 必要不充分条件。答案：必要不充分4下列有关命题的说法中正确的有_(填序号)命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”；“ ”是“ ”的必要不充分条件；=1 256=0命题“ R，使得 ”的 否定是“ R，均有 ”； 2+12, :, 【答案】 1【解析】 ， 或 ，若 是 的充分不必要条件，则 是 的充分不必:|+1|2, =|1 3 要条件，则 ， ，故答案为 .1 17已知函数 在 处取得极小值，则实数 的取值范围是2lnfxaxxa_.【答案】 1a【解析】 ，当 时， 为极21
3、1 1axaxfx0a1f大值，矛盾；当 时 为极大值；当 时，无极值；当 时 为极小值，故0af 1f3取值范围为 .1a8点 P 是曲线 上任意一点，则点 P 到直线 的距离的最小值是 2lnyx2yx【答案】 ,0【解析】先求与直线 平行的曲线的切线，设切点为 ，则由2x2,lna，所以切点为 ，因此点 P 到直线 y=x2 的最小距离为121,01yxaa 1.9已知定义在 上函数 满足 ，且 ，则不等式 的解0,fx0fxf20f0xf集为_.【答案】 2,10在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 x2 y24 上有且仅有三个点到直线 12x5 y c0 的距离为 1，则实数 c 的
4、值是_【答案】13；【解析】由圆的方程 ，可得圆心坐标为 ，圆半径 ，圆心到直线24xy0（ ， ） 2r的距离 ， ，即 ，1250xyc1d2135c3c解得 ，故答案为13.3点睛：此题考查了直线与圆的位置关系，要求学生会根据圆的标准方程找出圆心坐标和半径，灵活运用点到直线的距离公式解决问题；由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径 ，利用点到直线的距离公式表示r4出圆心到已知直线的距离 ，根据题意 列出关于 的方程，求出方程的解即可得到 的值.d1cc11 函数 ，对任意的 ，总有 ，则实数 的取值为_.()=43+ 1,1 ()1 【答案】312已知 A(-1,0),B(2,0),直线 l:
5、x+2y+a=0 上存在点 M,使得 MA2+2MB2=10,则实数 a 的取值范围为_【答案】 215,3【解析】设 ,由 得 Mxy2210AB2210xyxy整理得 ,由题意可得直线 l:x+2y+a=0 与 有交点,联立得261236整理得 解得22154344640xax2367aa251故答案为 2,3点睛：本题考查了直接法求 M 轨迹，又点 M 在直线 l 上，所以问题转化为直线与求得的 M 轨迹方程有交点， 即 解不等式即得解，计算量大些，要注意准确性.0513 若不等式 对任意 恒成立，则实数 的值_.212ln0txx,xt【答案】 1【解析】当 时 ，记 0,2l120t
6、212gxtx；当 时 21304gtt,x2ln0xt或 ，综上 .211gtt3t1t14椭圆 左、右焦点分别为 若椭圆 上存在点 ,使得 为椭圆的2:xyCab12,FCP12(FeP离心率,则椭圆 的离心率的取值范围为_ _.【答案】 173,4【解析】由题意得 ，解得 ，12 PFae21aPFe ，即 ，2acac1c ，11ee整理得 ，解得 或 （舍去） ，20 37341734e又 ，01e 。故椭圆 的离心率的取值范围为 。74C173,4答案： 。13,点睛：求椭圆离心率或其范围的方法(1)求 的值，由 直接求(2)列出含有 的方程(或不等式)，借,abc222e=1ca
7、ba,abc6助于 消去 b，然后转化成关于 e 的方程(或不等式 )求解22bac 二、解答题15 已知：命题 ： 表示双曲线，p213xym命题 ：函数 在 上单调递增.q321fR（1）若命题 为真命题，求实数 取值范围；p（2）若命题 和命题 中有且只有一个为真命题，求实数 的取值范围.qm【答案】(1) ；(2) .31， 321， ，试题解析：（1）命题 为真命题p ，解得30m31m实数 的取值范围为 .，（2）当命题 为真命题时有 恒成立q20fx ，解得40mAm若命题 是真命题，命题 是假命题，则有pq31 2m或解得 ；32若命题 是假命题，命题 是真命题，则有pq31
8、2或7解得 .12m故所求实数 的取值范围为 .321， ，16 已知 ：方程 表示双曲线； ：关于 x 的方程 有实根；212+ 2+2=1 42+4(2)+1=0如果复合命题“ 或 ”为真， “ 且 ”为假，求 m 的取值范围 . 【答案】1m3 或-2m12【解析】试题分析：首先确定 p,q 均为真的实数 m 的取值范围，然后结合命题的运算讨论实数 m 的取值范围即 可.17某地方政府要将一块如图所示的直角梯形 ABCD 空地改建为健身娱乐广场.已知 AD/BC, 百米， 百米，广场入口 P 在 AB 上，且 ，根据规划，,23ADBC3AB2ABP过点 P 铺设两条相互垂直的笔直小路
9、PM,PN（小路的宽度不计） ，点 M,N 分别在边 AD,BC 上（包含端点） ，区域拟建为跳舞健身广场， 区域拟建为儿童乐园，其它区域铺设绿化草坪，设MN.（1）求绿化草坪面积的最大值；（2）现拟将两条小路 PNM,PN 进行不同风格的美化，PM 小路的美化费用为每百米 1 万元，PN 小路的美化费用为每百米 2 万元，试确定 M,N 的位置，使得小路 PM,PN 的美化总费用最低，并求出最小费用.8【答案】(1) 绿化草坪面积的最大值为 平方百米;(2) 时总美化费用最低为9322,1AMB4 万元.【解析】试题分析：（1）先求得 1932tan, 2tan2tantPMAPMASSS,
10、再利用均值不等式求得正解；（2）先求得 ， 63 cos1siPN总美化费用为 ，再利用导数工具求得正解.2,cosin63y试题解析：（1）在 中， ，得 ，RtPMAtan2tanAM所以 2aPMAS由 ,NB,2PN在 中， ，得 ，Rttan1tan所以 112ttPMAS所以绿化草坪面积 PAMBNDBCS3tan2t912tt,63又因为 1tan2tan2tt当且当 ，即 。此时12ttt,63所以绿化草坪面积的最大值为 平方百米.932（2）方法一：在 中， ，得 ，RtPMAcos2cosPM由 ,ANB,N9在 中， ，得 ，RtPNBsin1sinPN所以总美化费用为
11、2,coi63y3222snsincoiiy22cossin令 得 列表如下0y46,644,33y- 0 -43单调递减 4单调递增 43所以当 时，即 时总美化费用最低为 4 万元。42,1AMB方法二：在 中， ，得 ，RtPMAcoscosP由 ,NB,2N在 中， ，得 ，tsin1sin所以总美化费用为 2,coi63ysin2cosiy令 得13in,2tt21sincot所以 ， 24ty2401ty10所以 在 上是单调递减241ty3,2所以当 ， 时，即 时总美化费用最低为 4 万元。t,1AMB18已知圆 ，圆 ，经过原点的两直线 满足 ，22:xy22:80Nxy12
12、,l12l且 交圆 于不同两点交 ， 圆 于不同两点 ，记 的斜率为1lM,2l,CD1lk（1）求 的取值范围； k（2）若四边形 为梯形，求 的值ABCDk【答案】 （1） （2） 或 15233【解析】试题分析：（1）首先根据条件设出直线 的方程，然后利用点到直线的距离公式求得 的取12,l k值范围， ；（2）首先设出点 的坐标，然后分别将 的方程代入圆的方程，从而利用韦达定,ABCD12,l理，结合梯形的性质求得 的值k试题解析：（1）显然 k0，所以 l1：ykx，l 2：yx依题意得 M 到直线 l1的距离 d1，整理得 k24k10，解得 2k2； 同理 N 到直线 l2的距离
13、 d2，解得k， 所以 2k （2）设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4)，将 l1代入圆 M 可得(1k 2)x24(1k)x60，所以 x1x 2，x 1x2； 7 分将 l2代入圆 N 可得：(1k 2)x2 16kx24k 2 0，所以 x3x 4，x 3x4 由四边形 ABCD 为梯形可得，所以，所以(1k) 24，解得 k1 或 k3（舍） 考点：1、点到直线的距离公式；2、直线与圆的位置关系19已知函数 .2,lnxfxeRgxaR（1）当 时，求 的单调区间；ayg11（2）若对 ，都有 成立，求 的取值范围；1,xe2gxax
14、a（3）当 时，求 在 上的最大值.,4kf0,k【答案】 （1） （2） (3) ,ea13max1kfe试题解析： 时， ， ，令 ，得 ，解得 1alnyxl1yx0yln1x1xe所以函数 的单调增区间为 l,e由题意 对 恒成立，因为 时， ， 所以2lnaxax11xeln0x对 恒成立记 ，因为 对2lx1e2lnxh21lh恒成立，当且仅当 时 ，所以 在 上是增函数，1e1x0 1,e所以 ，因此 minhxa12，记 ， 对 恒成立，23xxpee3xre30xre1x所以 在 上单 调减函数， ， ，所以 ，使 ，r0,1012,03xe当 时， ， 在 上是单调增函数；
15、当 时， ， 0xpxpx0, 01xpx在 上是单调减函数又 ，所以 对 恒成立，p,11p即 对 恒成立，所以 3xe1x3max1kfe点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，0fx min0fx若 恒成立，转化为 ;max0f（3）若 恒成立，可转化为 .fxginmaxfg20如图，已知椭圆 的右准线 的方程为 ，焦距为 .2:1(0)xyCabl4323（1）求椭圆 的方程；（2）过定点 作直线 与椭圆 交于点 （异于椭圆 的左、右顶点 ）两点，设直线1,0
16、Bl,PQC12,A与直线 相交于点 .1PA2QM若 ，试求点 的坐标；4,P13求证：点 始终在一条直线上.M【答案】 （1）点 的坐标为 ， 的坐标为 （2）见解析.P102,3Q64,5【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率公式和 a，b，c 的关系，解方程可得 a，b，进而得到椭圆方程；（2）求得直线 MA1的方程和以 MA2的方程，代入椭圆方程，求得交点 P，Q 的坐标；设点M（x 0，y 0） ，求得直线 MA1的方程和以 MA2的方程，代入椭圆方程，求得交点 P，Q 的坐标，结合P，Q，B 三点共线，所以 kPB=kQB，化简整理，可得 或 分别考虑，即可得到点 M04x201
17、xy始终在一条定直线 x=4 上 设点 ，由题意， 因为 ， ， 所以直线 的方程为0,Mxy02x12,0A2,01MA，代入 ，得 ，02y24y04yx14即 ，因为 ，20420yxx12Ax所以 ，则 ，故点 的坐标为2020208441Pxyxy 0204PyxP 022000,4xyxy 同理可得点 的坐标为 Q0220044,xy 因为 ， ， 三点共线，所以 ， PBPBQk1QPx所以 ，即 ，0 02 200 02 24411xyyxxyy002200134xyxy由题意， ，所以 000220034xxy即 2 200000341xy所以 ，则 或 若 ，则点 在椭圆上， 2001y04x20xy2014xyM， ， 为同一点，不合题意故 ，即点 始终在定直线 上. PQM0M点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、 “定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.
