1、2018 届甘肃省天水市一中高三上学期第三学段考试数学试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.1设集合 A=x|x1|2，B=x|x 24x0，xR，则 A（ BCU）= ( )A. 1，3 B. 0，3 C. 1，4 D. 0，42设 i是虚数单位，则复数 43iz的虚部为（ ）A.4 B.4 C.-4i D.-4 3已知 (,0)2x， cos5x，则 x2tan（ ）A 47 B 47 C 724 D 744设变量 yx,满足约束条件 031yx则 yx2的最大值为A-2 B4 C6 D85某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A. 83 B. 4
2、 C. 82 D. 3246已知各项均为正数的等差数列 na的前 20 项和为 100，那么 318a的最大值是( )A. 50 B. 25 C. 100 D. 2 0 7已知点 A(1，2)，B(3，1)，则线段 AB 的垂直平分线的方程是( )A4x2y50 B4x2y50Cx2y50 Dx2y508阅读右侧的算法框图，输出的结果 S的值为（ ）A 32 B 0 C 3 D 329已知菱形 ABCD 的对角线 AC 长为 1，则 AC=（ ）A4 B2 C1 D 210 （理科）已知双曲线2xyab的左、右焦点分别为 1F、 2，点 P在双曲线的右支上，且12|4|PF，则此双曲线的离心率
3、 e的最大值为（ ）A. 3 B.2 C.53 D. 7310.（文科）已知 ,lmn表示两条不同的直线， ,表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ， ， ，则 ； ， ， ，则 /,/mn；若 ,/lmnl，则 /.mn其中正确的命题个数有（ ）个A. 1 B. 2 C. 3 D. 411.三棱锥 PABC中， ,PBC互相垂直， 1PAB， M是线段 BC上一动点，若直线M与平面 所成角的正切的最大值是 62，则三棱锥 的外接球的表面积是（ ）A. 2 B. 4 C. 8 D. 112函数 xeyx,sin的大致图像为（ ）二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 1
4、3命题“ 0,x都有 sin1x”的否定： 14函数 co2f R的值域为_ .15已知方程 x+ tan si=0 有两个不等实根 a和 b，那么过点 ),(,22bBaA的直线与圆12yx的位置关系是 16已知函数 ()fx的定义域为 1;5，部分对应值如表， ()fx的导函数 ()yfx的图象如图所示，x-1 0 4 5()f1 2 2 1下列关于 fx的命题：函数 ()y是周期函数；函数 fx在 0,2上减函数；如果当 1t时， ()fx的最大值是 2，那么 t的最大值是 4；当 a时，函数 ya有 4 个零点； 函数 ()yfx的零点个数可能为 0，1，2，3，4其中正确命题的序号是
5、_（写出所有正确命题的序号） 三、解答题17 （本小题 12 分）已知 ABC中，三个内角 A、 B、 C的对边分别是 a、 b、 c，其中 10，且 cos43ba.（1）求证： 是直角三角形；（2）设圆 O过 A、 B、 C三点，点 P位于劣弧上 AC， 60PB.求四边形 ABCP的面积.18 （本小题 12 分）设数列 na满足 Nnan,231，且 21a（ ）求 432,a的值（ ）证明：数列 1n为等比数列，并求出数列 n的前 n 项和 T（ ）若数列 3lognanb，求数列 1nb的前 n 项和 nS19 （理科） （本小题 12 分）如图，四边形 ABCD 是边长为 1 的
6、正 方形，MD平面 ABCD，NB平面 ABCD，且 MD=NB=1，E 是 MN 的中点。（1）求证：平面 AEC平面 AMN； （2）求二面角 MACN 的余弦值。 19 （文科） （本小题 12 分）如图，四棱锥 中，底面为平行四边形， ， ， ， 是正三角形，平面 平面 （1）求证： ；（2）求三棱锥 的体积20 （理科） （本小题 12 分）已知椭圆 1:2byaxM 的离心率为 32，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 （）求椭圆 的方程；（）设直线 与椭圆 交于 两点，且以 为直径的圆过椭圆的右顶点 ，求 面积的最大值20.（文科） （本小题 12 分）已知直线 20
7、xy被圆 22:Cxyr所截得的弦长为 8.（1）求圆 C的方程；（2）若直线 l与圆 切于点 P，当直线 l与 轴正半轴， 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点 P的坐标.21 （理科） （本小题 12 分）已知函数 2lnafxx（ R） （）若恒有 fx成立，求实数 a的取值范围；（）若函数 gfx有两个相异极值点 1x， 2，求证： 12lnaex21 （文科） （本小题 12 分）已知函数 ()lnfa( 0, aR) ()若 1a，求函数 ()fx的极值和单调区间；()若在区间（0，e上至少存在一点 0x，使得 0()fx 成立，求实数 的取值范围.选考题：共 10 分.请考生在第
8、 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22选修 4-4：坐标系与参数方程已知直线 l的参数方程是 )(24是 参 数ttyx，曲线 C 的极坐标方程为 )4cos(2（1）求曲线 C 的直角坐标；（2）由直线 l上的点向曲线 C 引切线，求切线长的最小值23选修 4-5：不等式选讲已知函数 （1）当 时，求不等式 的解集；（2）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围1B 2D 3D 4C 5C 6B 7B 8B 9D 10理科 C 10文科 C 11. C 12D.13 0,x使得 sin1x 14 3,215相切 1617 【解析】1）证明：根据正弦定理得， cosi
9、n.AB整理为， sincosiAB，即sin2iAB或 2， 2AB或 .4,3ba 舍去 . 即 C.故 ABC是直角三角形.解：由（1）可得： 6a， 8b.在 RtACB中，3sin5BCA, 4cos5.i60cs0in 34143250.连结 PB，在 RtA中， cosPAB.四边形 C的面积 CPASSab四 边 形 sinACP24836183.18 【解析】 （ ） ， ， ， （ ）由 ，得 ，又 ，可知 是首项为 ，公比为 的等比数列（ ） ，即 ， ， ，19理科【解析】方法一、传统几何（1）MD平面 ABCD，NB平面 ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=
10、NC=MC= 2，E 是 MN 中点，可得AEMN，CEMN，又 AEEC=E 从而 MN平面 AEC；（2）这里也有多种方法：连接 BD 交 AC 与点 O，底面是正方形得 ACBD，OE/MD 推得 OEAC，得 AC平面 MDBN，所以MON 就是二面角 MACN 的平面角，在矩形 MDBN 中根据长度可以求得 cosMON= 31。（亦可把二面角 MACN，拆成两个二面角 MACE 和 EACN；或者抽取出正四面体 MNAC，再求侧面与地面所成角；或者求平面 ACN 的垂线 MB 和平面 ACM 的垂线 DN 之间的夹角）方法二、向量几何MD平面 ABCDMDDA，MDDC，又底面 A
11、BCD 为正方形 DADC，故以点 D 为坐标原点，DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DM 为 z 轴，如图建立空间直角坐标系。则各点的坐标 A（1，0,0） ，B（1,1,0） ，C（0，1,0） ，M（0,0,1） ，N（1,1,1） ，E（ 2， ，1） （1） MN E=0 MNAE； AC=0MNAC又 ACAE=E，故 MN平面 AEC； （2）不妨设平面 AMC 的法向量为 m=（1，y，z） ，平面 ANC 的法向量为 n=（1，m，n） 则由 AM,m CM A=0,mCM=0,代入坐标解得 m=（1,1,1）由 n N, n N=0, =0,代入坐标运算得 n=（1,1，
12、1）Cos=3119.文科【解析】 （1）由 ， ， ，利用余弦定理，可得，故 ，又由平面 平面 ，可得 平面 ，又 平面 ，故 （2）解：由（1）知 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 取 的中点 ，连结 ，由于 是正三角形，故 可知 平面 ，即 为三棱锥 的高在正 中， ，故 三棱锥 的体积 20理科 解：（）因为椭圆 上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为 ，所以 ，又椭圆的离心率为 ，即 ，所以 ， 所以 ， . 所以 ，椭圆 的方程为 . （）不妨设 的方程 ，则 的方程为 .由 得 ，设 ， ，因为 ，所以 ，同理可得 ， 所以 ， ， ，设 ，则 ，当且仅当 时取等号，所以 面积的
13、最大值为 .20 文科 【解析】 （1）因为圆 C的圆心到直线 20xy的距离为 2|0|1d，所以 2228()418rd.所以圆 C的方程 xy.（2）设直线 l与圆 切于点 00(,),)Pxy，则 2018xy.因为 0OPykx，所以圆的切线的斜率为 0.则切线方程为 0()xy，即 018xy.则直线 l与 x轴正半轴的交点坐标为 018(,)，与 轴正半轴的交点坐标为 018(,)y.所以围成的三角形面积为 00622Sxy.因为 20018xy，所以 9.当且仅当 03xy时，等号成立.因为 0， 0,所以 01xy，所以 016289S.所以当 03xy时， S取得最小值 1
14、8.所以所求切点 P的坐标为 (3,).21理科 【解析】 （ ）由 x，恒有 fx，即 ln12ax， ln2xa对任意 0x成立，记 ln1xH， 2ln，当 20,e， 0， Hx单调递增；当 x， ， 单调递减，Hx最大值为 21e， 21ae， 2（）函数 gxfx有两个相异的极值点 1x， 2，即 ln0a有两个不同的实数根当 时， x单调递增， gx不可能有两个不同的实根；当 时，设 lnha，则 1ah，当 10xa时， 0x， x单调递增；当 时， ， 单调递减， 1ln0ha， 1ae，不妨设 21x， 120gx， ln0， lna， 121lnxax，先证 12lx，即
15、证 212，即证 12112lnx，令 21xt，即证 lntt，设 1ln2tt，则 2 0t，函数 t在 ,单调递减， 1t， 12lnx，又 10ae， ， 12lnaex21文科 【解析】 （ I） 因 为 221afxx ，当 a=1， 21xf ，令 x 0， 得 ，又 )(xf的 定 义 域 为 0fx（ ， ） ， ， )(f随 x的 变 化 情 况 如 下 表 ：（ 0， 1） 1 1（ ， ）fx- 0 +)(f 极 小 值 所 以 1x时 ， ()fx的 极 小 值 为 1()f的 单 调 递 增 区 间 为 （ ， ） ， 单 调 递 减 区 间 为 01(， )；（
16、II） 因 为 22axfx ， 且 .a令 f 0， 得 到 1 ，若 在 区 间 （0，e上至少存在一点 0x， ， 使 得 0()fx 成 立 ，其 充 要 条 件 是 ()fx在 区 间 （0，e上 的 最 小 值 小 于 0 即 可 当 1xa 0，即 时 ， fx对 （ ， ） 成 立 ，所 以 ， ()在 区 间 （0，e上 单 调 递 减 ，故 fx在 区 间 （0，e上 的 最 小 值 为 1fealne ，由 1ae， 得 1， 即 ()a，当 x 0， 即 时 ，若 a， 则 ()fx对 (0e， 成 立 ，所 以 ()f在 区 间 ， 上 单 调 递 减 ，所 以 ， x在 区 间 (e， 上 的 最 小 值 为 1fealne 0，显 然 ， ()f在 区 间 0， 上 的 最 小 值 小 于 0 不 成 立 ； 若 1ea ， 即 1 时 ， 则 有x(0， ) a( 1a， e)
