1、湖北省黄冈、黄石等八市 2018 届高三 3 月联考数学理试题一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设集合 ， ,若 ，则 （ ）A. B. C. D. 3,0,2 3,0,1【答案】C【解析】 ， ，且 ， ，故选 C. P=3,0,Q=0,1 PQ=3,0,12. 设复数 在复平面内对应的点为 ,过原点和点 的直线的倾斜角为（ ）AA. B. C. D. 6 23 56【答案】D【解析】直线的倾斜角为 ，复数 在复平面对应的点是 ，原点 ，斜率,0,) 3-i2017= ( 3,1) (0,0)，可得 ，故选 D.3
2、. 已知数列 是等差数列， 为正整数，则“ ”是“ ”的（ ）an ap+aq=2amA. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若 ，则 aP+aq=a1+(p1)d+a1+(q1)d，即 ，若“ ”则 时， ap+aq=2am (p+q)d=2md,d0时， ，不一定成立， “ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 A.p+q=2m4. 对任意非零实数 ，若 的运算原理如图所示，则 =（ ）b (log222)A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】A【解析】30,b0) PT点 作 的平行线交 于点 ,若 ,则双曲线 的离心率
3、为（ ）O PT PF1 M |F1F2|=5|MP| CA. B. 2 C. D. 52 2 3【答案】A【解析】设双曲线的右顶点为 ，当点 时，射线 直线 ，此时 ，即 ，当 与 重合时，A PT x=a PMAO |PM|a，由 ，即有 ，由离心率公式 ，故选 A.|PM|=a e=ca=52【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出;构造 的齐次式，求出;采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据 ,建立关于焦半径和焦距的关系从而找出
4、之间的关系，求出离心率12. 对于函数 ，下列说法正确的有（ ） 在 处取得极大值 ； 有两个不同的零点；f(x)1e ；若 在 上恒成立，则 .f(2)1A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个【答案】B【解析】 在 上递增，在 上递减， 在 处有极大(e,+)值 ，正确； 时， 时， 在 上有唯一零点，在 上没有零f(e)=lnee=1e f(x), f(x)0,f(x) (e,+)点， 错误； 关于 对称的函数为 ， ， ，函数 在h(x)=ln(2ex)2ex f(2)=ln(2e2)2e2 2e25.42=3.4上递减， ， ，正确； 等价于 (e,+) f(3)f()
5、(2e2) f(2)0,|2),又 sin(2512+)=1=-3， . f(x)=sin(2x-3) g(x)=sin(4x+6)（2） ，cosx=a2+c2-b22ac 2ac-ac2ac =12 0x3，由图象可得 .64x+632 12k118. 如图，在 Rt 中， ，点 、 分别在线段 、 上，且 ，将 沿 折起到AB=BC=3 F AB AC的位置，使得二面角 的大小为 .PEF 60（1）求证： ；EFPB（2）当点 为线段 的靠近 点的三等分点时，求 与平面 所成角的正弦值.E PC PEF【答案】 （1）见解析（2） 14【解析】试题分析：（1）由等腰三角形的性质可得 ，
6、 ,翻折后垂直关系没变，仍有, 平面 ，从而得 ； (2) 二面角 的平面角，由余弦定理得 ,由勾股定理可得 , 两两垂直，以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量与 的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.试题解析：（1） AB=BC=3 ,翻折后垂直关系没变，仍有 ,EFBE. EF平 面 PBE(2) , 二面角 的平面角，EFAE PEB，又 ,由余弦定理得 ,PE=2,BE=1, , 两两垂直.PB2+EB2=PE2 PB,BC,EB以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立如图直角坐标系.BE y则 P(0,0, 3),
7、C(3,0,0),E(0,1,0),PE=(0,1,- 3),PF=(2,1,- 3)设平面 的法向量PEF由 可得14故 PC 与平面 PEF 所成的角的正弦值为 .【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求线面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19. 2017 年 5 月，来自“一带一路”沿线的 20 国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁
8、、扫码支付、共享单车和网购。为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在 5 个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：城市品牌 甲品牌（百万） 4 3 8 6 12乙品牌（百万） 5 7 9 4 3（）如果共享单车用户人数超过 5 百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有 85%的把握认为“优质潜力城市” 与共享单车品牌有关？（）如果不考虑其它因素，为拓展市场，甲品牌要从这 5 个城市中选出 3 个城市进行大规模宣传在城市被选中的条件下，求城市也被选中的概率；以 表示选中的城市中用户人数超过 5 百万的个数，求随机变量 的分布列及数学期望 X X E(X)下面临界值表
9、供参考：P(K2k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考公式： K2 ，nabcd【答案】 （1）没有 85%的理由（ 2） ，见解析12【解析】试题分析：（）先列出列联表，然后根据公式求出 ，与临界值比较即可得K2= 10(4-9)25555=10252525=0.4结果；（）令事件 为“城市 I 被选中” ；事件 为“城市 II 被选中” ，D则 ,由条件概率公式可得结果；随机变量 的所有可能取值为 , 根据古典概型P(C)=C24C35=35 , P(
10、CD)=C13C35=310 X 1,2,3概率公式结合组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得分布列，进而利用期望公式可得 的数学期X望.试题解析：（）根据题意列出 列联表如下：优质城市单车品牌优质城市 非优质城市 合计甲品牌（个） 3 2 5乙品牌（个） 2 3 5合计 5 5 10， K2= 10(4-9)25555=10252525=0.42.072所以没有 85%的把握认为“优质潜力城市”与“共享单车” 品牌有关 （）令事件 为“城市 I 被选中”；事件 为“ 城市 II 被选中”，C D则 ,P(C)=C24C35=35 , P(CD)=C13C35=310所以 随机变量 的所有可能取值为 , ；X 1,2,3；故 的分布列为X1 2 3
