1、2018 届河北省衡水中学高三 9 月大联考数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 .所以 , .故选 C.2记复数 的虚部为 ，已知复数 （ 为虚数单位） ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 .故 的虚部为-3，即 .故选 B.3已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 ( )A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由 ，得 ，故 .故选 C.4 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 ，面额 10
2、0 元.2m为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 2765m23610m23652360m【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，301p设军旗的面积为 S，由题意可得： .222363,100Sm本题选择 B 选项.5已知双曲线 ： 的渐近线经过圆 ： 的圆心，则双曲线 的离心率为( )A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】圆 ： 的圆心为 ，双曲线 的渐近线为 .依题意得 .故其离心率为 .故选 A.6已知数列 为等比数列，且 ，则
3、( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意，得 ，所以 .由 ,得 ，或 （由于 与 同号，故舍去）.所以 .故选 A.7执行如图的程序框图，若输出的 的值为 ，则中应填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图，可知 .故中应填 .故选 C.8已知函数 为 内的奇函数，且当 时， ，记fxR0x1cosxfem， ， ，则 ， ， 间的大小关系是（ 2a1bf3cfab）A. B. C. D. bcacbc【答案】D【解析】函数 是奇函数，则 ，fx01os0,fem即当 时， ，01xe构造函数 ，满足 ，则函数 是偶函数，gxfgxgx则 ，1e当 时， ，据此可得
4、： ，0x,1x0x即偶函数 在区间 上单调递减，g0且： ，2,1,3abgcg结合函数的单调性可得： ，即： .2cab本题选择 D 选项.点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组) 的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)9已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. 23B. 1C. 26D. 3【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体
5、积 .211V233故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10已知函数 （ ， ）的部分图像如图所示，其中.记命题 ： ，命题 ：将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则以下判断正确的是（ ）A. 为真 B
6、. 为假 C. 为真 D. 为真【答案】D【解析】由 ，可得 .解得 .因为 ，所以 ，故 为真命题；将 图象所有点向右平移 个单位，得 .的图象，故 为假命题，所以 为假， 为真， 为假， 为真.故选 D.11抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛24yxFx3,1M物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为 ( )ABAA. B. C. D. 7126926910826【答案】B【解析】令 ，得 ，即 .
7、y14x,A由抛物线的光学性质可知 经过焦点 ，设直线 的方程为 ，代入BFAB1ykx.24yx消去 ，得 .则 ，所以 .2220kxk1ABx4BAx.54ABxp将 代入 得 ，故 .42yx4,故 .2316M故 的周长为 .AB12536964AMB故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12已知数列 与 的前 项和分别为 ，且 ,nabnnST、 0na, ,若 恒成立，则 的2*63nSN12nna*,nNkTk最小值是( )A. B. C. 49 D. 1749841【答案】B【解析】已知 ， ，两
8、式子做差2*63nnSaN2*1163nnSaN得到 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到 ，故1na 3na，故裂项求和得到b11878nn，由条件 恒成立，得到 K 的最小值为11*7849nnn nkT49故答案选 B点睛：本题考查到了通项公式的求法， 2 *11163nnnSaaN从而得到数列 是等差数列，再求出 nb，根据裂项求和的方法可以求出前 n 项和。11878nn二、填空题13已知在 中， ， ，若边 的中点 的坐标为 ，点的坐标为 ，则 _【答案】1【解析】依题意，得 ，故 是以 为底边的等腰三角形，故 ，所以 .所以 .14已知 的展开式中所有项的二项式系数之和、
9、系数之和分别为 ， ，则 的最小值为_【答案】16【解析】显然 .令 ，得 .所以 .当且仅当 .即 时，取等号，此时 的最小值为 16.15已知 ， 满足 其中 ，若 的最大值与最小值分别为 ， ，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设 ，作出直线 ，当直线 过点 时， 取得最小值 ；当直线 过点 时， 取得最大值 .即 ，当 或 时， .当 时， .所以 ，解得 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情
10、况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16在 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 .已知在鳖臑中 平面 ， ，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_.【答案】【解析】设 的中点为 ，如图，由 ，且 为直角三角形，得 .由 两两垂直，可知 为 和 的斜边，故点 到点 的距离相等，故点 为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由 .得 ，解得 .由等体积法，知 .即 ，解得 .故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 .三、解答题17已知函数 ， .（）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别
11、为 ， ， ，已知 ， ，求 的面积.【答案】 （1）最小正周期 ，对称轴方程为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）化简函数得 ，其最小正周期 ，令即可解得对称轴；（2）由 ，解得 ，由正弦定理及 ，得 ，利用即可得解.试题解析：（1）原式可化为，故其最小正周期 ，令 ，解得 ，即函数 图象的对称轴方程为，.（2）由（1） ，知 ，因为 ，所以 .又 ，故得 ，解得 .由正弦定理及 ，得 .故 .18如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ， ，侧面平面 ，且 ，动点 在棱 上，且 .（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】(1)当 时， 平面 .证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 通过证得 ，即可证得平面 ；（2）取 的中点 ,连接 ，可得 两两垂直，建立空间直角坐标系，设 与平面 所成的角为 ，则 ， 为平面 的一个法向量.试题解析：（1）当 时， 平面 .证明如下：连接 交 于点 ，连接 . ， . ， . .又 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）取 的中点 ,连接 .则 .平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 . ，且 ，四边形 为平行四边形， .又 ， .由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 ， ， ， ， ， .当 时，有 ，
