2018届河北省衡水中学高三9月大联考数学（理）试题（解析版）.doc

1、2018 届河北省衡水中学高三 9 月大联考数学（理）试题一、单选题1已知集合 ， ，则 ( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】 .所以 , .故选 C.2记复数 的虚部为 ，已知复数 （ 为虚数单位） ，则 为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 .故 的虚部为-3，即 .故选 B.3已知曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ，则 ( )A. B. 2 C. D. 【答案】C【解析】由 ，得 ，故 .故选 C.4 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 ，面额 10

2、0 元.2m为了测算图中军旗部分的面积，现用 1 粒芝麻向硬币内投掷 100 次，其中恰有 30 次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 2765m23610m23652360m【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为，301p设军旗的面积为 S，由题意可得： .222363,100Sm本题选择 B 选项.5已知双曲线 ： 的渐近线经过圆 ： 的圆心，则双曲线 的离心率为( )A. B. C. 2 D. 【答案】A【解析】圆 ： 的圆心为 ，双曲线 的渐近线为 .依题意得 .故其离心率为 .故选 A.6已知数列 为等比数列，且 ，则

3、( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】依题意，得 ，所以 .由 ,得 ，或 （由于 与 同号，故舍去）.所以 .故选 A.7执行如图的程序框图，若输出的 的值为 ，则中应填（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由图，可知 .故中应填 .故选 C.8已知函数 为 内的奇函数，且当 时， ，记fxR0x1cosxfem， ， ，则 ， ， 间的大小关系是（ 2a1bf3cfab）A. B. C. D. bcacbc【答案】D【解析】函数 是奇函数，则 ，fx01os0,fem即当 时， ，01xe构造函数 ，满足 ，则函数 是偶函数，gxfgxgx则 ，1e当 时， ，据此可得

4、： ，0x,1x0x即偶函数 在区间 上单调递减，g0且： ，2,1,3abgcg结合函数的单调性可得： ，即： .2cab本题选择 D 选项.点睛：对于比较大小、求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f ”，转化为考查函数的单调性的问题或解不等式(组) 的问题，若 f(x)为偶函数，则 f(x)f(x)f(|x|)9已知一几何体的三视图如图所示，俯视图是一个等腰直角三角形和半圆，则该几何体的体积为( )A. 23B. 1C. 26D. 3【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个半圆柱与一个地面是等腰直角三角形的三棱锥构成的组合体，故其体

5、积 .211V233故选 A.点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.10已知函数 （ ， ）的部分图像如图所示，其中.记命题 ： ，命题 ：将 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，则以下判断正确的是（ ）A. 为真 B

6、. 为假 C. 为真 D. 为真【答案】D【解析】由 ，可得 .解得 .因为 ，所以 ，故 为真命题；将 图象所有点向右平移 个单位，得 .的图象，故 为假命题，所以 为假， 为真， 为假， 为真.故选 D.11抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点 射出，经过抛24yxFx3,1M物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的周长为 ( )ABAA. B. C. D. 7126926910826【答案】B【解析】令 ，得 ，即 .

7、y14x,A由抛物线的光学性质可知 经过焦点 ，设直线 的方程为 ，代入BFAB1ykx.24yx消去 ，得 .则 ，所以 .2220kxk1ABx4BAx.54ABxp将 代入 得 ，故 .42yx4,故 .2316M故 的周长为 .AB12536964AMB故选 B.点睛：抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线周上反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴.12已知数列 与 的前 项和分别为 ，且 ,nabnnST、 0na, ,若 恒成立，则 的2*63nSN12nna*,nNkTk最小值是( )A. B. C. 49 D. 1749841【答案】B【解析】已知 ， ，两

8、式子做差2*63nnSaN2*1163nnSaN得到 ，故数列是等差数列，由等差数列的通项公式得到 ，故1na 3na，故裂项求和得到b11878nn，由条件 恒成立，得到 K 的最小值为11*7849nnn nkT49故答案选 B点睛：本题考查到了通项公式的求法， 2 *11163nnnSaaN从而得到数列 是等差数列，再求出 nb，根据裂项求和的方法可以求出前 n 项和。11878nn二、填空题13已知在 中， ， ，若边 的中点 的坐标为 ，点的坐标为 ，则 _【答案】1【解析】依题意，得 ，故 是以 为底边的等腰三角形，故 ，所以 .所以 .14已知 的展开式中所有项的二项式系数之和、

9、系数之和分别为 ， ，则 的最小值为_【答案】16【解析】显然 .令 ，得 .所以 .当且仅当 .即 时，取等号，此时 的最小值为 16.15已知 ， 满足 其中 ，若 的最大值与最小值分别为 ， ，则实数 的取值范围为_【答案】【解析】作出可行域如图所示（如图阴影部分所示）设 ，作出直线 ，当直线 过点 时， 取得最小值 ；当直线 过点 时， 取得最大值 .即 ，当 或 时， .当 时， .所以 ，解得 .点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情

10、况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.16在 九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑 .已知在鳖臑中 平面 ， ，则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为_.【答案】【解析】设 的中点为 ，如图，由 ，且 为直角三角形，得 .由 两两垂直，可知 为 和 的斜边，故点 到点 的距离相等，故点 为鳖臑的外接球的球心，设高鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为,则由 .得 ，解得 .由等体积法，知 .即 ，解得 .故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为 .三、解答题17已知函数 ， .（）求函数 的最小正周期及其图象的对称轴方程；（）在锐角 中，内角 ， ， 的对边分别

11、为 ， ， ，已知 ， ，求 的面积.【答案】 （1）最小正周期 ，对称轴方程为 ；（2） .【解析】试题分析：（1）化简函数得 ，其最小正周期 ，令即可解得对称轴；（2）由 ，解得 ，由正弦定理及 ，得 ，利用即可得解.试题解析：（1）原式可化为，故其最小正周期 ，令 ，解得 ，即函数 图象的对称轴方程为，.（2）由（1） ，知 ，因为 ，所以 .又 ，故得 ，解得 .由正弦定理及 ，得 .故 .18如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形，其中 ， ，侧面平面 ，且 ，动点 在棱 上，且 .（1）试探究 的值，使 平面 ，并给予证明；（2）当 时，求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】(1

12、)当 时， 平面 .证明见解析；(2) .【解析】试题分析：（1）连接 交 于点 ，连接 通过证得 ，即可证得平面 ；（2）取 的中点 ,连接 ，可得 两两垂直，建立空间直角坐标系，设 与平面 所成的角为 ，则 ， 为平面 的一个法向量.试题解析：（1）当 时， 平面 .证明如下：连接 交 于点 ，连接 . ， . ， . .又 平面 ， 平面 ， 平面 .（2）取 的中点 ,连接 .则 .平面 平面 ，平面 平面 ，且 ， 平面 . ，且 ，四边形 为平行四边形， .又 ， .由 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 .则 ， ， ， ， ， .当 时，有 ，可得 . ， ， .设平面 的

13、一个法向量为 ，则有 即令 ，得 ， .即 .设 与平面 所成的角为 ，则 .当 时，直线 与平面 所成的角的正弦值为 .点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.19如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解网络外卖在 市的普及情况， 市某AA调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查

14、，并从参与调查的网民中抽取了200 人进行抽样分析，得到表格：（单位：人）经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计男性 50 50 100女性 60 40 100合计 110 90 200（1）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为 市使用网络外0.15A卖的情况与性别有关？（2）现从所抽取的女网民中利用分层抽样的方法再抽取 5 人，再从这 5 人中随机选出 3 人赠送外卖优惠券，求选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率；将频率视为概率，从 市所有参与调查的网民中随机抽取 10 人赠送礼品，记其中经A常使用网络外卖的人数为 ，求 的数学期望和方差.X参考公式： ，

15、其中 .22nadbcKdnabcd参考数据： 20PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.01002.072 2.706 3.841 5.024 6.635【答案】(1)不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与A性别有关；(2) ；答案见解析.710【解析】试题分析：(1)由题意结合列联表计算可得可知 的观测值 ，所以不2K2k.0.72能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别A有关；(2)依题意可得经常使用网络外卖的有 人，偶尔或不用网络外卖的有 人.则3选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为 .71

16、0由题意可得，随机变量服从二项分布 ，则 ； ,2XB12EX.940DX试题解析：（1）由列联表可知 的观测值 2K2k，205406.0.72191nadbcd所以不能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用网络外卖情况与性别有关.A（2）依题意，可知所抽取的 5 名女网民中，经常使用网络外卖的有 （人）6531，偶尔或不用网络外卖的有 （人）. 4021则选出的 3 人中至少有 2 人经常使用网络外卖的概率为 .2133570CP由 列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的概率为 ，2将频率视为概率，即从 市市民中任意抽取 1 人，恰好抽到经常使用网络外卖的市民A的概率为 .

17、10由题意得 ， ； .10,2XB102EX190240DX20已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为点 ， ，其离心率为 ，短轴长为 .（）求椭圆 的标准方程；（）过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ，证明：四边形 不可能是菱形.【答案】 （1） ；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由 ， 及 ，可得方程；（2）易知直线 不能平行于 轴，所以令直线 的方程为 与椭圆联立得，令直线 的方程为 ，可得 ，进而由是菱形，则 ，即 ，于是有 由韦达定理代入知无解.试题解析：（1）由已知，得 ， ，又 ，故解得 ，所以椭圆 的标准方程为 .（2）由（1） ，

18、知 ，如图，易知直线 不能平行于 轴.所以令直线 的方程为 ， .联立方程 ，得 ，所以 ， .此时 ，同理，令直线 的方程为 ， ，此时 ， ，此时 .故 .所以四边形 是平行四边形.若 是菱形，则 ，即 ，于是有 .又 ，所以有 ，整理得到 ，即 ，上述关于 的方程显然没有实数解，故四边形 不可能是菱形.21已知函数， 其中 为自然对数的底数.（）讨论函数 的单调性及极值；（）若不等式 在 内恒成立，求证： .【答案】 （1）见解析；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）函数求导得 ，讨论 和 演技单调性及极值即可；（2）当 时， 在 内单调递增，可知 在 内不恒成立，当 时，即 ，所以.

19、令 ，进而通过求导即可得最值.试题解析：（1）由题意得 .当 ，即 时， ， 在 内单调递增，没有极值.当 ，即 ，令 ，得 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，故当 时， 取得最小值 ，无极大值.综上所述，当 时， 在 内单调递增，没有极值；当 时， 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增，的极小值为 ，无极大值.（2）由（1） ，知当 时， 在 内单调递增，当 时， 成立.当 时，令 为 和 中较小的数，所以 ，且 .则 ， .所以 ，与 恒成立矛盾，应舍去.当 时， ，即 ，所以 .令 ，则 .令 ，得 ，令 ，得 ，故 在区间 内单调递增，在区间 内单调递减.故 ，即当

20、时， .所以 .所以 .而 ，所以 .点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若 恒成立；（3）若 恒成立，可转化为22在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ ， xOyC, xtcosyin0t为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极x坐标系，直线 的极坐标方程为 .l2sin34（1）当 时，求曲线 上的点到直线 的距离的最大值；tCl（2）若曲线 上的所有点都在直线 的下方，求实数 的取值范围.t【答案】(1) ；(2)

21、.320,2【解析】试题分析：(1)由题意结合点到直线距离公式可得距离的解析式为 ，234sind结合三角函数的性质可得曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .Cl 2(2)原问题等价于对 ，有 恒成立，结合恒成立的条R30tcosin件可得实数 的取值范围是 .t0,2试题解析：（1）直线 的直角坐标方程为 .l 30xy曲线 上的点到直线 的距离Cl，32cosind24sin当 时， ，14si32maxd即曲线 上的点到直线 的距离的最大值为 .Cl（2）曲线 上的所有点均在直线 的下方，l对 ，有 恒成立，R30tcosin即 （其中 ）恒成立，1t1tat .23又 ，解得 ，0t

22、2t实数 的取值范围为 .0,23已知函数 .1fxx（1）解不等式 ；3（2）记函数 的值域为 ，若 ，证明： .gxfxMt231tt【答案】(1) ；(2)证明见解析.|1【解析】试题分析：（1）先根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）利用绝对值三角不等式求 最小值得 3，所以作差得gx，根据因子符号证明不等式223131tttt 试题解析：（1）依题意，得 ,21 23,xfx于是得 或 或1,3 xf1, 23x, x解得 .1即不等式 的解集为 .fx|1x（2 ） ，2213g x当且仅当 时，取等号，10x .3,M原不等式等价于 .222 3131tttt ， ， .t0t2t .231t .2t点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向