1、2018 届广西陆川县中学高三开学考试数学（理）试题 第 I 卷 (选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合 ，则 中元素的个数为（ ）,1AxyfxByxABA必有 1 个 B1 个或 2 个 C至多 1 个 D可能 2 个以上2若 ,则 =ii)(,RA B1 C3 D 33在等差数列 中， ， ，则na710a142a7A7B10C20D304.已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A B C D6361235.将函数 的图像保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原
2、来xf2sin)(的 ，再向右平移 个单位长度后得到 ，则 的解析式为216)(xg)(A. B.)sin()xg 6sinC. D.324i )4i()xg6.执行如图所示的程序框图，若输入 ，输出的 1.75，则空白判断框内应填的条件为1,3mnA 1B 0.5C 0.2D 0.1 |nm|n|n|n7.从 5 名学生中选出 4 名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A. 48 B. 72 C. 90 D. 968.下列命题中错误的命题是A.对于命题 使得 ，则 都有,:0Rxp012x,:Rxp012B.若随机变量 ，则)(NX5.)(X
3、PC.设函数 ，则函数 有三个不同的零点sin)(f(fD.设等比数列 的前 项和为 ，则“ ”是“ ”的充分必要条件anS01a23S9.在 中， , 是 的内心，若 ，则ABC6,5BCIABCnAmI),(RnmA. B. C. D.3422110.已知函数 的两个极值点分别在 与 内，则 的取值范围是cbxaxf32)(3 )0,(,(ba2A B. C. D.,2)1,()3,21(3111.已知函数 ，记函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为cossin)(2xxf xf4,ttM，设函数 ，若 ，则函数 的值域为tmttmMh15,)(thA. B. C. D.2,3 2,32,
4、2,112.已知奇函数 是定义在 上的连续可导函数，其导函数是 ，当 时， 恒成)(xfR)(xf0)(2xff立，则下列不等关系一定正确的是A. B. C. D.)2(12ffe)2(1(2ffe)2(1(2ffe)1()(2fef二、填空题（本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分）13.若 052nxd，则 1nx的二项展开式中 2x的系数为 .14.已知双曲线 2(0,)yab的左右焦点分别关于两条渐近线的对称点重合，则双曲线的离心率为_15. 已知锐角三角形 ABC中，角 ,所对的边分别为 ,abc若 2cosaB，则2in()A的取值范围是_16.已知函数 1()2fx，点
5、 O为坐标原点, 点 (,)nAfN，向量 (0,1)i，n是向量 nOA与 i的夹角，则使得 312coscscosiniiint 恒成立的实 数 t的取值范围为_.三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分 12 分）已知函数 .2 1()cos3in()cos()2fxx（）求函数 在 的单调递减区间；f0,（）在锐角 中，内角 ， ， ，的对边分别为 ， ， ，已知 ， ，ABCBCabc()1fA2a，求 的面积.siniba18.（本小题满分 12 分）某产品按行业生产标准分成 8个等级，等级系数 X依次为 1,2 8，
6、其中 5X为标准，3X为标准. 已知甲厂执行标准生产该产品，产品的零售价为 6元/件; 乙厂执行标准生产该产品，产品的零售价为元/件，假定甲, 乙两厂的产品都符合相应的执行标准. （）已知甲厂产品的等级系数 1X的概率分布列如下所示：且 1X的数学期望 16EX, 求 ,ab的值;（）为分析乙厂产品的等级系数 2，从该厂生产的产品中随机抽取 30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下:156 780.4b0.1MDECBA用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数 2X的数学期望；（）在（）,（）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由.注
7、: 产品的“性价比” ；“性价比”大的产品更具可购买性.19.（本小题满分 12 分）如图, 平面 ， 平面 ABC, 是等边三角形， 2ACE, EABCDM是 的中点. （）求证： ; （）若直线 与平面 所成角的正切值为，求二面角 BCDE的余弦值.20.（本小题满分 12 分）已知动圆与圆 21:()49Fxy相切，且与圆 1)2(:yxF相内切，记圆心的轨迹为曲线.（）求曲线 C的方程；（）设 Q为曲线 上的一个不在轴上的动点， O为坐标原点，过点 2F作 OQ的平行 线交曲线 于 ,MN两个不同的点, 求 QMN面积的最大值21.（本小题满分 12 分）设函数 ()lnfxmx.
8、若曲线 ()yfx在点 e,()Pf（ 处的切线方程为2eyx（为自然对数的底数）.（）求函数 ()f的单调区间；（）若 ,Rab，试比较 ()2fab与 ()2af的大小，并予以证明.请考生在第 2223 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 ( 为参数），在以原点为极点， 轴正xOyC3cosinxy x半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 .ls24（1）求 的普通方程和 的倾斜角；Cl（2）设点 和 交于 两点，求 .0,2P,ABPAB23.已知函数 .1fx（1）求不等式 的解集 ；2fM（2）设 ，证明： .,a
9、bMfabffb理科数学试题参考答案及评分标准题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A C A C B D C B A D C13.180 14. 2 15.( 21， ) 16. ),43三、解答题17解（1）由已知得 21()cos3incos2fxx1i3 分sin(2)6x2kk又63xx0,函数 在 的单调递减区间为 和 . 6 分()f0,35,6（2）由（1）知 ()sin(2)6fx锐角 ， ABC056A又 ()sin(2)16f，即 9 分3又 sinibCaA24bca. 12 分1si32ABSz yxMDECBA18. 解:（） 150.
10、46780.16EXab, 即 73.2ab, 1 分又由 的概率分布列得 4.,05, 2 分由 得 .3,.2 4 分 （）由已知得，样本的频率分布表如下：5 分用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数 2X的概率分布列如下：6 分所以 230.4.250.6.170.8.14EX. 7 分即乙厂产品的等级系数的数学期望为 4. 8 分 （）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于 6, 价格为 元/件，所以其性价比为 61，9 分因为乙厂产品的等级系数的期望等于 4.8, 价格为元/件，所以其性价比为 4.82，10 分据此，乙厂的产品
11、更具可购买性. 12 分19.解:（）因为 ABC是等边三角形， M是 AB的中点,所以 . 1 分因为 E平面 , 平面 C, 所以 . 2 分因为 A, 2X5678f0.3.20.10.12X356780.20.10.1所以 CM平面 EA. 3 分 因为 平面 ,所以 . 4 分（）法 1: 以点 为坐标原点， C所在直线为轴，B所在直线为轴，过 且与直线 BD平行的直线为轴，建立空间直角坐标系 Mxyz.因为 平面 A, D所以 B为直线 与平面 BC所成角. 5 分由题意得 tan2D, 即 M,6 分从而 C.不妨设 2A, 又 AE, 则 3, 1AE.7 分故 0,1B, 3
12、0, 12D, 0. 8 分于是3C, ,C, 3,2CD,设平面 与平面 E的法向量分别为 12(,),(,)mxyznxyz,由 0,mBD得 130,2xyz 令 1,得 13, 所以 1,. 9 分由 0,nCE得 2230,xyz令 21x,得 23y, 2z. 所以 1,3. 10 分所以 cos,0mn. 11 分 所以二面角 BCDE的余弦值为 . 12 分法 2: 因为平面 A,DB所以 M为直线 与平面 AB所成角. 5 分由题意得 tan2, 即 M,6 分从而 C.PNMDECBA不妨设 2AC, 又 AE, 则 3M, 1, 2BCD. 7 分由于 E平面 , 平面
13、, 则 B.取 BD的中点 N, 连接 , 则 N.在 Rt 中, 25E,在 Rt EAC中 , AC,在 Rt B中 , 22BD,取 D的中点, 连接 P, , E,则 EP. 8 分所以 B为二面角 C的平面角. 9 分在 Rt 中 , 23EP,在 Rt D中 , 1,在 Rt EAB中 , 25AB,因为 25P, 10 分所以 90. 11 分所以二面角 BCDE的余弦值为 0. 12 分20. 解：（）设圆的半径为 , 圆心的坐标为 (,)xy，由于动圆与圆 21:()49Fx相切，且与圆 1)2(:yxF相内切，所以动圆与圆 只能内切. 1 分所以 127,.PRF 2 分则
14、 4|6|211. 3 分所以圆心的轨迹是以点 ,F为焦点的椭圆, 且 3,ac, 则 225bac.所以曲线 C的方程为 1592yx. 4 分（）设123(,) (,) (,)MxyNQ，直线 MN的方程为 2xmy，由可得 225905my+-=（ ，,192yx则 1212220,. 5 分所以 6 分212124)(yymMN950222m）（()2301.59m+=7 分因为 /MNOQ，所以 N的面积等于 OMN的面积 . 8 分点 到直线 2:yx的距离 21dm=+. 9 分所以 的面积 .9513095)(301 222 mS10 分令 21mt，则 21t() ， ()22303045519ttSt=+-. 设 ，则 .)(45)(ttf 24)( ttf因为 , 所以1t .0452tf所以 ()ftt=+在 上单调递增.）,1所以当 时, ()f取得最小值, 其值为 9. 11 分
