1、2018 届山西省太原十二中高三上学期 1 月月考数学（理）试卷（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 C. . . . . . .2. 设集合 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 选 B3. 若双曲线 的右焦点 到渐近线的距离为 ，则 的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题， ，即 ，点 到一条渐近线的距离为 ，即 ， 故选 A4. 若从区间 上任取一个实数 ，则事
2、件“ ”发生的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，结合 可知 ，则从区间 上任取一个实数 ，则事件“ ”发生的概率为 ，故选 D【点睛】本题考查了几何概型的计算问题，及对数函数的性质问题，其中求出 是解题的关键5. 设 为等比数列 的前 项和，且关于 的方程 有两个相等的实根，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为 为等比数列，所以 ，故原方程可以化为 .又该方程有两个相等的实数根，故 ，解得 （舎）或 ，又 ，故选 C.6. 某几何体的三视图如图所示，三个视图中的正方形的边长均为 ，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A. B. C.
3、D. 【答案】D【解析】几何体如下图所示，是一个正方体中挖去两个相同的几何体（它是 个圆锥） ，故体积为，故选 D.7. 执行如图所示的程序框图，若输入的 则输出的 的值分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】执行第一次循环后， ， ，执行第二次循环后， ， ，执行第三次循环后， ， ，执行第四次循环后，此时 ，不再执行循环体，故选 C.点睛：对于比较复杂的流程图，可以模拟计算机把每个语句依次执行一次，找出规律即可.8. 一位数学老师在黑板上写了三个向量 ，其中 都是给定的整数.老师问三位学生这三个向量的关系，甲回答：“ 与 平行，且 与 垂直” ，乙回答：“ 与 平行” ，丙回
4、答：“ 与 不垂直也不平行” ，最后老师发现只有一位学生判断正确，由此猜测 的值不可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】法 1： 都是非零向量，如果甲正确，乙、丙错误，则 ，此时 ，解得 ，故排除 C；如果甲、乙错误，丙正确，则 ，也就是 ，故排除 A；如果甲、乙错误，丙正确，则 ，也就是 ，故排除 B；当 时， ，此时 不平行， 平行，三人全错，从而选 D .9. 设不等式组 表示的可行域 与区域 关于原点对称，若点 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 画出可行域 如图阴影部分所示，设 ，平移目标函数可知当目标函数结果点 时取最大值，最大值为 故
5、选 B10. 在四棱锥 中， 底面 ，底面为正方形， ，异面直线 与 与 所成的角均为 ，记四棱锥 与四棱锥 的外接球的半径分别为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 如图所示,设底面正方形 边长为 1，则由异面直线 与 所成的角为 ，可知 ，又由 与 所成的角为 ，可得 ，则四棱锥 的外接球的半径 ；四棱锥 的外接球的半径故选 B11. 如图，两条距离为 的直线都与 轴平行，它们与抛物线 和圆 分别交于和 ，且抛物线的准线与圆相切，则当 取得最大值时，直线 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得 或 7，又 ，故 ，设
6、直线 的方程为 ，则直线 的方程为 则设 则 令 ，令 故 ，此时直线 的方程为故选 B12. 设正项数列 满足 ，则 这 项中所有为整数的项的和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】根据题意， 且 为奇数，则则 这 项中所有为整数的项的和为 故选 C第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若曲线 在 处的切线经过 ，则 _【答案】7【解析】 即答案为14. 若 ，则 的展开式中的常数项的最小值为_【答案】【解析】 的展开式的通项为 则其常数项为 即答案为15. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中由一道著名的“引葭赴氨”
7、问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池丈见方（即 尺） ，芦苇生长在水的中央，长处水面的部分为 尺.将芦苇向池岸牵引，恰巧与水岸齐接（如图所示） ，问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设 ，则 _【答案】5【解析】设 ，则 （负根舍去）即答案为 5 16. 设函数 ，函数 ，若 ，则的取值范围为_【答案】【解析】由题令 当 时， 当 时， 不合题意，当 时符合题意；当 时， 或 ， 即答案为三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设 的内角 所对的边分别为 ，已知 .（
8、1）证明： ；（2）若 ，求 的面积.【答案】 （1）见解析；（2）当 时， 的面积 ；当 时， 的面积 .【解析】试题分析：（1）由正弦定理得 ，即 ，则，即可得证（2）由（1）知 .，则 . ，再由余弦定理求得 或 .，分情况讨论可求 的面积试题解析：（1）证明：由 及正弦定理得 ，.（2）解：由（1）知 .由余弦定理得 或 .当 时， 的面积 ；当 时， 的面积 .18. 年底某购物网站为了解会员对售后服务（包括退货、换货、维修等）的满意度，从 年下半年的会员中随机调查了 个会员，得到会员对售后服务的满意度评分如下：根据会员满意度评分，将会员的满意度从低到高分为三个等级：满意度评分 低于
9、 分 分到 分 不低于 分满意度等级 不满意 比较满意 非常满意（1）根据这 个会员的评分，估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；（2）以（1）中的频率作为概率，假设每个会员的评价结果相互独立.（i）若从下半年的所有会员中随机选取 个会员，求恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意的概率；（ii）若从下半年的所有会员中随机选取 个会员，记评分非常满意的会员的个数为 ，求 的分布列，数学期望 及方差 .【答案】 （1）可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为 和 ；（2） （i）0.272；（ii）见解析.【解析】试题分析： （1）由给出的 个数据可得，非常满
10、意的个数为 ，不满意的个数为 ，比较满意的个数为 ，由此可估算该购物网站会员对售后服务比较满意和非常满意的频率；（2）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件 ，则 .（ii） 的可能取值为 ，由题意，随机变量 由此能求出 的分布列，数学期望 及方差 .试题解析：（1）由给出的 个数据可得，非常满意的个数为 ，不满意的个数为 ，比较满意的个数为 ，可估算该购物网店会员对售后服务比较满意和非常满意的频率分别为 和 ，（2）（i）记“恰好一个评分比较满意，另一个评分非常满意”为事件 ，则 .（ii） 的可能取值为 ，则 的分布列为由题可知 .19. 如图，在四棱锥 中，底面 为梯形，平
11、面 平面 为侧棱 的中点，且 .（1）证明： 平面 ；（2）求二面角 的余弦值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）取 的中点 ，连接 .为侧棱 的中点， .，再证四边形 为平行四边形，则 .故平面 平面 .平面 平面 .（2）解：过点 作 于 平面 平面 平面 .取 的中点 ，如图所示，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，求出相应点的坐标和相应向量的坐标，求出平面 的法向量 及平面 的一个法向量 ，再根据二面角 为钝角，可得二面角 的余弦值为 .试题解析：（1）证明：取 的中点 ，连接 .为侧棱 的中点， .四边形 为平行四边形，则 .平面 平面 .平面 平面 .（2）解：过点 作 于 平面 平面 平面 .取 的中点 ，如图所示，以 为原点，建立空间直角坐标系 ，则 .设 为平面 的法向量.则取 ，则 .易证 平面 ，则 为平面 的一个法向量.，由图可知，二面角 为钝角.二面角 的余弦值为 .20. 已知 分别为椭圆 的右焦点、右顶点， ，点 为坐标原点，射线 与 的交点为 ，且 .（1）求 的方程；（2）若直线 与 交于 两点（ 在 的上方）. 在轴 上的射线分别为 ，且，当 取得最大值时，求 .【答案】 （1） ；（ 2） .
