1、学道教育初中数学1圆一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
2、相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点 在圆内；drC2、点在圆上 点 在圆上；B3、点在圆外 点 在圆外；A三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；r2、直线与圆相切 有一个交点；d3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 ；Rr外切（图 2） 有一个交点 ；d相交（图 3） 有两个交点 ；内切（图 4） 有一个交点 ；内含（图 5） 无交点 ；r周1rRd周3rRdrddCBAO周2rRd 周4rRd周5rRd学道教育初中数学2五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）
3、的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： 是直径 弧 弧 ABABCDEBCD弧 弧 中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。ACD推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 中， O弧 弧CD六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1
4、个相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： ； ；AOBDEAB ； 弧 弧CF七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： 和 是弧 所对的圆心角和圆周角AOBCAB 22、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 中， 、 都是所对的圆周角OCD 推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直 角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在 中， 是直径 或OAB90COE DCBAOC DA BFEDC BAOCBAO D CBAOCB AO学道教育初中数学3 是直径90CAB推论 3：若三角
5、形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 中，ABOA 是直角三角形或C90C注意 ：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 中， 四边 是内接四边形OABCD 180180BDE九、切线的性质与判定定理1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： 且 过半径 外端MNOAA 是 的切线2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论
6、 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： 、 是的两条切线PAB ； 平分OPA十一、圆幂定理1、相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 、 相交于点 ，ABCDPCB AO EDCBANM AOPBAOPO DCBA学道教育初中数学4 PABCD推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径 所成的两条线段的比例中项。即：在 中，直径 ，O
7、2CEAB2、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， 是切线， 是割线OP 2ACB3、割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如右图） 。即：在 中， 、 是割线E PD十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 垂直平分 。12OAB即： 、 相交于 、 两点2 垂直平分1十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 中， ；12RtOC221ABOC（2）外公切线长： 是半径之差； 内公切线长： 是半径之和 2十四、圆内正多边
8、形的计算（1）正三角形 在 中 是正三角形，有关计算在 中进行： ；OABCRtBOD:1:32BDOO EDCB A D EC BPAO BAO1 O2CO2O1BADCB AOECBA DOBAO学道教育初中数学5（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 中进行， ：RtOAE:1:2AEO（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 中进行， .tB:3B十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： ；180nRl（2）扇形面积公式： 236Sl：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积nRS2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图=2S侧表 底 2rh（2）圆柱的体积：
9、 V3、圆锥侧面展开图（1） =S侧表 底 2Rr（2）圆锥的体积： 13Vh十六、内切圆及有关计算。（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。（2）ABC 中，C=90，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径 r= 。 2cba（3）S ABC = ，其中 a，b，c 是边长，r 是内切圆的半径。)(21cbar（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。如图，BC 切O 于点 B，AB 为弦，ABC 叫弦切角，ABC=D。 CS lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBA B1RrC BAOB OA D学道教育初中数学6考点一：与圆相
10、关概念的应用利用与圆相关的概念来解决一些问题是必考的内容，在复习中准确理解与圆有关的概念，注意分清它们之间的区别和联系.1.运用圆与角（圆心角，圆周角），弦，弦心距，弧之间的关系进行解题【例 1】 已知：如图所示，在ABO 中，AOB=90，B=25，以 O 为圆心，OA 长 为半径的圆交 AB 于 D，求弧 AD 的度数.【例 2】 如图，A、B、C 是O 上的三点，AOC=100，则ABC 的度数为（ ）. 30 . 45 . 50 . 602.利用圆的定义判断点与圆，直线与圆、圆与圆的位置关系【例 3】 已知O 的半径为 3cm，A 为线段 OM 的中点，当 OA 满足：（1）当 OA=
11、1cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .（2）当 OA=1.5cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .（3）当 OA=3cm 时，点 M 与O 的位置关系是 .【例 4】 O 的半径为 4，圆心 O 到直线 l 的距离为 3，则直线 l 与O 的位置关系是（ ）. 相交 . 相切 . 相离 . 无法确定【例 5】 两圆的半径分别为 3cm 和 4cm，圆心距为 2cm，那么两圆的位置关系是_.3.正多边形和圆的有关计算【例 6】 已知正六边形的周长为 72cm，求正六边形的半径，边心距和面积.4.运用弧长及扇形面积公式进行有关计算【例 7】 如图，矩形 ABCD 中，BC=2，DC=4，以
12、AB 为直径的半圆 O 与 DC 相切于学道教育初中数学7点 E，则阴影部分的面积为 （结果保留 ）.5.运用圆锥的侧面弧长和底面圆周长关系进行计算【例 8】 已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的母线长与底面半径长的比是 .考点二：圆中计算与证明的常见类型1.利用垂径定理解题垂径定理及其推论中的三要素是：直径、平分、过圆心，它们在圆内常常构成圆周角、等分线段、直角三角形等，从而可以应用相关定理完成其论证或计算.【例 1】 在O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P，夹角为 30，且分直径为 15 两部分，AB=6，则弦 CD的长为 . 2 . 4 . 4 . 22.利用“直径所对的
13、圆周角是直角”解题“直径所对的圆周角是直角”是非常重要的定理，在解与圆有关的问题时，常常添加辅助线构成直径所对的圆周角，以便利用上面的定理.【例 2】 如图，在O 的内接ABC 中，CD 是 AB 边上的高，求证：ACD=OCB.3.利用圆内接四边形的对角关系解题圆内接四边形的对角互补，这是圆内接四边形的重要性质，也揭示了确定四点共圆的方法.【例 3】 如图，四边形 ABCD 为圆内接四边形，E 为 DA 延长线上一点，若C45，AB ，则点 B 到 AE 的距离为_.24. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离
14、等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例 4】 如图，O 的直径 AB=4，ABC=30，BC= ，D 是线段 BC 的中点.34（ 1）试判断点 D 与O 的位置关系，并说明理由.（2）过点 D 作 DEAC，垂足为点 E，求证：直线 DE 是O 的切线. 学道教育初中数学8【例 5】 如图，已知 O 为正方形 ABCD 对角线上一点，以 O 为圆心，OA 的长为半径的O 与 BC 相切于 M，与 AB、AD 分别相交于 E、F，求证 CD 与O 相切.【例 6】 如图，半圆 O 为ABC 的外接半圆，AC 为直径，D 为劣弧 上一动点，
15、P 在 CB 的延长线上，且有BAP=BDA.求证：AP 是半圆 O 的切线.题库1. 选择题：1. O 的半径为 R，点 P 到圆心 O 的距离为 d，并且 dR，则 P 点 A.在O 内或圆周上 B.在O 外C.在圆周上 D.在O 外或圆周上2. 由一已知点 P 到圆上各点的最大距离为 5，最小距离为 1，则圆的半径为 A、2 或 3 B、3 C、4 D、2 或 43.如图，O 中，ABDC 是圆内接四边形，BOC=110，则BDC 的度数是 A.110 B.70 C.55 D.1254.在O 中，弦 AB 垂直并且平分一条半径，则劣弧 AB 的度数等于 A.30 B.120 C.150
16、D.60学道教育初中数学9BOAP C5.直线上有一点到圆心 O 的距离等于O 的半径，则直线与O 的位置关系是 、相离 、相切 、相切或相交 、相交6、如图，切O 于，交O 于点、，若 PA5，PBB，则的长是 、10 、5 、 、2537如图，某城市公园的雕塑是由 3 个直径为 1m 的圆两两相垒立在水平的地面上，则雕塑的最高点到地面的距离为 A B. C. D. 23228、已知两圆的圆心距是 9，两圆的半径是方程 2x217x+35=0 的两根，则两圆有 条切线。A、 1 条 B、2 条 C、3 条 D、4 条9、如果等腰梯形有一个内切圆并且它的中位线等于 20cm，则梯形的腰长为 、
17、 、 、 、10、如图，O 1和O 2相交于 A、B 两点，且 A O1、A O2分别是两圆的切线，A 是切点，若O 1的半径r=3，O 2的半径 R=4，则公共弦 AB 的长为 A、2 B、4.8 C、3 D、2.411、水平放置的排水管（圆柱体）截面半径是 1cm，水面宽也是 1cm，则截面有水部分（弓形）的面积是 A、 B、 C、 D、 或 二. 填空题：12.6cm 长的一条弦所对的圆周角为 90，则此圆的直径为 。 13.在O中，AB 是直径，弦 CD 与 AB 相交于点 E，若 ，则 CE=DE（只需填一个适合的条件） 。14.在圆内接四边形 ABCD 中，ABC=521，则D=
18、。15.若三角形的外心在它的一条边上，那么这个三角形是 。16.如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 E 点，AB=120，CD=70则AEB= 。 17已知两个圆的半径分别为 8 cm 和 3 cm，两个圆的圆心距为 7 cm，则这两个圆的外公切线长为 学道教育初中数学10DEBACO。18.如图，O 中，弦 AB弦 CD 于 E，OFAB 于 F，OGCD 于 G，若AE=8cm，EB=4cm，则 OG= cm。19. 已知圆锥的母线长为 5 厘米，底面半径为 3 厘米，则它的侧面积为 。四.解答题20.如图在ABC 中，C=90，点 O 为 AB 上一点，以 O 为圆心的半圆切 AC 于 E，交 AB 于D，AC=12，BC=9，求 AD 的长。21.如图在O 中，C 为 ACB 的中点，CD 为直径，弦 AB 交 CD 于点 P，又 PECB 于 E，若 BC=10，且CEEB=32，求 AB 的长 22.已知：如图，A 是以 EF 为直径的半圆上的一点，作 AGEF 交 EF 于 G，又 B 为 AG 上一点，EB 的延长线交半圆于点 K，求证： EB2学道教育初中数学1123.已知：如图，ABC 内接于O，AE 是O 的直径，CD 是ABC 中 AB 边上的高，求证：ACBC=AECD
