1、第六章 湍流模型湍流模型 湍流运动中动量与能量交换主要受大尺度 涡的影响湍流的基本方程 无论湍流运动多么复杂，非稳态的连续方程和Navier- stokes方程对于瞬时运动仍然是使用的。对不可压流动： =0 1 + =- + (grad ) 1 + =- + (grad ) 1 + =- + (grad ) up uvu tx vp vv ty wp wvw tz u u u u () (v ) ()一、 “雷诺平均”模式（RANS) 根据湍流统计平均理论，湍流的速度、压 强都可以分解为平均量和脉动量 iii uuu ppp 其中， , i up 为系综统计平均量，任意变量的时间平均值定义为
2、: 1 () tt t tdt t , i up 为脉动量一、 “雷诺平均”模式（RANS) 对N-S 方程做系综平均 0 i i u x 遵循求导和系综平均可交换的原则，上式的线性 项可直接写出 : ii uu tt 2 1 () ii i j i ji j j uu p uu f tx xxx 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 对非线性对流项 ( ) ( ) ( )( ) ( ) () ij i jji ij ij i j i j ij jjj j ij ij j uu uu u u u u uu uu u u uu xxx x uu uu x 将以上方程代入N-S 方程的系综平均中:
3、2 2 2 =0 1 + =- + (grad )+- - - 1 + =- + (grad ) - - - 1 + =- + (grad ) - - - upu u v u w uvu txx y z vpu v v v w vvv tyx y z wpu w v w w wvw tzx y z u u u u () () () 0 i i u x 2 1 () () i ii j i ji ji j j i u p uu u v u uf tx xx xx () ij i j Ru u 为雷诺应力项 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 0 i i u tx 1 () () i ii j i
4、 j i ji j j u p uu u u us tx xxx () () ji jj i j uu s txxx RANS 方程和原N-S 方程在形式上很相似， 只是多了雷诺应力项（6个）。这样，方程 只有4个，而变量有10 个。为封闭这个方程 组，人们提出了各种湍流模化方法将与时 均量u ，p 等联系起来。湍流的数值模拟方法简介 湍流数值 模拟方法 直接数值模 拟（DNS ） 非直接数值 模拟 大涡模拟 方法（LES ） Reynolds平均 法（RANS ） 统计平均法 Reynolds 应力模型 涡粘模型 ASM RSM 零方程模型 一方程模型 两方程模型 两方程模型：标准k-e模型
5、，RNG k-e模型，Realizable k-e模型等一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型 涡粘模型的一般形式（布辛涅斯克假设 ） （类比于物理粘性） 其中， 为湍动粘度，k为湍动能。 当i=j，当 i 1时， 2 () ( ) 3 j i ij t i j ji u u uu k xx 2 2 2 1 () 22 ij uu Ku v w t 1, ij 0 ij 涡粘模型 依据确定 的微分方程数目的多少，涡粘 模型包括： 零方程模型 一方程模型 两方程模型 t 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型 混合长度模型 混合长度lm 由经验公式或实验确定； 直观简单，对于如射流、
6、混合层、扰动和边界层 等带有薄的剪切层的流动有效，对于复杂流动则 很难确定lm ，且不能用于带有分离及回流的流动。涡粘模型 单方程模型 单方程模型 瞬态项 对流 项 扩散 项 产生项 耗散项 考虑到湍动的对流输运和扩散输运，比零方程模型更为合理；涡粘模型: 标准k- 模型 标准的k- 双方程 令 2 k C t 该式依据的是脉动动量输运的物理机制（涡粘系数应 当正比于脉动速度和混合长度之积（类比：分子粘性 系数正比于分子自由程和分子热运动速度之积） 湍动耗散率（turbulent dissipation rate ） () () ii kk uu xx 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘
7、模型: 标准k- 模型 标准的k- 双方程 其中， k- 分别通过他们的输运方程求出 湍动能的 生成项 湍动能的扩散项 湍动能的 耗散项 2 () () () 1 ( ) 11 , 22 ik i i ki k kkkk kkk k ij ij uu p u u kk kk u uu u txxxx xxx x ku uku u 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 标准k- 模型 湍动能的生成项：由于平均速度梯度引起 的湍动能k的产生项 ) ( 2 1 i j j i ij x u x u S j ki j i u Gu u x 2 i kt i j j u GS x 一、 “雷诺平均”模式（
8、RANS) 标准k- 模型 湍动能的扩散项 ( ) t iki k xx 2 () 1( ) k kk kk up kk u x xx x 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型: 标准k- 模型 由湍流脉动方程可以导出湍动能耗散方程如下 湍动能耗散的 生成项 湍动能耗散的扩 散项 湍动能的耗 散项 2 2222 22 jj iik i i i iik k k kkj jki kk jjk m m ii k k kmmkm m uu uuu u u u uuu uu txxxxxxxx xxxxx uu u p u xxxxxx 2 22 ii mkmk uu xxxx 一、 “雷诺平均
9、”模式（RANS) 涡粘模型: 标准k- 模型 标准的k- 双方程 其中， 分别通过他们的输运方程求出 () () ( ) it kb Mk ijkj kukk GG YS txxx , k 2 132 () () ( ) ( ) it kb ij j u CGC GC S txxxk k 涡粘模型: 标准k- 模型 标准k- 模型模式常数 12 0.09 1.0 1.3 1.44 1.92 k cc c 涡粘模型: 标准k- 模型标准k- 模型的控制方程组 注意：针对高Re 数的湍流计算模型；计算各向异性大湍流有误差。一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型: 改进的k- 模型 RNG
10、k- 模型 （1）通过修正湍动粘度，考虑了平均流动中的旋转及旋 流流动情况。 （2）在方程中增加了一项，从而反映了主流的时均应变 率Eij，这样，模型中产生项不仅与流动情况有关，而且在 同一问题中也还是空间坐标的函数。 从而， RNG k- 模型可以更好地处理高应变率及流线弯 曲程度较大的流动。 需要注意的是，该模型仍是针对充分发展的湍流有效的， 即是高Re数的湍流计算模型。RNG k- 模型一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型: 改进的k- 模型 Realizable k- 模型 （1）湍动粘度计算公式发生了变化，引入了与旋转和曲率有关 的内容。 （2 ） 方程发生了很大变化，方程中
11、的产生项不再包含有k 方 程中的产生项Ck 项，这样，更好的表示了光谱的能量转换。 （3 ） 方程的倒数第二项不具有任何奇异性，即使k 值很小， 分母也不会为零，这与标准k- 模型和RNG k- 模型有很大 的区别。 已被有效应 用于 各种不 同类 型的 流动模 拟， 包括旋 转均 匀剪 切流、 包 含有射流和混合流的自由流动、管道内流动、边界层，以及带有分离 的流动等。Realizable k- 模型一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型: 非线性k- 模型 将雷诺应力用以下代数式近似 3 1 2 333 235 222 21 33 1 3 i j ij ij ik jk mn mm
12、ij ij ij ik jk mn mm ij ik jk jk ik k k kk uu k c S a S S S S SS kkk aa S S a u tx 式中的k- 通过解相应的输运方程获得。一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型: k- 模型壁面函数 壁面区可分为3个子层 粘性底层 粘性力在动量、热量及质量交换中起主导作用，湍流切应 力可以忽略，几乎是层流流动。 过渡层 处于粘性底层的外面，粘性力与湍流切应力的作用相当， 流动状态比较复杂。 对数律层 处于最外层，其中粘性力的影响不明显，湍流切应力占主 导地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数 律。近壁区流动的特
13、点 / w uuu yu y u k- 模型求解壁面区流动的方法一、 “雷诺平均”模式（RANS) 涡粘模型: k- 模型壁面函数 对一般工程问题，第一层网格一般不能伸到粘性底层( 在 该区域， k- 模型不适用），需要采用壁面函数。 1 ln( ) / w uE y uuu yu y u 为常数 E涡粘模型: k- 模型壁面函数 是FLUENT的默认方法，对各种壁面流动都非常 有效。 壁面函数法无法像低Re 数k- 模型那样得到粘性底 层和过渡层内的“真实”速度分布。 当流动分离过大或近壁面流动处于高压之下时， 该方法很不理想。 涡粘模型: k- 模型壁面函数涡粘模型: 低Re 数k- 模型
14、 为体现分子粘性的影响，控制方程的扩散系数项 包括了湍流扩散系数与分子扩散系数两部分。 控制方程的有关系数必须考虑不同流态的影响， 即在系数计算中引入湍流雷诺数Ret 。 在k方程中壁面附近湍动能的耗散不是各向同性。 据文献建议，当局部湍流的Ret小于150时，就应该 用低Re 数k- 模型 涡粘模型: 低Re 数k- 模型一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力模型（RSM) 雷诺应力模型的关键是对雷诺应力输运方 程各项的模化，使方程得以封闭一、 “雷诺平均”模式（RANS) 脉动运动方程 用N-S 方程减去RANS 方程得： 0 i i u x 2 1 () iii i jj i ji
15、 j i jjij ij uuu u p u u uu uu txxxx xx 这即为脉动运动方程，在该方程中，也出现了雷诺应 力项，因此，也是不封闭的。一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程 从湍流脉动方程出发，在 脉动方程上乘 以 ，再在 脉动方程上乘以 ，两式相加 后做平均运算，得到 2 2 ()() 1 () () () ij ij j i ki kj kji kkkij ji j k i ji kk kk k uu uu u u p p uu uu uuu txxxxx uu u u u uu xx xx x i u j u j u i u 一、 “雷诺平均”模式（RA
16、NS) 雷诺应力输运方程 () jj ii ji ijijji up u up u pp uu p xxxxxx 2 2 ()()2 2 jjj iii ji ji kk kk k k k k kk ij j i kk kk uu u uuu uu uu xxx xxxxxxx uu u u xx xx 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程 最后得雷诺应力输运方程 ()() () () 1 2 ij ij j j ii ki kj k kkkj i ij ji j k j ii ijk kk kk uu uu u u uu p uu uu up txxxxx uu up uuu
17、 u up u xxx xx xx 雷诺应力输运方程是不封闭的，由N-S 方程还可推导出更高阶 相关量的输运方程，但方程中必然出现更高阶相关量，因此由 N-S 方程导出的湍流统计方程总是不封闭的，湍流模型的任务 是研究统计方程的封闭方法 雷诺应力生成 项Pij 雷诺应力扩散项Dij 雷诺应力再分配 项 雷诺应力耗散 项Eij一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程 雷诺应力生成项Pij j i ik jk kk u u uu uu x x 是平均运动变形率和雷诺应力联合作用的结果， 因此，没有平均运动变形率就没有雷诺应力的生 成。一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程
18、 雷诺应力扩散项Dij () 1 () ij ji j k i ijk kk ij j i ik jk i j k kk uu up uuu up xxx xx uu up up uuu xx 具有梯度形式！它在有限体中的总贡献等于边界上的输运 量 由脉动速度和脉动压 强的关联产生的扩散 由分子粘性产生的扩 散 由脉动速度uk 携带 的雷诺应力的平均 输运一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方程 雷诺应力耗散项Eij 2 j i kk u u xx 做张量收缩运算后即为湍动能耗散率 ，是 使湍动能消失的项 ii kk uu x x 一、 “雷诺平均”模式（RANS) 雷诺应力输运方
19、程 雷诺应力再分配项 () j i ij ji u u p xx 当对其作张量收缩运算后为0，这说明，它对湍 动能没有贡献。它使湍动能在湍流脉动速度分 量间重新分配。雷诺应力输运方程 时均连续方程+Reynolds方程+Reynolds应力方程 +k方程和 方程= 12个方程！ () () 1 ( ) 2 it ii ii ijkj kukk PG txxx （） 2 132 () () 1 ( ) ( ) 2 it ii ii ij j u CPC GC txxx k 2 k C t 12 0.09 0.82 1.0 1.44 1.92 k cc c RSM适用性的讨论 RSM也属于高Re数
20、的湍流计算模型，需用壁面函 数法或低Re数的RSM来处理近壁面区的流动计算 问题。 RSM虽能考虑一些各向异性效应，但并不一定比 其他模型效果好，在计算突扩流动分离区和计算 湍流输运各向异性较强的流动时，RSM优于双方 程模型，但对于一般的回流流动，RSM计算结果 不一定好。一、 “雷诺平均”模式（RANS) 代数应力模型（ASM) 自学代数应力模型 将RSM中包含Reynolds应力微商的项用不包含微 商的表达式去代替。 ASM是将各向异性的影响合并到Reynolds应力中 进行计算的经济算法。 可用于k- 模型不能满足要求的场合以及不同的传 输假定对计算精度影响不是十分明显的场合，例 如方
21、形管道和三角形管道内的扭曲和二次流的模 拟。二、 大涡模拟（LES) 脉动的过滤 谱空间过滤 谱空间的滤波可简单理解为一个低通滤波器的作 用，即是高波数的脉动等于0 物理空间的盒式滤波 对复杂的流动，不能在谱空间进行数值模拟，这 时需要在物理空间进行过滤二、 大涡模拟（LES) 对一个函数的滤波过程写为 () () ( ) Dl Gd xyx y y 例：各向同性盒式滤波器（平顶帽滤波器） 222 3 61 () ( ) 2 l GX x y z l 高斯滤波器 () x 表示阶梯函数： 0, 0; 0 1 xx 3/2 222 22 66 () () e x p ( ) l x y z Gx
22、 ll 二、 大涡模拟（LES) 对不可压N_S方程滤波后，获得以下方程 0 i i u x t i j ij j i j i j i j i x x u x x p u u x u t ) ( ) ( ij ij i j uu uu 亚格子应力SGS （Subgrid-scale stress ） 2 1 2 3 () 1 () ,2,( 2 ij kk ij t ij ts j i ij ij ij x y z ji S CS SS S S xx ）LES方程的求解 如果需要对能量或组分等进行计算，需要建立其他针对滤 波后的标量型变量 的控制方程。 LES方法在某种程度上属于直接数值模拟（
23、DNS），在时 间积分方案上，应选择至少二阶精度的Crank-Nicolson 半隐 式方案。离散格式上，至少选择具有二阶精度的离散格式 。 计算网格可以使用交错网格，同位网格或非结构网格。 LES 仍属于高Re 数模型。 由于计算的复杂性，LES 通常在超级计算机或网络机群的 并行环境下进行。 二、 大涡模拟（LES) 亚格子应力模型：Smagorinsky-Lilly Model ij t ij kk ij S 2 3 1 ) ( 2 1 i j j i ij x u x u S S L s t 2 s ij ij C S S S 2 ) , min( 3 / 1 V C d L s s
24、1 . 0 , 42 . 0 s C k- 模型与LES模型计算实例Velocity inlet (1) 0.5 m /s Velocity inlet (2) 0.1 m /s outlet wall 3D view 100mm 500mm Length and diameter 20mm Side view Side viewVelocity magnitude (m /s) Turbulence kinetic energy Turbulence intensity k-e model resultsSimulation parameter for LES Grid number 0.5
25、2 million (grid size about 1mm) Time step=4e-4s CFL=0.2 Re=10000 Cs=0.1 (SGS model) Resident time= 1s Calculating time 72hr (23 s flow time) Parallel computer (8 cpu) Material (water) Using k-e model results as initial value 2 million grid number trying (too slow)0.1s0.4s Velocity magnitude0.5s0.8s
26、Velocity magnitude0.9s1.2s Velocity magnitude1.3s1.6s Velocity magnitude1.7s2.0s 2.0s Velocity magnitude2.1s2.4s Velocity magnitude2.5s2.8s Velocity magnitudeLarge eddy simulations 2.0s 1.7s 1.3s 0.9s 0.1s1s 2s k-e Velocity vector difference LES 2.8s LES can capture transient fluctuation of turbulence clearly An expensive method and challenge for computer power Suitable for flows in which the rate-controlling processes occur in the resolved large scales Conclusion of LES calculation
