1、 昌平区 20172018 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科) 2018.1本试卷共 5 页，共 150 分. 考试时长 120 分钟. 考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若集合 |21Ax， |(3)0Bx，则 ABA. |13或 B. |21x C. 0x或 D. 02 1+i|A. B. 2 C. 1 D. 13. 执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为A43 B. 55C. 61 D. 814设 ,xy满足1,0,y则
2、2xyz的最大值为 A 1 B. 2 C. 4 D. 16开始否是1,24Sn输出 Sn60结束5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面中，面积的最小值为A. 1 B. 2C. 2 D. 6.已知函数 ()e,xf则函数 ()fxA是偶函数，且在 0)上是增函数 B. 是奇函数，且在 (,0)上是增函数C. 是偶函数，且在 (,上是减函数 D. 是奇函数，且在 上是减函数7. 设 02x，则“ 2cosx”是“ cosx”的A充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件8. 四个足球队进行单循环比赛（每两队比赛一场） ，每场比赛胜者得 3 分
3、，负者得 0 分，平局双方各得 1分. 比赛结束后发现没有足球队全胜，且四队得分各不相同，则所有比赛中可能出现的最少平局场数是A0 B. 1 C. 2 D. 3第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分 9. 7(1)x的二项展开式中 2x的系数为 10. 已知曲线 C的极坐标方程为 sin，以极点为原点，极轴为 x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，那么曲线 的直角坐标方程为 .2主视图 左视图俯视图1 1211. 已知直线 :4350lxy，点 P是圆 22(1)()1xy上的点，那么点 P到直线 l的距离的最小值是 .12. 已知 RtABC，
4、1,点 E 是 AB 边上的动点，则 CEAur的值为 ； CEBur的最大值为 .13. 某商业街的同侧有 4 块广告牌，牌的底色可选用红、蓝两种颜色，若要求任意相邻两块牌的底色不都为红色，则不同的配色方案有 种. 14若函数,3()logaxf（ 0且 1a） ，函数 ()gxfk.若13a，函数 ()x无零点，则实数 k的取值范围是 ；若 ()fx有最小值，则实数 a的取值范围是 三、解答题共 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题 13 分）已知等差数列 na的公差 d为 1，且 34,a成等比数列.（）求数列 的通项公式；（）设数列 52nab
5、， 求数列 nb的前 项和 nS.16. （本小题 13 分）在 ABC中， 3sincosaA（）求角 的大小；（）若 ABCS， 23b，求 a的值17. （本小题 13 分）分 钟 /天0.0300.0250.0200.0150.010605040300.00520频 率 /组 距 10O0.0350.0300.0250.0200.0150.010605040300.00520频 率 /组 距 分 钟 /天10O随着“中华好诗词”节目的播出，掀起了全民诵读传统诗词经典的热潮.某社团为调查大学生对于“中华诗词”的喜好，从甲、乙两所大学各随机抽取了 40 名学生，记录他们每天学习“中华诗词”
6、的时间，并整理得到如下频率分布直方图：图 1：甲大学 图 2：乙大学根据学生每天学习“中华诗词”的时间，可以将学生对于“中华诗词”的喜好程度分为三个等级 :学习时间 t(分钟/天) 20t50tt等级 一般 爱好 痴迷()从甲大学中随机选出一名学生，试估计其“爱好”中华诗词的概率；()从两组“痴迷”的同学中随机选出 2 人，记 为选出的两人中甲大学的人数，求 的分布列和数学期望 E；()试判断选出的这两组学生每天学习“中华诗词”时间的平均值 X甲 与 乙 的大小，及方差 2S甲 与2S乙的大小(只需写出结论)18.（本小题 14 分）如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2
7、 的菱形，ABC60， PAB为正三角形，且侧面 PAB底面 ABCD， E为线段 AB的中点， M在线段 PD上.（I）当 M是线段 D的中点时，求证：PB / 平面 ACM；（II）求证： PC；（III）是否存在点 ，使二面角 EC的大 小为 60，若存在，求出 D的值；若不存在，请说明理由MPE DCBA19.（本小题 14 分）已知函数 ()ln(1)fxax， aR.（I）当 a = 2 时，求曲线 y = f在点( 0，f (0) )处的切线方程；（II）求函数 ()fx在区间0 , e -1上的最小值.20.(本小题 13 分)已知数列 1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，
8、1，2，4，8，16， L，其中第一项是 20，接下来的两项是 20，2 1，再接下来的三项是 20，2 1，2 2，依 此 类 推 . 设 该 数 列 的 前 n项和为 nS,规定：若 m*N,使得 pmS（ N） ， 则 称 m为 该 数 列 的 “佳 幂 数 ”.（）将该 数 列 的 “佳 幂 数 ”从 小 到 大 排 列 ， 直 接 写 出 前 3 个 “佳 幂 数 ”；（）试判断 50 是否为“ 佳 幂 数 ”， 并 说 明 理 由 ；（III） （ i）求 满 足 70 的 最 小 的 “佳 幂 数 ” ;（ii）证明：该数列的“ 佳 幂 数 ”有无数个.昌平区 20172018
9、学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷(理科)参考答案一、选择题(共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 D B C C B C A B二、填空题(共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分)9. 21 10. 22(1xy 11. 212. 1 ; 2 13. 6 , 7 , 8 答对一个即可给满分 14. ,) ； (,3 三、解答题(共 6 小题，共 80 分)15.（共 13 分）解：（）在等差数列 na中，因为 134,a成等比数列，所以 2314，即 1+)d（ ，解得210a. 因为 , 所以 14,a所以数列 n的通项公式 5na
10、. 6 分 （）由（）知 5, 所以 2nanb. 得131()(123)(=2nnnSn 13 分16. （共 13 分）解：（I）因为 3sincosaCA，所以 cs0，由正弦定理 iiinbB，得 3snscoAA 又因为 (0,)C， i0，所以 tan3又因为 (0,)A， 所以 6 6 分（II）由 1sin324ABCSbcc，得 43bc，由余弦定理 2osaA，得 6，即 222()3()831bcbc，因为 ，解得 24a.因为 0，所以 . 13 分17. （共 13 分）解：() 由图知，甲大学随机选取的 40 名学生中， “爱好”中华诗词的频率为0.3.20.15)
11、.6，所以从甲大学中随机选出一名学生， “爱好”中华诗词的概率为 0.65. 3 分() 甲大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有 412人，乙大学随机选取的 40 名学生中“痴迷”的学生有 .人，所以，随机变量 的取值为 0,12.所以， (0)P268C5，(1)126837，()P2068C.所以 的分布列为 0 1 2P15283718的数学期望为 () 2E. 10 分() X甲 乙 ; 2sn. 13 分18. （共 14 分）（I）证明：连接 BD 交 AC 于 H 点，连接 MH，因为四边形 ABCD 是菱形， HMPE DCBA所以点 H 为 BD 的中点. 又因为
12、M 为 PD 的中点，所以 MH / BP.又因为 BP 平面 ACM, 平面 ACM.所以 PB / 平面 ACM. 4 分（II）证明：因为 PAB为正三角形，E 为 AB 的中点，所以 PEAB . 因为平面 PAB 平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCD=AB，PE 平面 PAB，所以 PE平面 ABCD.又因为 C平面 D，所以 PEA. 8 分() 因为 ABCD 是菱形， ABC60，E 是 AB 的中点，所以 CEAB .又因为 PE平面 ABCD，以 E为原点，分别以 ,BCP为 ,xyz轴，建立空间直角坐标系 Eyz，则 0,， 1,0，3P， C， 2,30D 10
13、分假设棱 D上存在点 M，设点 坐标为 ,xyz， 01PMD，则 , ,xyz，所以 2,3(1)，所以 ,E， 0,3EC，设平面 C的法向量为 ,xyzn，则23(1)0Mxyn，解得 23(1)yxz令 z，则 ()，得 3(),0因为 PE平面 ABCD，所以平面 ABCD 的法向量 0,1m，所以 222cos|43()763n, 因为二面角 MECD的大小为 60，所以 21763，即 30，DAB CPEzx y解得 13，或 （舍去）所以在棱 PD 上存在点 M，当 13PD时，二面角 MECD的大小为 6014 分19. （共 14 分）解：（I）f (x)的定义域为 (1
14、,). 1 分因为()fax，a = 2，所以 021f， (0)f.所以 函数 f (x)在点 ,处的切线方程是 yx. 4 分（II）由题意可得 1ax.（1）当 0a时， ()0f，所以 ()fx在 1,上为减函数，所以在区间 0,e上， min()(e1)()1fxfa. 6 分(2) 当 0a时, 令()01fxa，则xa， 当1，即 时，对于 (,e)x， (0fx， 所以 f (x)在 ,1上为增函数， 所以 min(0)ff. 当1e,a，即 1ea时，对于 (0,)x， (0fx，所以 f (x)在 ,e1上为减函数，所以 min()()1ffa. 当10e,a即 1a时，当
15、 x 变化时， ()fx， ()f的变化情况如下表：0 1,a1(,e1)a()fx- 0 +A极小值 A所以 min11()()()lnlnfxfaa. 13 分综上，当 ea时， min()(e1)fxa；当 1时， iln；当 a时， min()0fx. 14 分20. （共 13 分）（）1，2，3； 3 分（）由题意可得，数列如下：第 1 组:1，第 2 组:1,2；第 3 组：1,2,4； L 第 k 组： 1,24k， ，L.则该数列的前 (1)2kL项的和为: 1(1)2()kkkS，当 50时， 9k，则 23410104132S，由于 02，对 pN， 50pS，故 50 不是“ 佳 幂 数 ”. 7 分（III） （ i）在中，要使 ()72k，有 k，此时 +1+1111+24= 2kk kkC（ ）LL，所以 是第 组等比数列 ,4， ，L的部分项的和，设 1*2N.ttk
