1、2018 届上海市浦东新区高三上学期期末教学质量检测数学试题 2017.12注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.2. 本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.1. 集合 1,234A, 1,57B，则 ABI_.2. 不等式 x的解集为_.3. 已知函数 ()f的反函数是 1()fx，则 1(5)f_. 4. 已知向量 1,2(3,4)abrr，则向量 ar在向量 b的方向上
2、的投影为_.5. 已知 i是虚数单位，复数 z满足 13i，则 z_.6. 在 5(2)x的二项展开式中， 3x的系数是_.7. 某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从中抽取 4 个产品，其中恰好有 1 个二等品的概率为_. 8. 已知函数 ()yfx是定义在 R上的偶函数，且在 0,上是增函数，若 ()(4faf，则实数a的取值范围是_.9. 已知等比数列 1,93L， 前 n项和为 nS，则使得 218n的 的最小值为_.10. 圆锥的底面半径为 3，其侧面展开图是一个圆心角为 32的扇形，则此圆锥的表面积为_.11. 已知函数 sin0fx，将 fx的图像向左
3、平移 2个单位得到函数 gx的图像，令hxg.如果存在实数 m，使得对任意的实数 x，都有 1hmh成立，则的最小值为_.12. 在平面直角坐标系中， O为坐标原点， MN、 是双曲线214y上的两个动点，动点 P满足：2OPMNurur，直线 与直线 斜率之积为 .已知平面内存在两定点 12F、 ，使得1F为定值，则该定值为_.二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分) 每 小 题 都 给 出 四 个 选 项 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 选 项 是 正 确 的 ， 选对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .13. 若实数 xyR、 ，则命题甲“ 4xy”是命题乙“ 2
4、xy”的（ ）条件A充分非必要 B必要非充分 C充要 D既非充分又非必要14.已知 中， 2A， 1C，点 P是 AB边上的动点，点 Q是 AC边上的动点，则BQPur的最小值为（ ）A 4B C D 015. 某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： 0C）满足函数关系kxbye（2.718e=L为自然对数的底数， kb、 为常数）.若该食品在 的保鲜时间是 192小时，在 0C的保鲜时间是 4小时，则该食品在 03C的保鲜时间是( )小时 A B 2 C 24 D 3 16. 关于 x的方程 sin(co)0arxa恰有 3 个实数根 123x、 、 ，则 2213x（ ）
5、A 1B 2C2D 2三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列 各题必须写出必要的步骤17. （本题满 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）如图，在长方体 1ABCD中， 2AB，1AD， . （1）求异面直线 1与 所成的角;（2）求三棱锥 的体积. 18. （本题满 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）在 ABC中，角 、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，已知： 2,1mur，cos,cosnabAr，且 mnur.（1）求 ；（2）若 27，且 23ABCS，求 b的值.19. （本题满 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题
6、 8 分）已知等差数列 na的公差为 2，其前 n项和 2,(N*,)nSpnpR.（1）求 p的值及 的通项公式;（2）在等比数列 nb中， 2132,4ab，令 *(21)(nakcb，求数列nc前 项和 nT.20. （本题满 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）已知椭圆2:xyab(0)的左、右焦点分别为 12F、 ；设点 (0,)Ab，在12AF中， 123，周长为 .（1）求椭圆 方程；（2）设不经过点 的直线 l与椭圆 相交于 BC、 两点.若直线 AB与 C的斜率之和为 1，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的
7、定点为 E，点 P为椭圆 上一个动点，试根据 AEP面积 S的不同取值范围，讨论 AEP存在的个数，并说明理由.21. （本题满 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知函数 ()fx的定义域为 D，值域为 ()f，即 ()|(),fDyfxD.若 ()f，则称()fx在 D 上封闭.（1）试分别判断函数 2017()+logxf、2()1x在 0,上是否封闭，并说明理由；（2）函数 1fxk的定义域为 ,Dab，且存在反函数 1()yfx.若函数 ()fx在 D 上封闭，且函数 1()在 上也封闭，求实数 k的取值范围；（3）已知函数 fx的定义域是
8、，对任意 xy、 ，若 xy，有 ()fxy恒成立，则称 ()fx在D 上是单射.已知函数 ()在 D 上封闭且单射，并且满足 ()nfD，其中*1 1()(),()nnfxfNfx.证明：存在 D 的真子集32L，使得 ()fx在所有 (1,23)i nL， 上封闭.浦东新区 2017 学年度第一学期教学质量检测高三数学试卷 2017.12注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚.2. 本试卷共有 21 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分）只要求直接填写结果，1-6 题每个空格填对得 4 分，7-
9、12 题每个空格填对得 5 分，否则一律得零分.1.集合 1,234A, 1,57B，则 ABI_.【答案】 1,32.不等式 x的解集为_.【答案】 (,0)(1,)U3.已知函数 ()21f的反函数是 1fx，则 5f_.【答案】 34.已知向量 ,(3,4)abrr，则向量 ar在向量 b上的投影为_.【答案】 15. 已知 i是虚数单位，复数 z满足 3i，则 z_.【答案】 26. 在 5(21)x的二项展开式中， 3x的系数是_.【答案】 807. 某企业生产的 12 个产品中有 10 个一等品，2 个二等品，现从这批产品中抽取 4 个，其中恰好有 1 个二等品的概率为_.【答案】
10、 1638. 已知函数 ()yfx是定义在 R上的偶函数，且在 0,上是增函数，若 (1)(4faf，则实数a的取值范围是_.【答案】 5,39.已知等比数列 1,93L 前 n项和为 nS，则使得 218n的 的最小值为_.【答案】1010. 圆锥的底面圆半径 3，其侧面展开图是一个圆心角为 32的扇形，则此圆锥的表面积为_.【答案】 611. 已知函数 sin0fx，将 fx向左平移 2个单位得 gx，令 hfxg，如果存在实数 m，使得对任意的实数 ，都有 1hmxh成立，则 的最小值为_. 【答案】 12. 在平面直角坐标系中， O为坐标原点. MN、 是双曲线24y上的两个动点，动点
11、 P满足：2OPMNurur，直线 与直线 斜率之积为 .已知平面内存在两定点 12F、 ，使得1F为定值，则该定值大小为_.【答案】 210二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分) 每 小 题 都 给 出 四 个 选 项 ， 其 中 有 且 只 有 一 个 选 项 是 正 确 的 ， 选对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零 分 .13. 若实数 ,xyR，命题甲“ 4xy”是命题乙“ 2xy”的（ B ）条件A充分非必要 B必要非充分 C既充分又必要 D既非充分又非必要14. 已知 中， 2A， 1BC，点 P是 AB边上的动点，点 Q是 AC边上的动点，则BQPur的最小值为
12、（ B ）A 4B C D 015. 某食品的保鲜时间 y（单位：小时）与储存温度 x（单位： C）满足函数关系kxbye（2.718e=L为自然对数的底数， ,kb为常数） ，若该食品在 0的保鲜时间是 192小时，在 0C的保鲜时间是 小时，则该食品在 03的保鲜时间是( C )小时 A B 2 C 24 D 3 16. 关于 x的方程 sin(co)arxa恰有 3 个实数根 123,x，则 2213x （ B ）A 1B 2C2D 2三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）解答下列各题必须写出必要的步骤17. （满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）如图，
13、在长方体 1CDA中，2AB， ， . （1）求异面直线 1与 所成的角 ；（2）求三棱锥 的体积. 解：（1） 1/ADBCQ 1A是异面直线 1BC与 D所成的角或其补角.2 分在等腰 中， 5,2D易得 104 分即：异面直线 1BC与 所成的角 10arcos1 分（2） 11BDAV4 分 11(2)333 分18. （满分 14 分，第 1 小问 7 分，第 2 小问 7 分）在 ABC中，角 、 、 所对的边分别为 abc、 、 ，已知： 2,mur， coscosnabA，且 mnur；（1）求角 ；（2）若 27，且 23ABCS，求 b的值.解：（1）由 mnur， cos
14、cos0aA，2 分由正弦定理得： iinicsB，2 分 2si ；ncosi0C； 由 i， 12，2 分 23；1 分（2）由 22coscabC， 7， 2260ab， 2ab；4 分由 23ABCS知， 1sin3b， 13，2 分 b.1 分19. （满分 14 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）已知等差数列 na的公差为 2，其前 n项和 2,(N*,R)nSpnp.（1）求 p的值及 的通项公式;（2）在等比数列 nb中， 2132,4ab，令 *(21)(nakcb，求数列nc前 项和 nT。解：（1） 2SpQ*,nanN*2,np3 分1a， 12)(3nn
15、3 分（2） 212,49ba， q， 213nnq，2 分当 *,nkN时， 12421n kTbabL13242(+)()k kaL174-37()(19)3(9)(2)28kkk()3()8n3 分当 *21,nkN时， 1n是偶数， 11()23()T8nnnnb ()28n*(1)3();2,1,28nn kNT3 分20. （满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分）已知椭圆2:(0)xyab的左、右焦点分别 为 12F、 ；设点(0,)Ab，在 12F中， 123A，周长为 42.（1）求椭圆 方程；（2）设不经过点 的直线 l与椭圆 相交
16、于 ,BC两点。若直 线 AB与 C的斜率之和为 ，求证：直线 过定点，并求出该定点的坐标；（3）记第（2）问所求的定点为 E，点 P为椭圆 上一个动点，试根据 AEPS面积的不同取值范围，讨论AEP存在的个数，并说明理由.解：（1）由 123F得： 13FAO ，所以 23abc又 12周长为 4， 所以 24c解方程组，得 1ab所以椭圆方程为24xy4 分（2）设直线 l方程： km，交点 12(,)(,)BxyC22(1)8404ykx1 分21212(1),4kxk1 分12,ABACyyk1 分依题： 1ABCk即： 211yx1 分12,yxmkQ12122()k xkm1 分y
17、kxk过定点 (,1)1 分（3） :10AEl， 22AEA1 分设直线 yxt与椭圆 4xy相切，222510140tyt1 分得两切线到 :0AElxy的距离分别为 1251,d1512AEPdS2d1 分当 51AEPS时， P个数为 0 个当 时， AE个数为 1 个当 AEP时， 个数为 2 个当 51S时， 个数为 3 个当 0AEP时， 个数为 4 个3 分21. （满分 18 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 8 分）已知函数 ()fx的定义域为 D，值域为 ()f，即 ()|(),fDyfxD.若 ()f，则称()fx在 D 上封闭.（1）试分别判断函数 2017()+logxf、函数2()1xg在 0,上是否封闭，并说明理由；（2）函数 1fxk的定义域为 ,Dab，且存在反函数 1()yfx.若函数 ()fx在 D 上封闭，
