1、上海市浦东新区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 21limn 2. 不等式 0x的解集为 3. 已知 na是等比数列，它的前 n项和为 nS，且 34a， 8，则 5S 4. 已知 1()fx是函数 2()log(1)fx的反函数，则 1(2)f 5. 9二项展开式中的常数项为 6. 椭圆2cos3iny（ 为参数）的右焦点坐标为 7. 满足约束条件40xy的目标函数 32fxy的最大值为 8. 函数 23()cosinfxx， R 的单调递增区间为 9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面
2、 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面下降 1 米后，水面的宽为 米10. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (0,)、 (,)、 (0,)、 (1,)，则该四面体的体积为 11. 已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且 ()f在 0,)上是增函数，如果对于任意1,2， 1(3)afx恒成立，则实数 a的取值范围是 12. 已知函数 2()57f，若对于任意的正整数 n，在区间 51,n上存在 1m个实数 0、 1、 、 、 m，使得 012()()()mffffa成立，则 的最大值为 二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知方程
3、210xp的两虚根为 1x、 2，若 12|x，则实数 p的值为（ ）A. 3 B. C. 3， 5 D. 3， 514. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1 ） 1212|zz；（2） 1212|zz；（3 ）23123()()zz，相应的在向量运算中，下列式子：（1） |ab；（2 ）|ab；（3） ()()abc，正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 315. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件16. 设 P、 Q是 R
4、 上的两个非空子集，如果存在一个从 P到 Q的函数 ()yfx满足：（1 ）()|fx；（2 ）对任意 12,x，当 12x时，恒有 12f，那么称这两个集合构成“ 恒等态射”，以下集合可以构成“ 恒等态射”的是（ ）A. R Z B. Z Q C. ,(0,) D. (,)R三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知圆锥 AO的底面半径为 2，母线长为 10，点 C为圆锥底面圆周上的一点， O为圆心， D是 B的中点，且 C.（1 ）求圆锥的全面积；（2 ）求直线 C与平面 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）18. 在 ABC中，边 a、
5、b、 c分别为角 A、 B、 C所对应的边.（1 ）若2()sin0()sinc，求角 的大小；（2 ）若 4si5A， 3C， c，求 ABC的面积 .19. 已知双曲线 2:1Cxy.（1 ）求以右焦点为圆心，与双曲线 C的渐近线相切的圆的方程；（2 ）若经过点 (0,1)P的直线与双曲线 C的右支交于不同两点 M、 N，求线段 的中垂线 l在 y轴上截距 t的取值范围.20. 已知函数 ()yfx定义域为 R，对于任意 xR 恒有 (2)()fxf.（1 ）若 ()3f，求 16的值；（2 ）若 ,2x时， 2()f，求函数 ()yf， (1,8的解析式及值域；（3 ）若 (时， 3|x
6、，求 x在区间 2n， *N上的最大值与最小值.21. 已知数列 na中 1，前 n项和为 nS，若对任意的 *nN，均有 nkSa（ 是常数，且*kN）成立，则称数列 为“ ()Hk数列”.（1 ）若数列 n为“ ()数列 ”，求数列 na的前 项和 n；（2 ）若数列 a为“ 2数列”，且 2为整数，试问：是否存在数列 na，使得 21|40nna对一切 ， *恒成立？如果存在，求出这样数列 n的 2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3 ）若数列 na为“ ()Hk数列”，且 121kaa，证明： 21()nknka.上海市浦东新区 2018 届高三二模数学试卷2018.04一. 填
7、空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1. 21limn 【解析】22. 不等式 01x的解集为 【解析】 ()(,1)x3. 已知 na是等比数列，它的前 n项和为 nS，且 34a， 8，则 5S 【解析】 512486S4. 已知 ()fx是函数 2()log(1)fx的反函数，则 1(2)f 【解析】 12log35. 91()x二项展开式中的常数项为 【解析】 384C6. 椭圆2cosiny（ 为参数）的右焦点坐标为 【解析】 143x，右焦点为 (1,0)7. 满足约束条件240yx的目标函数 32fxy的最大值为 【解析】交点 2
8、5(,)3代入最大， 16f8. 函数 2cosinfxx， R 的单调递增区间为 【解析】 1()i)6，单调递增区间为 ,36xk， kZ9. 已知抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时，量得水面宽为 8 米，当水面下降 1 米后，水面的宽为 米【解析】设 2yax，代入 (4,)， 18a， 2136x，所以宽为 4610. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz中的坐标分别是 (0,)、 (1,)、 (0,)、 (1,)，则该四面体的体积为 【解析】是一个边长为 2的正四面体，体积为 1463 11. 已知 ()fx是定义在 R 上的偶函数，且 ()fx在 0,)上是增函数，如果对于任
9、意1,2， 1(3)afx恒成立，则实数 a的取值范围是 【解析】 |在 ,2恒成立， |1|2且 |1|，解得 1,0a12. 已知函数 2()57fx，若对于任意的正整数 n，在区间 51,n上存在 1m个实数 0a、 1、 、 、 ma，使得 012()()()mffaffa成立，则 的最大值为 【解析】 in59()2，在区间 9,2上最大值为 9()4f，最小值为 53()24f，1931644，即 m 的最大值为 6二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 已知方程 210xp的两虚根为 1x、 2，若 12|x，则实数 p的值为（ ）A. 3 B. C.
10、 3， 5 D. 3， 5【解析】由 ，排除 B、C、D，选 A14. 在复数运算中下列三个式子是正确的：（1 ） 1212|zz；（2） 1212|zz；（3 ）23123()()zz，相应的在向量运算中，下列式子：（1） |ab；（2 ）|ab；（3） ()abc，正确的个数是（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【解析】 正确，错误，选 B15. 唐代诗人杜牧的七绝唐诗中有两句诗为：“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ）A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【解析】不到蓬莱不成仙，成仙到蓬莱，选 A16. 设
11、P、 Q是 R 上的两个非空子集，如果存在一个从 P到 Q的函数 ()yfx满足：（1 ）()|fx；（2 ）对任意 12,x，当 12x时，恒有 12f，那么称这两个集合构成“ 恒等态射”，以下集合可以构成“ 恒等态射”的是（ ）A. R Z B. Z Q C. ,(0,) D. (,)R【解析】根据题意，定义域为 P，单调递增，值域为 Q，由此判断，D 符合，故选 D三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17. 已知圆锥 AO的底面半径为 2，母线长为 10，点 C为圆锥底面圆周上的一点， O为圆心， D是 B的中点，且 C.（1 ）求圆锥的全面积；（
12、2 ）求直线 C与平面 所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）【解析】（1）圆锥的底面积 214Sr 3 分圆锥的侧面积 2410Srl3 分圆锥的全面积 12()1 分（2） BOCQ OB 且 CA， O平面 AB 2 分D是直线 与平面 A所成角 1 分在 RtV中， 2, 10D, 1 分10an5, arctn5 2 分 所以，直线 C与平面 AOB所成角的为 10rta1 分18. 在 B中，边 a、 b、 c分别为角 A、 B、 C所对应的边.（1 ）若2()sin0()sincA，求角 的大小；（2 ）若 4si5， 3C， c，求 ABC的面积 .【解析】（1）由题意， 2
13、sinsin2sinaba；2 分由正弦定理得 cab， cb，2 分221cosC， 3C；2 分（2 ）由 4in5A， c，且 siniA， 85a；2 分由 23ac， o5,2 分 34sinisicsi10BCC；2 分 18n225ACSca2 分19. 已知双曲线 :1xy.（1 ）求以右焦点为圆心，与双曲线 C的渐近线相切的圆的方程；（2 ）若经过点 (0,)P的直线与双曲线 的右支交于不同两点 M、 N，求线段 的中垂线 l在 y轴上截距 t的取值范围.【解析】（1） 2(,)F1 分 渐近线 0xy1 分R2 分 2()1x2 分（2 ）设经过点 B的直线方程为 1yk,
14、交点为 2(,)(,)N1 分221()0xykxk1 分 则212,012kxk2 分MN的中点为 21(,)，1 分 得中垂线 2:()lyx1 分令 0x得截距 2tk2 分即线段 的中垂线 l在 y轴上截距 t的取值范围是 (2,).20. 已知函数 ()fx定义域为 R，对于任意 xR 恒有 ()()fxf.（1 ）若 ()3f，求 16的值；（2 ）若 ,2x时， 2()f，求函数 ()yf， (1,8的解析式及值域；（3 ）若 (时， 3|x，求 x在区间 2n， *N上的最大值与最小值.【解析】（1） (1)fQ且 (2)()ff(2)3f1 分 223()1 分()1 分 4
15、4(16)8ff1 分（2 ） ()2xfxff，(1,时， 2()x， (),2f1 分4x时， 21()()ff x，1 分(),2)f1 分8时， 221()()(4)2xxff，1 分()4,fx1 分得：22(1),(),4(4),(,8xfxx，值域为 4,2)1(4,8（ ， 1 分（3 ） )2)xfxfff当 (1,2时， 3()x得：当 2(,时， ()2()3xff1 分当 ,nx时， 1(,2n，211 23()2()()(2)(2(1)3nnnnxxxxffff x L 2 分当 1,n， 为奇数时， 3,04n当 (2,x， 为偶数时， 2(),nfx综上： 1n时
16、， ()fx在 1,2上最大值为 0，最小值为 11 分， 为偶数时， 在 (,n上最大值为 4n，最小值为 28n1 分3n， 为奇数时， )fx在 1,2上最大值为 28，最小值为 41 分21. 已知数列 na中 1，前 n项和为 nS，若对任意的 *nN，均有 nkSa（ 是常数，且*kN）成立，则称数列 为“ ()Hk数列”.（1 ）若数列 n为“ ()数列 ”，求数列 na的前 项和 n；（2 ）若数列 a为“ 2数列”，且 2为整数，试问：是否存在数列 na，使得 21|40nna对一切 ， *恒成立？如果存在，求出这样数列 n的 2的所有可能值，如果不存在，请说明理由；（3 ）
17、若数列 na为“ ()Hk数列”，且 121kaa，证明： 21()nknka.【解析】（1）数列 为“ 数列”，则 nS，故 S，两式相减得： 21nn， 1 分又 时， 1a，所以 21a，1 分故 1n对任意的 N*恒成立，即 2n（常数） ，故数列 为等比数列，其通项公式为 1,*N；1 分2,nS1 分（2 ） 213232113 ()nnnnaaa2(,)N*n1 分当 *,时， 22 21111()nnnnnaa 因为 *1,(3)nna，则 2*2,3,)aN； 则 22 *1,(3,)na2 分则 22*134(3,)nnaanN，因为 432a则21 分因为 1313,S，则 290，且 n时， 2340a， 解得： 20,45,6a2 分（3 ） *1*11 (2,)(2,)nk nknn aaNSN 1 分0ka，由归纳知， 0,kL，1 分121,kaL，由归纳知， *1,()n，2 分则 1112(nknknkkaN*(,)aN1 分 *1221,()2nknknknkL1 分于是 1()aaN 于是 1*22(),nnkkka1 分S， 111()2(),(2)nnkknk1 分结论显然成立.
