1、2018 届上海市虹口区高三上学期期末教学质量监控数学试题 （时间 120 分钟，满分 150 分） 2017.12一填空题（16 题每小题 4 分，712 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）1函数 ()lg2)fx的定义域是 2已知 是定义在 R上的奇函数，则 (1)0(1)ff 3首项和公比均为 12的等比数列 na， S是它的前 n项和，则 limnS 4在 ABC中， ,所对的边分别是 ,bc，若 :2:34a，则 cosC 5已知复数 ()zabiR满足 1z，则 范围是 6某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至
2、少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 7已知 M、 N是三棱锥 PABC的棱 ， P的中点，记三棱锥 PABC的体积为 1V，三棱锥BC的体积为 2V，则 1等于_.8在平面直角坐标系中，双曲线2xya的一个顶点与抛物线 21yx的焦点重合，则双曲线的两条渐近线的方程为 9已知 sinyx和 cosx的图像的连续的三个交点 A、 B、 C构成三角形 ABC，则 的面积等于_10设椭圆2143的左、右焦点分别为 1F、 2，过焦点 1F的直线交椭圆于 M、 N两点，若2MNF的内切圆的面积为 ，则 2MNS_.11在 ABC中， D是 的中点，点列 nP()在
3、直线 AC上，且满足 1nnnPAaBPD，若1a，则数列 na的通项公式 a 12设 2()xfxb，其中 ,bN， xR，如果函数 ()yfx与函数 ()yfx都有零MCBAP点且它们的零点完全相同，则 (,)ab为 二选择题（每小题 5 分，满分 20 分）13异面直线 a和 b所成的角为 ，则 的范围是（ ）.A(0,)2.B(0,) .C(0,2 .D (0,14命题：“若 1x，则 ”的逆否命题为（ ）.若 ，则 或 .若 1x，则 或 1x C若 ，则 且 D若 ，则 且15已知函数 20()xff，则 ()2(3)(207)fff （ ） .A2017.B153 .C017 .
4、D516已知 RtC中， 90A， 4， 6A在三角形所在的平面内有两个动点 M和 N，满足 M， N，则的取值范围是（ ）.A32,4.B, .C5,.D 22631,631三解答题（本大题满分 76 分）17 （本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.）如图，在三棱锥 PABC中， PCABa， P， ACB， 为 AC的中点（1）求证： M平面 ；（2）求直线 和平面 所成的角的大小18 （本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.）已知函数 ()3cos()cos()fxxx，其中 R， 0，且此函数的最小正周期等CBAQ PDCBA于 （
5、1）求 的值，并写出此函数的单调递增区间；（2）求此函数在 0,2x的最大值和最小值19 （本题满分 14 分.第（1）小题 7 分，第（2）小题 7 分.）如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为 2km，宽为 1k的矩形，矩形两边 AB，AD紧靠两条互相垂直的路上现要过点 C修一条直线的路 l，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点 P和 Q（1）设 x（ km） ，将 APQ的面积 S表示为 x的函数；（2）求 A的面积 S（ 2）的最小值20 （本题满分 16 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分，第（3）小题 6 分.）已知平面内的定点 F到定直线 l的距离等于
6、 (0)p，动圆 M过点 F且与直线 l相切，记圆心 M的轨迹为曲线 C在曲线 上任取一点 A，过 作 l的垂线，垂足为 E.（1）求曲线 的轨迹方程； （2）记点 A到直线 l的距离为 d，且 34p，求 A的取值范围；（3）判断 EF的平分线所在的直线与曲线的交点个数，并说明理由 lFEA21 （本题满分 18 分.第（1）小题 4 分，第（2）小题 7 分，第（3）小题 7 分.）已知无穷数列 na的各项均为正数，其前 n项和为 nS， 14a.（1）如果 2，且对于一切正整数 ，均有 2，求 nS；（2）如果对于一切正整数 ，均有 1nna，求 ；（3）如果对于一切正整数 ，均有 3S
7、，证明： 31na能被 8 整除MCBAP虹口区 2017 学年度第一学期高三年级数学学科期终教学质量监控测试题答案一、填空题（16 题每小题 4 分，712 题每小题 5 分，本大题满分 54 分）1、 (,2)； 2、0； 3、1； 4、 14； 5、 1,2； 6、18； 7、 14； 8、 yx； 9、 ； 10、4； 11、 1()nna； 12、 (0,)， (,0)； 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分）13、 C； 14、 ； 15、 D； 16、 B；三、解答题（本大题满分 76 分）17、 （14 分）解:（1） PAC为等边三角形， M为 AC的中点， PMA2
8、分又 B， ，且 ， B平面 C4 分又 在平面 内，所以 BAP6 分A，且 M， C， M平面 B7 分（2）连结 由（1）知 平面 ， PB是直线 和平面 AC所成的角9 分PAC为等边三角形， 32Pa.B为等腰直角三角形，且 AB， 2aPM， 362sin4aPM， 6rcsin4PM 13 分直线 B和平面 AC所成的角的大小等于 arcsin14 分18、 （14 分）解：（1）()3cos()cos(2)3sicos2in()2 6fxxxxx 3 分由 ，且 0， 4 分QPDCBA()2sin()6fx由 2kk，解得 36kxk， 单调递增区间为,3Z7 分（2）由 0
9、2x，得 766x.6，即 时，取得最大值 211 分7x，即 x时，取得最小值 114 分19、 （16 分）解：（1） QDC BP， C又 1x， B， 2D，2BP， 21x5 分()()AQSx7 分（2）设 10,t22()12(0)APQxttStt10 分1, 4APQtt当且仅当 即 2x时， APQS取得最小值 4 2km14 分20、 （16 分）解：（1）过点 F与 l垂直的直线为 x轴， 轴与直线 l的交点为 G点，以 ,F的中点为原点建立直角坐标系设 M(,)xy， 到定点 与到定直线 l的距离相等，:,02plF2|()2pxy化简得： ()y4 分（2）设 0,
10、Ax0,(,)2pEy()pEFx6 分20002 0()(4cos 1|()2ppxxpAE x8 分l FEA02pdx， cos1pEAFd, 341,cos,34ppEAFd1arcosar()410 分（3）设 0(,)Axy0,2y， 0(,)EFpy.由 EF，得 的平分线所在的直线方程就是 A边 EF上的高所在的直线方程12 分A的平分线所在的直线方程为 00()()pxy由 002()()pxy，消 得 2200px0y， 22004()pxyEAF的平分线所在的直线与曲线有且只有一个交点16 分21、 （18 分）解：(1) 数列 na的各项均为正数，由 21nna，得 2
11、1na，数列 na是等比数列，公比 21qa，从而 341()8()2nnS4 分(2) 由 1nnS得 121n，两式相减得 121()nnaa，此数列各均为正数， a， 数列 2和数列 均是公差为 1 的等差数列由121a，得 26 分当 n为偶数时， 13124()()nnnSa 214(24当 为奇数时， 21 7()nna n2174nSn， 为 奇 数， 为 偶 数11 分(3) 由 13nnaS得 1213naS，两式相减得 213nnaa.14a，得 1213aS， 28a 3218a以下证明：对于 nN， n被 8 除余数为 4， n被 8 整除， 3na被 8 除余数为 4.13 分当 时， 1， 2， 3，命题正确假设 ()k时，命题正确，即 21kam， 312k， 34km其中 1N，23,mN那么， 1313232(84)8()4kka， 32为正整数， 31k被 8 除余数为 42313133132()0(05)kkkkaam305m为正整数， 2能被整除231313131331()kkkkkkkkka a28(06)4 206m为正整数， 被 8 除余数为 4即 nk时，命题也正确从而证得，对于一切正整数 n， 31a能被整除18 分
