1、2018 届陕西省榆林市第二中学高三上学期期中考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知复数 ，则在复平面内，复数 所对应的点位于（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A故复数 z 对应的点为（1,1），在第一象限。选 A。2. 已知集合 ， ，则集合 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由条件得 ， 。选 B。3. 某方便面生产线上每隔 15 分钟抽取一包进行检验，则该抽样方法为：从某中学的 40 名数学爱好者
2、中抽取 5 人了解学习负担情况，则该抽样方法为，那么和分别为（ ）A. 系统抽样，分层抽样 B. 分层抽样，系统抽样C. 系统抽样，简单随机抽样 D. 分层抽样，简单随机抽样【答案】C【解析】由随机抽样的特征可知，为等距抽样，是系统抽样；是简单随机抽样。选 C。4. 如图，已知平行四边形 中， ， ， 为线段 的中点， ，则（ ）A. B. 2 C. D. 1【答案】D【解析】由题意得 ， , , . ， ， 。选 D。5. 圆 截直线 所得弦长为 2，则实数 等于（ ）A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D【解析】圆的标准方程为 ，圆的圆心为（-2,1），半径为 。圆心到直线 的距离为
3、。由条件得 ，解得 。选 D。6. 已知函数 是定义域为 的偶函数，且 时， ，则函数 的零点个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】当 ，令 ,解得 或 （舍去） ， ，即当 时，函数 只有一个零点。又函数 是定义域为 的偶函数，当 时，函数 也只有一个零点。所以函数 在 R 上共有 2 个零点。选 B。7. 运行如图程序，则输出的 的值为（ ）A. 0 B. 1 C. 2018 D. 2017【答案】D【解析】依次运行程序框图给出的程序可得第一次： ，不满足条件；第二次： ，不满足条件；第三次： ，不满足条件；第四次： ，不满足条件；第五次： ，不满足条件；第六
4、次： ，满足条件，退出循环。输出 2017。选 D。8. 已知 ， ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得 ， ， ， 。选 A。9. 若函数 的图象向右平移 个单位后的图象关于直线 对称，则实数 的值可以是（ ）A. 6 B. 7 C. 8 D. 9【答案】C【解析】 ，将函数 的图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为 。所得图象关于直线 对称， ,解得 ，当 时， 。选 C。10. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 是双曲线的左顶点， 在双曲线的一条渐近线上， 为线段 的中点，且 ，则该双曲线 的渐近线为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】
5、取渐近线为 ，则当 时， ，即点 坐标为 ，点 坐标为 ，即 。 ，。 ， ，即 ，整理得 ， ，渐近线方程为 。选 A。点睛：(1)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 a，b，c 的方程或不等式，利用 b2c 2a 2 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围(2)求渐近线时， 利用 c2a 2b 2 转化为关于 a，b 的方程或不等式双曲线渐近线的斜率与离心率的关系。11. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，如图画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的体积为（ ）A. B. C. D. 8【答案】B【解析】根据三视图画出
6、几何体如图四棱锥 所示。由图形知，底面面积为 , 。选 B.12. 若函数 存在正的零点，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 ，得 ，令 ，画出函数 的图象，函数 存在正的零点，函数 和函数 的图象在 上有公共点。由图象知，当 时，两函数的图象在 上有公共点，满足题意。当 时，若两函数的图象在 上有公共点，则需满足，即 ，解得 。综上 。所以实数 的取值范围是 。选 B。点睛：本题中为解决函数有零点的问题，将其转化为两个函数的图象在 上有公共点的问题处理，画出函数图象的基础上，分为 和 两种情况解题即可。本题体现了转化思想和数形结合思想在解题中的应用。第卷（
7、共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 展开式中， 的系数为_【答案】【解析】 展开式的通项为 ，所以 展开式中 的系数为 。答案： 。14. 已知实数 满足 ，则当 取得最小值时， _【答案】【解析】画出不等式组表示的平面区域（如图 内部）所示。令 ，则 。平移直线 ，由图形可得，当直线 经过可行域内的点 B 时，直线在 y 轴上的截距最小，此时 z 取得最小值。由 解得 。 。答案： 15. 已知在直角梯形 中， ， ， ，将直角梯形 沿折叠，使平面 平面 ，则三棱锥 外接球的体积为_【答案】【解析】结合题意画出折叠后得到的三棱锥 如图所示，由条
8、件可得在底面 中，。取 AB 的中点 O，AC 的中点 E，连 OC,OE。则. , .平面 平面 , 平面 , .又 . . .点 O 为三棱锥 外接球的球心，球半径为 2. 。答案： 。点睛：（1）本题是一道关于求三棱锥外接球体积的题目，得到外接球的球心所在位置是解题的关键，结合题意取 AB 的中点 O，易得 OA=OB=OC=OD=2，进而可确定三棱锥外接球的半径，然后利用球的体积公式进行计算即可。（2）对于折叠性问题，要注意折叠前后的两个图形中哪些量（位置关系、数量关系）发生了变化、哪些没发生变化。16. 锐角 的面积为 2，且 ，若 恒成立，则实数 的最大值为_【答案】【解析】由条件
9、及正弦定理得 ， ， ，即 。 的面积为 2， ， 。 为锐角三角形， ，解得 ， ，即 . ，即 。 。 ，实数 的最大值为 。答案：点睛：本题综合性较强，将三角形的面积、余弦定理、三角变换及恒成立问题结合在一起，考查学生解决问题的综合能力。解答本题时比较容易出现的错误是忽视“锐角三角形”的调价，造成角 C 范围的扩大而导致结果错误。三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ） 17. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 的首项与公差相同，且 .（）求数列 的通项公式以及前 项和为 的表达式；（）若 ，求数列 的前 项和 .【答案】 （1） , （2
10、）【解析】试题分析：（）由数列 的首项与公差相同且 可得 ，从而可求得数列的通项公式和前 项和公式；（）由条件得 ，可采用分组求和、裂项求和的方法求解即可。试题解析：（）依题意得解得 ； ，.（）依题意得，.18. 如图，在矩形 中， ， ， 是平面 同一侧面点， ， ， ， .（）证明：平面 平面 ；（）求二面角 的正弦值.【答案】 （1）见解析（2）【解析】试题分析：（）由条件可得 ， ，从而可证得 平面 ，根据面面垂直的判定定理可得结论；（）建立空间直角坐标系，利用向量的运算可求得二面角 的余弦值为 ，进一步可得正弦值为 。试题解析：（）四边形 是矩形， . ， ，故 .又 ， 平面 . 平面 ，平面 平面 .（） ， ， ， ， ，又 ， ， 平面 .以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 ，则 ， ， ， . ， ，设平面 的一个法向量 ，
