1、2018 届辽宁省大连市旅顺中学、旅顺第二高级中学、大连市第三中学高三第二次联考 数学（理）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ,6A， 28nBN，则集合 AB为（ ）A.(,3) B.03 C. 1, D.0,12 2.已知命题 :pxR，使 240ax ，命题 :,3xqR，则下列命题是真命题的是（ ）A. q B. ()q C.()p D.()pq 3.已知数列 na的前 项和记为 nS，满足 185,3a，且 122nna，要使得 nS取到最大值，则 （ ）A.13 B.14 C.15 或
2、 16 D.164.若sin3i()02，则 sin2的值为（ ）A. 5B. 5 C.45D.455.设函数()cos2)3fx，则下列结论错误的是（ ）A. ()f的一个周期为 B. ()yfx的图像关于直线23x对称C. 2fx的一个零点为 3xD. ()f在区间,3上单调递减6.设 na是公差不为 0 的等差数列，满足224567aa，则该数列的前 10 项和 10S（ ）A.0 B.-5 C.-10 D.57.设 nb、 分别是等差、等比数列，且 18b， 41，则以下结论正确的是（ ）A. 2a B. 3ab C. 5a D. 6ab 8.已知 为锐角，且sin()，则 sin()
3、（ ）A.3410B.4310C.3410D.43109.已知单位向量 a与 b的夹角为 6，对于实数 ，则 2ab的最小值为（ ）A. 3 B.2 C. 5 D. 3 10.我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出的贡献，他在实践的基础上，于 5 世纪末提出下面的体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异” ， “势”是几何体的高， “幂”是截面面积，意思是：若两等高几何体在同高处的截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现有一旋转体 D（如图所示） ，它是由抛物线2yx，直线 4y及 轴所围成的封闭图形绕轴旋转一周所形成的几何体，利用祖暅原理，旋转体 D的参照体的三视图如图所示，
4、则旋转体 D的体积是 （ ）A. 163B. 16 C. 6 D. 8 11.若函数,0()lnxaf的图象上存在关于直线 yx对称的点，则实数 a的取值范围是（ ）A.(,0 B., C.,1 D.1, 12.已知函数 1,(2)()3(),xfxf，则函数 ()cosgxfx在区间 0,8内所有零点的和为 （ ）A.16 B.30 C.32 D.40二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知向量 a与 b满足 (3,1)， b，且 ab，则实数 .14.已知 ABC的外心 P满足 ABC，则 cosA .15.已知 1,3x是函数 ()sin)(0fx 两个相
5、邻的两个极值点，且 ()fx在32处的导数3()02f，则1()3f.16.已知函数2ln()()xbf R，若存在1,2x，使得 ()()fxfx ，则实数 b的取值范围是 .三、解答题 （17-21 题 12，选作题 10） 17.在 ABC中， 5,26cb，3cosaA. （）求 a的值；（）求证： .18.已知数列 n的前 项和为 nS，满足12,(2,)nanN，且 13a.（）求数列 a的通项公式；（）求证： 1212na .19.如图，在三棱柱 1ABC中，侧面 1AB底面 C， AB和 1都是边长为 2 的正三角形.（）过 1B作出三棱柱的截面，使截面垂直于 AB，并证明；（
6、）求 AC与平面 1B所成角的正弦值.20.如图，在四棱锥 PD中，底面 C是平行四边形， PA平面 BCD，点 ,MN分别为,B的中点，且 ,2A.（1）证明： MN 平面 PCD；（2）设直线 A与平面 B所成角为 ，当 在(0,)6内变化时，求二面角 PBCA的取值范围.21.已知函数(),()1)lnxfgkx.（）证明： kR，直线 y都不是曲线 ()yfx的切线；（）若2,xe，使1()2fxg成立，求实数 k的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知曲线 C的参数方程为cos3inxy（ 为 参 数 ），在同一平面直角坐标系中
7、，将曲线 C上的点按坐标变换123xy得到曲线 ，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线 C的极坐标方程；（）若过点(,)2A（极坐标）且倾斜角为 6的直线 l与曲线 C交于 ,MN两点，弦 的中点为 P，求PMN的值.23.已知函数 ()23fxax， ()23gx （1）解不等式 5g ； （2）若对任意 1xR，都存在 2x，使得 12()fx成立，求实数 a的取值范围试卷答案一、选择题1-5: DBCAC 6-10: AAAAD 11、12：DC二、填空题13. 2 14. 1215. 1216. 9(,)4三、解答题17.解：（）因为 36cos2aA，所以 2
8、236bcaa. 因为 5c， b，所以 409.解得： 3a，或9（舍）. （）由（）可得：26cos3A. 所以 21coss3A. 因为 3a， 5， 6b，所以 221cos3abB. 所以 cos2AB. 因为 ba， 所以 (0,)3A.因为 (0,)， 所以 2B. 18.解：（）由题意 1nna累加得231na（）12nna， 1na是首项为14，公比为 2的等比数列，因此12 2.1nn1n219.解： （）设 AB中点为 O，连 1,CB，则截面 1OBC为所求，1,OC分别为 1,的中线，所以 ,A，又 为平面 1内的两条相交直线，所以 平面 1，（）以 为原点， B方向
9、为 x轴方向建立如图所示的空间直角坐标系，易求得 (,0)(,)A， 11(0,3),(0,3)(,3)CBC13CBA，设平面 的一个法向量为 (,)nxyz，由 103nxyz解得平面 1BC的一个法向量为 (3,1)n，1|30|cos, 56ACn，所以 1与平面 1B所成角的正弦值为20.解： PA底面 BCD ,两两垂直，如图建系：0,21,0,2,01,E（1） BEDC0（2）设平面 PB的法向量为 ,nxyz1,0,1,20D202,1n设直线 BE与平面 PD所成角为 23sinco, 6BEn（3）设 ,Fxyz ,2PFxyzPC,PC三点共线 2 2xyz2,F 21
10、,BF2,0ACAC1解得：143,2设平面 FB的法向量为 ,mxyz131,0,2A00,31132mxyz平面 BP的法向量为 0,n 3cos, 1m二面角 FABP的余弦值为021.解：（） fx的定义域为 0,1,， 2ln1xf，直线 ygx过定点 1,0，若直线 ygx与曲线 yfx相切于点0,lnx（ 且 01x） ，则 02ln1xk0l，即0ln1，设 lhx， 0,x，则10hx，所以 hx在 0,上单调递增，又10，从而当且仅当 01时，成立，这与 0矛盾.所以， Rk，直线 ygx都不是曲线 yfx的切线；（）2fx即1ln2k，令1lnkx， 2e,，则2e,，使
11、fxg成立minx，2ln1xk21lnlkx21l4kx，（1）当 4时， 0， 在2e,上为减函数，于是 2minex2e1k，由2e12k得k，满足14k，所以k符合题意；（2）当 4时，由2yt及 lntx的单调性知21lnx4k在e,上为增函数，所以 2eex，即 4kk，若 0k，即 ，则 0，所以 在2,上为增函数，于是minex1k e2，不合题意；若 0k，即 4则由 0k， 21e04k及 x的单调性知存在唯一20e,x，使 0x，且当 0e,x时， x， 为减函数；当 20,xe时， ， 为增函数；所以 0minx 001lnxk，由001ln2xk得001ln2xk0x0124x，这与104k矛盾，不合题意.综上可知， k的取值范围是,2.22.解：（）2cos:1433inxxyCCy， 将1223xxyy，代入 C的普通方程可得21xy， 即2:1Cx，所以曲线 的极坐标方程为 : （）点),23(A直角坐标是)0,23(A，将 l的参数方程2cos6inxty代入 1xy，可得 5642tt， 所以3| 21tANMP 23.解：（1） )3,0( （2）由题意得 )(|)(|xgyxfy又 |3|2|2|)( aaaxf ， 2|3|)(xg，则 |3|，解得 1或 5，故实数 的取值范围为 ),15,.
