1、湖北省八校 2018 届高三上学期第一次联考（12 月）数学（文）试题一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则满足条件 的集合 的个数为（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】C【解析】 ，又 ，集合 的个数为 个，故选 C2. 已知复数 的实部与虚部和为 ，则实数的值为（ ）A. B. 1 C. D. 【答案】D【解析】 ， 解得 ，故选 D3. 已知 ，则 值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， ， ，故选 D.4. 2017 年 8 月 1 日是中国人民解放军建
2、军 90 周年纪念日，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币如图所示的是一枚 8 克圆形金质纪念币，直径 22 毫米， 面额 100 元为了测算图中军旗部分的面积，现向硬币内随机投掷 100 粒芝麻，已知恰有 30 粒芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】利用古典概型近似几何概型可得，芝麻落在军旗内的概率为 ，设军旗的面积为 S，由题意可得： .本题选择 B 选项.5. 下列说法正确的个数是（ ）“若 ，则 中至少有一个不小于 ”的逆命题是真命题 命题 “设 ，若 ，则 或 ”是一个真命题“ ”的否定是“ ” 是 的一个必要不充分条件A.
3、B. C. D. 【答案】C【解析】对于，原命题的逆命题为：若 中至少有一个不小于 ，则 ，而 满足 中至少有一个不小于 ，但此时 ，故是假命题；对于，此命题的逆否命题为“设 ，若 且，则 ”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，故是真命题；对于“ ”的否定是“ ”，故是假命题；对于， 由 可推得 ，故是真命题，故选 C点睛：本题考查了简易逻辑的判定方法、特称命题的否定等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；四种命题的关系中，互为逆否命题的两个命题真假性相同，当判断原命题的真假比较复杂时，可转化为其逆否命题的真假，充分条件、必要条件的判定相当于判定原命题、逆命题的真假.6
4、. 如图，已知椭圆 的中心为原点 , 为 的左焦点， 为 上一点，满足 且 ，则椭圆的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意可得 ，设右焦点为 ，由 知， ， ， ，即 在 中，由勾股定理，得，由椭圆定义，得 ，从而 ，得 ，于是，所以椭圆的方程为 ，故选 C7. 已知正项等比数列 的前 项和为 ，且 , 与 的等差中项为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ，故 ，又 ， ， ， ， ，故选D8. 已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由三视图知：该几何体是正四棱
5、柱与半球体的组合体，且正四棱柱的高为 ，底面对角线长为 ，球的半径为 ，所以几何体的表面积为： ，故选 A9. 秦九韶算法是南宋时期数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入 ,的值分别为 , 则输出 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】输入的 ， ，故 ， ，满足进行循环的条件； ， ，满足进行循环的条件；， ，满足进行循环的条件 ； ， ，不满足进行循环的条件，故输出的 值为 ，故选 B点睛：本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的
6、， 的值是解题的关键，属于基础题；对于循环结构的程序框图，当循环次数较少时，逐一写出循环过程，当循环次数较多时，寻找其规律尤其是循环的终止条件一定要仔细斟酌.10. 已知 为圆周率， 为自然对数的底数，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】函数 是 上的增函数，A 错； ，B 对；，而函数 是 上的减函数，C 错； ，而函数 是上的增函数，D 错，故选 B11. 已知函数 与 有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的函数（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 定义域为 ，当 时， ， ，令 ，解得 ，由 ，得，由 ，得 ，当 时， .又 是偶函数，图象关于 轴对称
7、，只有 个公共点， 最大值为 1则最长周期为 ，即 ，即，则 ， ，解得 ，故周期最大的 ，故选 A12. 已知数列 满足 （ ），将数列 中的整数项按原来的顺序组成新数列 ，则 的末位数字为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由 （ ） ，可得此数列为： ， 的整数项为 ,数列 的各项依次为： ，末位数字分别是， ，故 的末位数字为 2，故选 B点睛：本题考查了递推式的应用、观察分析猜想归纳数列通项公式、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；由通项公式可得数列 的前几项，故而可求出数列 的前几项，由此可观察出数列 为以 4 为周期的周期数列，从而可求出结果.二
8、、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知平面向量 的夹角为 ，且 ，若 ，则_【答案】3【解析】 ， ，解得 ，故答案为 3.14. 已知 满足约束条件 ，且 的最小值为 2，则常数 _【答案】2【解析】联立方程 解得两直线的交点为 ，由 得直线方程 ，结合图象可知当直线过点 时，最小， ，解得 ，故答案为 .点睛：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题；由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，由图得到可行域内的最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数后由的值等于 2 求得 的值.15. 已知函数
9、，若 ，则函数 的值域为_【答案】【解析】由题意可得 ，解得 ，当 时， ，当 时， ，则函数 的值域为 ，故答案为 .16. 我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异” “势”即是高， “幂”是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处所截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等已知双曲线 的渐近线方程为 ，一个焦点为 直线 与 在第一象限内与双曲线及渐近线围成如图所示的图形 ，则它绕 轴旋转一圈所得几何体的体积为_【答案】【解析】由题意可得双曲线的方程为 ， 在第一象限内与渐近线的交点 的坐标为 ，与双曲线第一象限的交点 的坐标为 ，记 与 轴
10、交于点 ，因为 ，根据祖暅原理，可得旋转体的体积为 ，故答案为 .三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 在 中，角 , , 的对边分别为, ,（1）若 ，且 为锐角三角形， , ，求 的值；（2）若 , ，求 的取值范围【答案】 （1）5；（2） .【解析】试题分析：（1）由二倍角公式可得： ，结合 是锐角，从而解得 ，利用余弦定理即可得 的值；（2）利用正弦定理将 结合两角差的正弦和辅助角公式可表示为 ，根据 的范围即可求得结果.试题
11、解析：（1） ， ，又 为锐角， ，而，即 ，解得 （舍负） ， （2）由正弦定理可得 ， ， ， ， .18. 如图，直三棱柱 中， , ， , 分别为 和 上的点，且（1）当 为 中点时，求证： ；（2）当 在 上运动时，求三棱锥 体积的最小值【答案】 （1）见解析；（2）18.【解析】试题分析：（1）当 为 中点时，可得平行四边形 为正方形，通过 平面 得到，由已知得 ，故而可得 平面 ，由此能证明结果；（2）设 ，则， 到平面 的距离为 ，根据等体积法可得 ，利用二次函数的性质可得最小值.试题解析：（1）证明： 为 的中点，故 为 的中点，三棱柱 为直三棱柱， 平行四边形为正方形， ，
12、 ， 为 的中点， ，三棱柱 为直三棱柱， 平面 ，又 平面 ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， （2）设 ，则由已知可得 到平面 的距离即为 的边 所对的高 ， 当 ，即 为 的中点时， 有最小值 18点睛：本题主要考查了线面垂直的判定以及三棱锥体积的计算，属于基础题；由于“线线垂直”“ 线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在三棱锥的体积主要是通过等体积法，关键寻找几何体的高.19. 为研究患肺癌与是否吸烟有关，做了一次相关调查，其中部分数据丢失，但可以确定的是不吸烟人数与吸烟人数相同，吸烟患肺癌人数占吸烟总人
13、数的 ；不吸烟的人数中，患肺癌与不患肺癌的比为 （1）若吸烟不患肺癌的有 人，现从患肺癌的人中用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人进行调查，求这两人都是吸烟患肺癌的概率；（2）若研究得到在犯错误概率不超过 的前提下，认为患肺癌与吸烟有关，则吸烟的人数至少有多少？附： ，其中 【答案】 （1） ；（2）吸烟人数至少为 人【解析】试题分析：（1）先求出吸烟的人有 人，按比例可得其中肺癌的有 16 人，不患肺癌的有 4 人，按分层抽样的定义可得抽取的 5 人中，4 人患病，1 人不患病，利用列举法可得抽取方式共有 10 种，都患病的 6 种，由概率计算公式可得结果；（2）设吸烟人数为
14、，列出 列联表，由表计算出 ，根据表得 ，解出 即可得最后结果.试题解析：（1）设吸烟人数为 ，依题意有 ，所以吸烟的人有 人，故有吸烟患肺癌的有 16 人，不患肺癌的有 4 人用分层抽样的方法抽取 5 人，则应抽取吸烟患肺癌的 4 人，记为 不吸烟患肺癌的1 人，记为 A从 5 人中随机抽取 2 人，所有可能的结果有 ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种，则这两人都是吸烟患肺癌的情形共有 种， ，即这两人都是吸烟患肺癌的概率为 （2）设吸烟人数为 ，由题意可得列联表如下：患肺癌 不患肺癌 合计吸烟不吸烟总计由表得， ，由题意 ， ， 为整数， 的最小值为 则 ，即吸烟人数至少为 人20.
15、 已知抛物线 在第一象限内的点 到焦点 的距离为 （1）若 ，过点 , 的直线 与抛物线相交于另一点 ，求 的值；（2）若直线 与抛物线 相交于 两点，与圆 相交于 两点， 为坐标原点， ，试问：是否存在实数，使得 的长为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） ；（2） 时， ， 的长为定值【解析】试题分析：（1）根据抛物线的性质可得 到焦点 的距离为 可得出 ，求出 的方程，联立抛物线 ，故而可得 ， ，即可得最后结果；（2）设出直线 的方程为 ，设 ，与抛物线方程联立，运用韦达定理得 ， ，由 ，得 ，将 ，代入可得 的值，利用直线截圆所得弦长公式得 ，故当 时满足题意.试题解析：（1）点 ， ，解得 ，故抛物线 的方程为： ，当 时， ， 的方程为 ，联立 可得， ，又 ， ， （2）设直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ，设 ，则 ， ，
