1、河南省中原名校（豫南九校）2018 届高三上学期第四次质量考评（期中）数学（文）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集 23,1Ua,集合 1,3A ， 0UAC,则 a的值为（ ）A0 B1 C 2 D 2.复数 bi的实部与虚部相等，则实数 b的值为（ ）A0 B 7 C 17 D 13. 若“ 1x”是“ ()(2)0xa”的充分不必要条件，则实数 a的取值范围是（ ）A ,0 B ,0 C (,)1,) D (,1)0, 4. 如果 33logl4mn，那么 mn的最小值
2、为（ ）A4 B C. 9 D185. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 3 B 3 C. 53 D 436. 连接双曲线21xyab和21xa（其中 ,0ab）的四个顶点的四边形面积为 1S，连接四个焦点的四边形的面积为 2S，则 21的最小值为（ ）A 2 B2 C. 3 D37. 已知定义在 R上的函数 ()fx，其导函数 ()fx的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ） ()()fbafc；函数 fx在 处取得极小值，在 xe处取得极大值；函数 ()fx在 c处取得极大值，在 xe处取得极小值；函数 f的最小值为 ()fd.A B C. D8. 若将函数 si
3、n(3)2yx的图象向右平移 4个单位后得到的图象关于点 (,0)3对称，则（ ）A 4 B 4 C. 3 D 39. 已知抛物线 2yx的焦点为 F，准线与 x轴的交点为 M， N为抛物线上的一点，且满足3NFM，则点 到 N的距离为（ ）A 12 B1 C. 3 D210. 在 C中， 22acbac， oscAC的最大值是（ ）A1 B2 C.3 D411. 已知 14b，则 cos2in的最大值为（ ）A1 B 3 C. 2 D 2312. 已知定义在 (0,)上的函数 ()fx为增函数，且 1()fxfx，则 (1)f等于（ ）A 52 B 152 C. 152或 D 5第卷（共 9
4、0 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 123， 13272 ， 125 ， 则按此规律可猜想第 n个不等式为 14.如图，长方体 1ABCD的三个面的对角线 1AD， B， C的长分别是 1，2，3，则该长方体的外接球的表面积为 15.已知点 M在椭圆21369xy上， MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P，并且 M为线段 P的中点，则 P点的轨迹方程是 16.已知数列 na满足 1， 12nna.记 2nCa，则数列 nC的前 项和 12.nC 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 海中
5、一小岛 C的周围 (83)nmile内有暗礁，海轮由西向东航行至 A处测得小岛 C位于北偏东 75，航行 8nmile后，于 B处测得小岛 C在北偏东 60（如图所示）.（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在 B处改变航向为东偏南 （ 0）方向航行，求 的最小值.附： tan752318.如图，四边形 ABCD是平行四边形，平面 AED平面 BC， /,2,1EFABCEF，60B， G为 的中点.（1）求证： /FG平面 BED；（2）求证：平面 BED平面 A. 19.在 AC中，满足 C， M是 B中点.（1）若 ，求向量 2与向量
6、 AC的夹角的余弦值；（2）若 O是线段 上任意一点，且 2，求 OBCA的最小值.20.设椭圆21(3)xya的右焦点为 F，右顶点为 .已知 1F，其中 O为原点， e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程及离心率 e的值；（2）设过点 A的直线 l与椭圆交于点 B（ 不在 x轴上） ，垂直于 l的直线与 l交于点 M，与 y轴交于点H.若 BF，且 MOA，求直线 l的斜率的取值范围. 21. 设函数 ()fxmnlx.若曲线 ()yfx在点 (,)Pef处的切线方程为 2yxe（ 为自然对数的底数）.（1）求函数 ()fx的单调区间；（2）若关于 的不等式 2()1)fx恒成立，求实数 的
7、取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知曲线 1C的极坐标方程为 1，曲线 2C的参数方程为 12cosinxy， （ 为参数）.（1）将两曲线化成普通坐标方程；（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.23.选修 4-5：不等式选讲已知关于 x的不等式 32xa.（1）当 3a时，解不等式；（2）如果不等式的解集为空集，求实数 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:BAADD 6-10:BAABA 11、12：CB二、填空题13. 11232n 14.7 15. 236xy 16. 2n三、解答题17.
8、解：（1）如图 1，过点作直线 AB的垂线，交直线 AB于点 D.由已知得 5A， 30CD， 15， 8Bnmile.在 Rt中， sinB842milenile.又 483，海轮由触礁的危险.（2）如图 2，延长 CD至 E，使 (83)nmile，故 (8312)DEnmile.由（1）得 43tan0Bile. 812tanE. t7523， tan523.即 ant1DB， 1DBE.故海轮应按东偏南 15的方向航行.18.解：（1）解:（1）证明:取 BD中点 O，连接 ,EG.在 BCD中，因为 G是 BC中点，所以 /OGDC且 12，又因为 /FA， /，所以 /FO且 E，
9、即四边形FE是平行四边形，所以 /GE.又 平面 B， O平面 BD，所以， /平面 . （2）证明:在 ABD中， 1,2,60ABD，由余弦定理可得 3BD,进而 90AB,即B.又因为平面 E平面 C, 平面 ABC,平面 E平面 C，所以 D平面 E.又因为 平面 ,所以，平面 E平面 .19.解:（1）设向量 2AB与向量 AB的夹角为 ,cosC，令 Ca，24cos5a.（2） 2AB， 1AM，设 Ox，则 1x.而 2C，所以 ABOAM 2212cosxx .当且仅当 12x时， BC的最小值是 1.20.解：（1）设 (,0)Fc， 1ac， ac， 22c又 22ab，
10、 31， ， ，所以 c，因此 4.所以，椭圆的方程为23xy. 12cea.（2）解：设直线 l的斜率为 (0)k，则直线 l的方程为 (2)ykx，设 (,)Bxy，由方程组2143()xyk，消去 y，得 222(43)1610x，解得 2x，或286，由题意得2843Bk，从而 243Bky.由（1）知， (1,0)F，设 (,)Hy，有 (1,)HF， 91(,)F.由 BFH，得 0F，所以2214903Hky，解得2941Hky.因此直线 MH的方程为2194kyx.设 (,)M，由方程组 2()194ykx，消去 y，解得2091()Mkx，在 AO中，OAAO，即 22()M
11、x，化简得 ，即2091()k，解得64k，或 k.所以，直线 l的斜率的取值范围为 6(,)4.21.解：（1）函数 ()fx的定义域为 0,).()lnmfx.依题意得 ()fe， ()2fe，即,2men所以 1,0mn.所以 ()lfx， ()ln1fx.当 0,e时， 0；当 (,)e时， ()0fx.所以函数 ()fx的单调递减区间是 ,，单调递增区间是 1(,)e.（2）设函数 2ln(1)Hx，故对任意 ,x，不等式 (0(1)Hx恒成立.又 ()l1x，当 ln20，即 ln12x恒成立时，函数 单调递减，设 ()xr，则 2l()rx，所以 max()(1)r，即 12，符
12、合题意；当 0时， ln0Hx恒成立，此时函数 ()Hx单调递增.于是，不等式 ()1对任意 1,)x恒成立，不符合题意；当 102时，设 ()ln2qx，则 ()0qx12；当 1,2时， ()0qx，此时 ()ln12qxHx单调递增，所以 ()ln12Hxx(1)20H，故当 ,时，函数 单调递增.于是当 (1,)2x时， ()0x成立，不符合题意；综上所述，实数 的取值范围为： 1,)2.22.解：（1）由题知，曲线 1C： 的直角坐标方程为： 21xy，圆心为 (0,)，半径为 1；曲线 2C： cosinxy（ 为参数）的直角坐标方程为 22(1)()4xy，（2）由-得， 210
13、y，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.圆心 (0,)到直线 x的距离 124d，故两曲线的公共弦长为 221().23.解：（1）原不等式 3x.当 2x时，原不等式化为 52，解得 1x， 2x当 3时，原不等式化为 1， .当 时，原不等式化为 3x，解得 4， 34.综上，原不等式解集为 4.（2）解法一：作出 23yx与 ya的图象.若使 3xa解集为空集，只须 2yx的图象在 ya的图象的上方，或 ya与 1重合， 1a，所以 的范围为 (,1.解法二： 23yx25(3)1x，当 3x时， 1，当 2时， y，当 x时， 1，综上 y，原问题等价于 min23ax， 1a.解法三： 231x，当且仅当 (2)30x时，上式取等号， 1a.
