1、北京一六一中学 2017 届高三年级第一学期期中考试理科数学试题一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集 UR，集合 1Axy， 20Bx，则 AB（ ） A 0xB 0 C 1xD 12x【答案】A【解析】 1 ， 2x， 0Bx，选择 A2极坐标方程 cos和参数方程123xty（ 为参数）所表示的图形分别是（ ） A直线、直线 B圆、圆 C直线、圆 D圆、直线【答案】D【解析】 csx， c，2x， y+是极坐标方程表示的曲线即214x，表示圆，参数方程表示的是 10xy+，表示一条直线选 D3设2ii(,)1xyR，
2、则 ixy（ ） A B 2C 3D 2【答案】A【解析】2i(i)143ii15+，2243|i|=5xy，选择 A4若非零平面向量 a， b满足 ab，则（ ） A B C abD ab【答案】D【解析】 |ab+，222ab+， 0， ， 均为非零向量， ab综上所述，答案为 D5在如图所示的空间直角坐标系 Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是 (0,2)， (,0)， (1,2)，(2,)，给出编号、 、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） O12 1212zx y A和 B和 C和 D和【答案】D【解析】DABCx yz21 21在坐标中，标出已知点，可知选择和，选择
3、D6如图，小明从街道的 E处出发，先到 F处与小红会合，在一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） GEA 24B 18C 12D 9【答案】B【解析】从 E到 F，东西向街道被分为 2段，每条南北向也分为 段，无论怎么走，一定包括 4段，其中段相同，另 段相同，共有24C6种同理 到 G最短有13种，共有 8种，选择 B7设抛物线2yx的焦点为 F，过点 (3,0)M的直线与抛物线相交于 A， B两点，与抛物线的准线相交于 C， BF，则 C与 A的面积之比BCFAS（ ） A23B 4C45D56【答案】A【解析】如图所示过 A， 分别作准线
4、1:2lx的垂线，垂足分别为 1A， B(3,0)FB1A1C AB y xOBFACS，又 11， 1|根据抛物线定义知1|2|BFA，由 1|2BF知3Bx， By，直线:0()y将2x代入上式，可得 2Ay， Ax， 15|AF，|245BCFAS选择 8经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格（自变量） ，而用横轴来表示产品数量（因变量）某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格 1P低于均衡价格 0P时，供求量大于供应量，价格会上升为 2P；当产品价格 2P高于均衡价格 0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如
5、此波动下去，产品价格将会逐渐靠近均衡价格 0能正确表示上述供求关系的图形是（ ） AOP0P1P2 BOP01P2 CP2P10O DOP012【答案】D【解析】当 1P低于 0时，需求大于供应量，排除 B， C，且价格较低时，供应增长较快，价格较高时，供应增长慢，故排除 A，选择 D二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分9已知圆 C与直线 0xy及 40xy都相切，圆心在直线 0xy上，则圆 C的方程为_【答案】22(1)()+【解析】圆心在 0xy上，设圆心坐标为 (,)a C与 xy和 4都相切，|2|ar，解得 1， 2r， 的方程为22(1)()xy+105(2)的展开
6、式中，72x的系数是_ （用数字填写答案）【答案】 40【解析】通项公式55521C()C(1)rrrrrrTx，令752r，解得 3， x系数为 54()011双曲线2196y的右焦点 F坐标为_，过右焦点 F且平行于该双曲线渐近线的直线方程是_【答案】 (5,0)， 4320x或 4320xy【解析】 a， b， 5c，右焦点 (,)，双曲线渐进方程为，过右焦点 F且与渐进线平行的直线方程为4(5)3yx，即 4320xy和 4320xy12函数()sin(),f的图象如图所示，则 _， _31 x yO【答案】23； 6【解析】由图可知 T，2， 3由函数图象经过 (0,1)，21sin
7、43， 6k或56k，( kZ)，|2， 13已知1,()ln0,xf若函数 ()gxfkx只有一个零点，则 k的取值范围是_【答案】 ,【解析】由题可画出 ()yfx的图像，和 (1)y只有一个交点t(x) y=k(x-1) (1)ykx经过定点 (1,0)，斜率为 k 0时，fx，当 1x 时， 2()1,0)f， (,10,k14已知点 ,)A，若曲线 G上存在两点 B， C，使 AB为正三角形，则称 G为 型曲线给定下列三条曲线： 2yx； 2(0)yx ；1(0)yx其中，是 型曲线的有 _【答案】【解析】 (1,)A在 2yx之外，正确，是 型曲线A 对于曲线，表示圆2xy+的第二
8、象限的14部分，显然不存在，故不是 型曲线对于曲线，表示位于第四象限的一支双曲线，以 A为圆心做顶角为 60的圆弧，易知与之相交时，符合条件，是 型曲线答案为三、解答题共 6 小题，共 80 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15 （ 13分）已知 为锐角，且tan24（I）求 tan的值（）求si2cosi的值【答案】【解析】 （）1tantan42+， 1tan=2+， 3（）sicosin2icosin2in(1)sta=3， cos3in又 22sin1+， 0，又 为锐角，10sin，2cosin1016 （ 13分）某单位有车牌尾号为 2的汽车 A和尾号为 6的汽车
9、B，两车分属于两个独立业务部分对一段时间内两辆汽车的用车记录进行统计，在非限行日， 车日出车频率 0.6， 车日出车频率 0.5该地区汽车限行规定如下：车尾号 0和 51和 6和 73和 84和 9限行日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五现将汽车日出车频率理解为日出车概率，且 A， B两车出车相互独立（I）求该单位在星期一恰好出车一台的概率（II）设 X表示该单位在星期一与星期二两天的出车台数之和，求 X的分布列及其数学期望 ()EX【答案】【解析】 （）设 A车在星期 i出车的事件为 iA， B车在星期 i出车的事件为 iB，1i， 2， 3， 4， 5，由图可知 ()0.6iP， (
10、)0.5i设该单位在星期一恰好出车一台的事件为 C，则 1111()()()PCBB+0.6.50.65（） X的取值为 ， ， 2， 3，则1()().40.8PABP，212()5.40.56.32CA+1(2)()64 23.6.1X 的分布列为 X023P.8.30.4.18()10.32.430.187E17 （ 4分）如图，在三棱柱 1ABC中， 1C底面 AB， 2C， 2AB， 14C，M是棱 1C上一点MNABCC1 B1A1（I）求证： （II）若 M， N分别是 1C， AB的中点，求证： CN平面 1ABM（III）若二面角 的大小为4，求线段 1的长【答案】【解析】
11、（I） 1面 ， 面 ， 1CB 2A， 2A， 中， 28CB+， 1C， 面 1A AM面 1， B（II）连接 1交 1AB于点 P四边形 是平行四边形， P是 1的中点又 M， N分别是 1C， 的中点， ，且 P，四边形 是平行四边形，可得 CNMP C面 1AB， 面 1AB， N面 （III） ，且 1平面 ，以 为原点， ， C， 分别为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系 Cxyz设 CMt，可得：(0,)， (2,0)A， 1(,24)B， (0,)Mt， t， t， ,Ct设平面 1的法向量 (,)nxyz，故 nA， 10B，则有20(4)xtzy+，取 t，则 ,
12、nt，平面 1MBC的法向量 (1,0)m二面角 1A的大小为4，22|cos4()nt+，52t，CM， 132C， 132CM18 （ 分）设函数2()ln()fxaxR（I）若 1a，求函数 的单调区间（II）若函数 ()f在区间 0,1上是减函数，求实数 a的取值范围（III）过坐标原点 O作曲线 ()yfx的切线，求切线的横坐标【答案】【解析】 （I） 1a时，2()ln(0)f+，1()2xfxx+当0,， ()0f， ()fA为单调减函数当1,2x+， fx， f为单调增函数 ()f的单调减区间为10,2，fx的单调增区间为,+（II）1()2fxa， ()fx在区间 (0,1上是减函数， x 0对任意 0,恒成立即12a+对任意 (,1x恒成立令()gx， )ming 易知 在 (0,1上单调递减， in()(1)xg a （III）不妨设 tP点为 (,)Mtf，()2fax+，切线方程为 )yfxt，即21(ln(2)(ytatat+又切线过原点，20l()(0ttt，即 ln1+，设2()tt，则0t恒成立， ()t在 0,)+上单调递增，又 (1)， ()在 ,上只有一个零点， 1t，切点的横坐标恒为 1
