1、2017 届福建省晋江市永春县第一中学高三 10 月月考数学（理）试题考试时间：120 分钟 试卷总分：150 分本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分第 I 卷（选择题，共 60 分）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，每小题选出答案后，请把答案填写在答题卡相应位置上。1. 已知全集 1,234U, 集合 3,4M, 1,25N, 则集合 1,2可以表示为（ ）A MN B ()U C ()U D ()UMN2. 若复数 ia21（ iR,为虚数单位）是纯虚数，则实数 a的值为（ ）A 6 B
2、 2 C 32 D 6 3. 已知向量 1,ab，若 ab,则 =（ ）A. 3 B 2 C 3 D 04已知命题 p： xR， lg()0，命题 q： (,)x， 2x，则下列说法中正确的是（ ）A命题 q是假命题 B命题 pq是真命题C命题 ()p是假命题 D命题 ()是真命题5. 已知双曲线2214xya(0)a的离心率为 2，则 a的值为（ ）A. 2B. C. D. 3 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 43 B 53 C 2 D 737.已知不等式组240,xy构成平面区域 (其中 x, y是变量)。若目标函数 6(0)zaxy的最小值为-4，则实数 a的值
3、为（ ）A 43 B 2 C3 D 88执行如图所示的程序框 图，则输出的结果是（ ）A14 B15 C16 D17 9. 在 C中，若 sin2sincos1ABC， 则的形状一定是（ ）A等边三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不含 60o的等腰三角形10. 已知函数 2lnxfx，则函数 yfx的大致图像为（ ）11. 定义在 R 上的奇函数 )(xfy满足 0)3(f，且不等式 )()(xff在 ),0上恒成立，则函数)(xg= 1lgf的零点的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D.12. 已知函数 52lo()(1)()xfx，则关于 x的方程 1(2)fax的实根个数不可能
4、为（ ）A. 8 B. 7 C. 6 D. 5第 II 卷（非选择题，必做部分，共 80 分）二、填空题 ：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把答案填在答题卡的横线上。13. 二项式102x的展开式中的常数项是_.14. 如图，半球内有一内接正四棱锥 SABCD，该四棱锥的体积为 163，则该半球的体积为 。15. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为 ,abc，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“好数” （如 213，134 等） ，若 ,1234，且开 始0,Sn输 出 n结 束 3?21log否是,abc互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是_。16.
5、 已知数列 na的前 n 项和 12nnSa，若不等式 23()nna对 N恒成立，则整数 的最大值为 。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。请在答题卡各自题目的答题区域内作答。（17） （本小题满分 12 分）在ABC 中， ,abc是其三个内角 A,B,C 的对边，且 ,sin23cos2inabAB.（）求角 C 的大小；（）设 3，求ABC 的面积 S 的最大值。（18） （本小题满分 12 分）由中国科协、工信部共同主办的 2016 世界机器人大会将于今年 10 月 21 日至 25 日在北京举行，为了搞好接待工作，组委会在北京某大学
6、分别招募 8 名男志愿者和 12 名女志愿者，现将这 20 名志愿者的身高组成如下茎叶图（单位：cm ） ，若身高在 175cm 以上（包括 175cm）定义为“高个子” ，身高在 175cm 以下（ 不包括 175cm）定义为“非高个子” 。（）计算男志愿者的平均身高和女志愿者身高的中位数（保留一位小数） 。（）若从所有“高个子”中选 3 名志愿者，用 表示所选志愿者中为女志愿者的人数，试写出 的分布列，并求 的数学期望。（19） （本小题满分 12 分）如图,四棱锥 PABCD,侧面 P是边长为 2的正三角形,且平面 PAD平面 BC,底面 AD是60的菱形, M为棱 上的动点,且 MC(
7、 0,1)。() 求证: ；() 试确定 的值,使得二面角 A的平面角余弦值为 5。（20） （本小题满分 12 分）椭圆2:1xyCab(0)的离心率为 12，其左焦点到点 (3,)P的距离为 5()求椭圆 的标准方程；（）若直线 :lykxm与椭圆 C相交于 M、 N两点( 、 不是左右顶点)，且以 MN为直径的圆过椭圆 C的右顶点 A，求证：直线 l过定点，并求出该定点的坐标（21） （本小题满分 12 分）已知函数 （ ） 2()lnfxxaR() 若函数 的图象在 处切线的斜率为 1，且不等式 2fxm在 上有解，求1e,实数 的取值范围；m（）若函数 的图象与 轴有两个不同的交点
8、，且 ，()fxx12(0)()AxB， ， ， 120x求证： （ 其中 是 的导函数） 120()ff第 II 卷（非选择题，选做部分，共 10 分）请考生在第（22） 、 （23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号（22） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系 xOy中，圆 C的参数方程为 sin24co3yx（ 为参数）.（）以原点为极点、 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆 C的极坐标方程；（）已知 (2,0)(,AB，圆 上任意一点 (,)Px，求 ABP面积的最大值.（23） （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等
9、式选讲已知函数 ()1.fxxa()若 a，解不等式 ()3f；（）如果 ,2R，求 的取值范围2017 届高三年毕业 班 10 月月考数学（理）科参考答案（2016.10）一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 B A C D C A B C B A C D二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 45 14. 63 15. 12 16. 2三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分）17.（本小题满分12分）解：() sin23cos2in,AB1(i)si,2sin
10、)2in,i(2)sin233ABAB，或 ，由 ab，知 ，所以 不可能成立，所以 23AB，即 3，所以 23C 6 分() 由（）得，所以 sin， 1sin4SabCab22cos,abcC即23， 23 23， 1ab，即当 1ab时，ABC 的面积 S 的最大值为 34。12 分法二：由（）得， 2sincC，13sin2i24SababAB3sini()3AB1(cosn)2sin4313(cos)224sin)6A即当 B时，ABC 的面积 S 的最大值为 34。12 分18 （本小题满分 12 分）解：()根据茎叶图可得：男志愿者的平均身高为 159670156821796.
11、1()cm女志愿者身高的中位数为 8.()2cm 4 分()由茎叶图可知， “高个子”有 8 人， “非高个子”有 12 人，而男志愿者的“高个子”有 5 人，女志愿者的“高个子”有 3 人。的可能值为 0,1,2,3，故 32155388100(),(),66CCPP12353881(),(),656CCPP即 的分布列为：0 1 2 3P 563561所以 的数学期望 098E12 分19.（本小题满分 12 分）解： ()取 AD中点 O,连结 ,PCA,依题意可知 PAD, C均为正三角形,所以 C, ,又 O, 平面 O, 平面 P,所以 平面 ,又 平面 ,所以 ,因为 /B,所以
12、 。 4 分()由()可知 PA,又平面 P平 面 ABC,平面 D平面 CD,O平面 ,所以 O平面 .以 为原点,建立空间直角坐标系 xyz如图所示,则03P, 1,0A, , 30,C由 ,M可得点 M的坐标为 ,3, 所以 31A, 3,1D,设平面 D的法向量为 ,xyzn,则 0An,即 033xyz解得10xzy,令 ,得 1,0,显然平面 PAD的一个法向量为 3,OC,依题意2215cos, n,解得 23或 (舍去),所以,当 时,二面角 PADM的余弦值为 5. 12 分PAB CDMOxyz20 （本小题满分 12 分）解：()由题意得： 12cea 左焦点 (,0)到
13、点 (3,)P 的距离为：235dc 由可解得 221, 3abc 所求椭圆 C的方程为 14xy4 分()设 12(,)(,)MxyN，将 kxm代入椭圆方程得243810kkm （*） 122x，2143xk，且 1ykx， 2ykxm 6 分 MN为直径的圆过椭圆右顶点 (,0)A ，所以 0MAN 所以 121212(,)(,)xyxy 1212()(k)()xxm2k(4km22 2248(1)033km整理得 22760k m或 都满足方程（*）的 0 10 分若 2k时，直线 l为 2()ykx，恒过定点 (2,0)A，不合题意舍去；若 7时，直线 为 7x， 恒过定点 712
14、分21 （本小题满分 12 分）解：()由2()fxa，得切线的斜率 (2)31,2,kfa故 2lnf， 2 分由 xm得 2lnx不等式 2f在 上有解，所以 2max(ln) 4 分1e,令 2()lngxx ， 则 2(1)()xgx， 1e， ，故 ()0g时， 1当 x时， ；当 时， xex()0gx故 在 1处取得最大值 (1)g， 所以 1m6 分()g()因为 的图象与 轴交于两个不同的点fx2,AxB所以方程 的两个根为 ，2ln0ax12则 ，两式相减，得112lx， 8 分1212lnxa又 ，则l,fxafax1212121212ln44xfx下证 （*） ，即证明
15、1212ln0x111222l0,xtx0,t即证明 在 上恒成立10 分ln01utt1t因为 又 ，所以2224()()()tttt t 01t0ut所以， 在 上是增函数，则 ，从而知ut0,11u2112lnxx故 ，即 成立12 分1212ln40xx120xf选做部分：（本小题满分10分）22 （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程解：()圆 C的参数方程为 sin2co3yx（ 为参数）所以普通方程为 4)()3(22yx 圆 C的极坐标方程： 021sin8co65 分()点 (,)Pxy到直线 AB： 02yx的距离为 2|9sinco| dAB的面积 |)4i(|9sinco|21 dS所以 面积的最大值为 29 10 分23 （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲解：()当 1a时， ()1.fxx由 ()3fx得 3.当 时，不等式可化为 x即 23x，其解集为 3(,.2当 1x时，不等式化为 1，不可能成立，其解集为 ；当 时，不等式化为 3,xx即 ，其解集为 ,).综上所述， ()3f的解集为 (,).2 6 分() 11xxa，要对于 ,()Rf恒成立，则 2a， 3或 ，即 的取值范围是 (,1,)。10 分
