1、2017 届北京海淀重点学校高三上学期 12 月月考数学（理）试题（解析版）一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请把答案代号填涂在答题纸上1集合 0,2Aa， 21,B，若 0,1246AB，则 a的值为（ ） A B C D 4 【答案】D【解析】 ,46， ,a， 2,， 2,4,16a， a故选 2已知 n为等差数列，其前 n项和为 nS，若 36a， 312S，则公差 d等于（ ） A 1B 53C 2D【答案】C【解析】设等差数列 na的首项为 1a，公差为 d，则由 36a， 312S，得：1263ad，解得
2、 12， d一、选择题（共 8 小题；共 40 分）1复数 3i（ 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限【答案】B【解析】复数 31i(i)1i，其在复平面上对应的点为 (1,)，该点位于第二象限故选 2 “在 (,)ab内 (0fx”是“ ()fx在 ,ab内单调递增”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】在 (,)ab内 (0fx，则 ()fx在 ,ab内单调递增，反过来，若 f在 内单调递增，则 0 ，“在 (,)内 (”是“ ()f在 ,内单调递增”的充分不必要条件故选 A3
3、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ） A 2B 4C 8D 16【答案】C【解析】 S， 1n，1， ，2， 4，S， 8n输出 故选 C4已知点 P是抛物线2yx上的一个动点，则点 P到点 (0,2)的距离与 P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） A172B 3C 5D92【答案】A【解析】如图，由抛物线定义，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点1,0F的距离，则2217(0)(.5)PdFA，当且仅当点 为 当抛物线的交点时取得等号故选 Ay2=x x=12A(0,2)dOFP y x5某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（ ） 0
4、万万=万万 万万万万12034056078091235467891012A收入最高值与收入最低值的比是 3:B结余最高的月份是 月份C 1与 2月份的收入的变化率与 4至 5月份的收入的变化率相同D前 6个月的平均收入为 0万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为 9万元，收入最低值为 30万元，其比是 3:1，故 A项正确；结余最高为 7月份，为 826，故 B项正确；1至 2月份的收入的变化率为 4至 5月份的收入的变化率相同，故 C项正确；前 6个月的平均收入为1(0306)45万元，故 D项错误综上，故选 D6若2nx的展开式中第 2项与第 4项的二项式系数相等，则直线 ynx与曲
5、线2yx围成的封闭区域的面积为（ ） A 3B 1C32D 36【答案】C【解析】2nx展开式中第 2项与第 4项的二项式系数相等，所以13Cn，解得 4n，那么 4yx与2围成的封闭圆形区域的面积为42233011()d0Sxx故选 C7一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位： 2cm）为（ ） (万cm)万 万万6 36 643346A 4812B 482C 3612D 3624【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为三棱锥 DAB，如图所示，面 BC 面 A，CB， DC，取 中点 M， 中点 N， M 面 ，132MN， 4，利用勾股定理得 5，ABCDABDCSS 16566
6、24812故选 DA BCMN8已知偶函数 ()fxR，当 (2,0x时， ()2)fxx，当 2,)时，()2fxa关于偶函数 的图象 G和直线 :(lymR的 3个命题如下：当 4时，存在直线 l与图象 G恰有 5个公共点；若对于 0,1m，直线 与图象 的公共点不超过 4个，则 a ； (,)， (4,)，使得直线 l与图象 交于 个点，且相邻点之间的距离相等其中正确命题的序号是（ ） A B C D【答案】D【解析】根据偶函数的图象关于 y轴对称，利用已知中的条件作出偶函数，()fxR的图象，利用图象得出：当 4a时，偶函数 ()fxR的图象如下：O y x21234 12345 5存
7、在直线 l，如 0y，与图象 G恰有 个公共点，故正确若对于 ,m，由于偶函数 ()fxR的图象如下：O y x直线 l与图象 G的公共点不超过 4个，则 2a ，故正确 (1,)m，偶函数 ()fxR的图象如下：62O y x(4,)a，使得直线 l与图象 G交于 4个点，且相邻点之间的距离相等，故正确；因此正确命题的序号是故选 D二、填空题（共 6 小题；共 30 分）9设双曲线的一个焦点为 F，虚轴的一个端点为 B，如果 F与该比曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为_【答案】512【解析】由题意知 (,0)Fc， (,)Bb，所以1bca又 22ab，则 22a，解得52e10给
8、出下列结论：一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直；过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直；过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面其中正确的是_ （写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】由直线与平面垂直的定义可知正确；过平面外一点有无数个平面和这个平面垂直，故错误；过直线外一点有无数个平面和这条直线平行，故错误；由面面平行的性质定理可知正确综上，正确的是11若不同两点 P、 Q的坐标分别为 (,)ab， 3,)a，则线段 PQ的垂直平分线 l的斜率为_，圆22()(3)1xy关于直线 l对称的圆的方
9、程为_【答案】 1；【解析】3PQabk，故直线 l的斜率为 1，由点斜式可是 l的方程为 3yx，圆心 (2,)关于直线 3yx的对称点为 (0,1)，故所求圆的方程为 y12已知实数 x、 y满足1|x，则 2y的最大值是_【答案】 4【解析】在坐标系中作出不等式组 |1|yx的可行域，三个顶点分别是 (0,1)A， (,)B， (2,)C，由图可知，当 2x， y时， 2xy的值最大是 411ABCO y x13甲、乙、丙、丁、戊 5名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”从这个
10、回答分析， 5人的名次排列共_（用数字作答）种不同情况【答案】 4【解析】先排乙，有 3种排法；再排甲，也有 3种排法，余下 3个有3A种排法，故 5人的名次排列共有3A54种不同情况14 ABC 的外接圆圆心为 O，且 50BOC，则 等于_【答案】 4【解析】 的外接圆圆心为 ，且 34A， |OABC，1(34)5OAB，222 2916|()| |55OABO 24|5，0OAB， 90AB ，外接圆中 ， D为 C中点， 9 ， 45 三、解答题（共 5 小题；共 80 分）15贵广高速铁路自贵阳北站起，黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站其中广东省内有怀集站、
11、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛水西站、广州南站共 6个站，记者对广东省内的6个车站随机抽取 3个进行车站服务满意度调查求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆车站）个数为 X，求 的分布列及其均值（即数学期望） 【答案】见解析【解析】设“抽取的车站中含有佛山市山站”为事件 A，则212436C()5PA X的可能取值为 0， ， ， 3，361()2，1236C9()0PX，36C90P，36 X的分布列为 X0123P290X的数学期望19()0320EX16在 ABC 中，角 ， B， C所对的边分别为 a， b
12、， c，若tan21AcBb求角 的大小若函数2()sin3cos24fxx，,42，在 x处取到最大值 a，求 ABC 的面积【答案】见解析【解析】sisin1coABC， sin2icoC， 又 0，1cos2A，故3()incos21sin243fxxx，当23，即51x时， max()f，此时51B，4C， 3a， siniacAC，7263si，则1293in24SacB17如图，在四棱锥 EACD中，平面 EA 平面 BCD，CDA， ， ， B， 2EA证明： B 求平面 和平面 所成角（锐角）的余弦值DA BCE【答案】见解析【解析】 BCD ， 2C， 2D，同理 EA ，
13、E， A，又 4，由勾股定理可知 22B， BA ，又平面 平面 ，平面 平面 C， D平面 BC， B 平面 ，又 AE平面 D， 解：取 的中点 O，连结 E，则 OAD ，平面 平面 BC，平面 平面 BC， OE 平面 A，取 B的中点 F，连结 D ，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 xyz，则 (2,0)D， (2,0)， (,2)E， (2,0)D， (2,0)DE，设平面 CE的法向量为 (,nxyz，则 0n即 0xz，令 1，则 z， 1y，平面 CDE的法向量 (1,)n，又平面 A的一个法向量为 0,，设平面 和平面 所成角（锐角）为 ，则113cos|,|n，
14、平面 ADE和平面 C所成角（锐角）的余弦值为3zx yDA BCFO18设函数1()ln()fxaxR讨论函数 的单调性若 ()f有两个极值点 1和 2，记过点 1(,)Axf， 2(,)Bxf的直线斜率为 k问：是否存在 a，使得2ka？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由【答案】见解析【解析】解：由题意得 ()fx的定义域为 (0,)，2211()fxx，令 ga，其判别式 24a当 | 时， 0 ， ()fx 恒成立，故 ()fx在 0,)上单调递增当 2时， ， g的两根都小于 ，所以在 (0,)上， ()f，故 ()f在 0,)单调递增当 2a时， ， gx的两根为214ax
15、，224ax，当 10x时， ()0f，当 12时， ()0f，当 2时， ，故 ()f要 1,)和 2(,)x上单调递增，在 12(,)x上单调递减由知， a，12121212()()(ln)xfxf a，斜率 121212)f xkx，又由知， 12x，于是12ln2xka，若存在 a，使得 ，则有12l，即 1212lnxx，又 12x，22lnx，即20()，再由知，函数1()lnhtt在 (0,)上单调递增，而 21x，22lnlxx，这与式矛盾，故不存在 a，使得 ka19已知椭圆 C的中心在原点，焦点在 x轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线28xy的准线上求椭圆 的标准方程点 (2,3)P， (,3)Q在椭圆上， A， B是椭圆上位于直线 PQ两侧的动点（i）若直线 AB的斜率为 6，求四边形 PQ面积的最大值（ii）当 ， 运动时，满足 ，试问直线 AB的斜率是否为定值，请说明理由A BQPO y x【答案】见解析【解析】解：设椭圆 C的标准方程为21(0)xyab，椭圆的一个顶点恰好在抛物线28的准线 上， 2b，即 ，又3ca， 22bc， 4， ，故椭圆 C的标准方程为2164xy（i）设 1(,)Axy， 2(,)B，直线 AB的方程为36yxt，联立2364txy，得 22310xt，
