1、20162017 学年第一学期高三数学（理）12 月月考一、选择题：1. 集合 ， ，若 ，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，所以 ，选 D.2. 已知 为等差数列，其前 项和为 ，若 ， ，则公差 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】试题分析：因为 ，所以 ，选 C.考点：等差数列性质3. 命题“存在 ， ”的否定是（ ） A. 不存 ， B. 存在 ，C. 对任意 ， D. 对任意的 ，【答案】D【解析】对于含特称量词的命题的否定，需将特称量词改为全称量词，同时否定命题的结论因此命题“存在 ， ”的否定是：“对于任意的 ， ”故选 4. 已
2、知直线 与 平行，则等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】C【解析】由题意可知 且 ，解得： 故选 5. 已知函数 的最小正周期为 ，刚该函数的图象（ ）A. 关于点 对称 B. 关于直线 对称C. 关于点 对称 D. 关于直线 对称【答案】B【解析】根据题意得 ， ，故 ，该函数的图象关于直线 对称，不关于点 和 对称，也不关于直线 对称故选 6. 已知 是以 ， 为焦点的椭圆 上一点，若 且 ，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】点 是以 ， 为焦点的椭圆 上一点， ， ，设 ，则 由椭圆定义可知 ， ， ，则 由勾股定理知 ，即 ，计算得出 ，
3、 故选 点睛：椭圆的离心率是椭圆重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c 2a 2 转化为a，c 的齐次式，然后等式 (不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式) 即可得 e(e 的取值范围)7. 甲、乙、丙等 个人排成一排照相，且甲、乙不在丙的同侧，则不同的排法共有（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】先排甲、乙、丙，共有 种排法，再将剩余 人插进去， 人排成一排，甲、乙不在丙同侧的排法共有 种故选 点睛：本题考查的是
4、排列组合问题.解决排列组合问题要遵循两个原则：按照特殊元素(或特殊位置)的性质进行分类；按照事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以特殊元素(或特殊位置)为主体，即先满足特殊元素(或特殊位置 )，再考虑其他元素 (或位置)8. 如图所示，在正方体 中， 、 分别为 ， 的中点， 为 上一动点，记 为异面直线 与 所成的角，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：求异面直
5、线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角； 求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.二、填空题： 9. 双曲线 的虚轴长为_【答案】1【解析】双曲线 化为标准方程为 ， ， 故虚轴长为 10. 如图中阴影部分的面积等于_【答案】1【解析】试题分析：所求面积为 考点：定积分.11. 已知抛物线 的准线与圆 相切，则 的值为_【答案】2【解析】试题分析：抛物线 ( )的准线为 ；圆 的圆心是 ，半径为 ，由题意得 ，解得 ，或 （舍）.考点：抛物线与圆的位置关系.12
6、. 已知直线 ， 与平面 、 ，给出下列四个命题：若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ，则 ；若 ， ，则 其中所有真命题的序号是_【答案】【解析】若 ， ，则 ， 平行，相交，异面都有可能，故 错误； ，则存在 且 ，又 ，所以 ，故 ，正确；若 ， ，则存在直线 ，使 ，由面面垂直的判定定理可知 正确；KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.KS5U.若 ， ，则 或 ，故错误综上所述，所有真命题的序号为13. 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭每月日常消费额”的调查他们将调查所得到的数据分别绘制成分布直方图（如
7、图所示） ，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为 ， ， ，则它们的大小关系为_（用“ ”连接） 【答案】【解析】试题分析：根据三个频率分布直方图知:第一组数据的两端数字较多，偏离平均数远，最分散，其方差最大；第二组数据是单峰的，每一个小长方体的差别较小，数字分布均匀，方差比第一组的方差小；第三组数据绝大部分的数字都在平均数左右，数据最集中，故方差最小；综上可得： 。故答案为：考点：1频率分布直方图；2方差14. 已知函数 ，则（） _（）给出下列三个命题：函数 是偶函数；存在 ，使得以点 为顶点的三角形是等腰三角形；存在 ，使得以点 为顶点的四边形为菱形其中，所有真命题的序号是_【答案】 (
8、1). 1 (2). 【解析】 （）由题可知 ，所以 （）若 为有理数，则 也为有理数， ，若 为无理数，则 也为无理数， ，综上有 ，函数 为偶数，故正确根据 可知：假设存在等腰直角三角形 ，则斜边 知能在 轴上或在直线 上，且斜边上的高始终是 ，不妨假设 在 轴，则 ，故点 ， 的坐标不可能是无理数，故不存在另外，当 在 上， 在 轴时，由于 ，则 的坐标应是有理数，故假设不成立，即不存在符合题意的等腰直角三角形，故错误取两个自变量是有理数，使得另外两个无理数的差与两个有理数的差相等，即可画出平行四边形，且对角线互相垂直，所以可以做出点 为顶点的四边形为菱形，故正确综上，所有真命题的序号是
9、三、解答题：15. 在 中，已知 （）求角 的值（）若 ， ，求 的面积【答案】 （ ） （ ） 【解析】试题分析：（1）运用正余弦的二倍角公式将 化简得到 ，结合 ，进而得到 的值，从中可确定 B 的值；（2）先由 A、B 角的大小及 BC 的值，结合正弦定理得到 ，进而由三角形的内角和定理算出 C，再由两角和差公式算出 的值，最后由三角形的面积计算公式 即可求得 的面积试题解析：（ ） ， ， ，从而 （ ） ， ，根据正弦定理得 ， ， 所以 的面积 16. 设直线 与圆 相交于 ， 两点，问是否存在实数，使得过点 的直线垂直平分弦 ？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由【答案】
10、【解析】试题分析：由垂直平分弦 ，得经过圆心 由两点可得直线的斜率为 ，由垂直可得直线 的斜率为 .即 ，再验证直线与圆有两个交点即可.试题解析：直线垂直平分弦 ，直线经过圆心 又直线过点 ，直线的斜率为 ，直线的方程为 的斜率为 ， ，此时，圆心 到 的距离 ，符合题意故存在实数，使得过点 的直线垂直平分弦 ，此时 17. 某中学举行一次“环保知识竞赛” ，全校学生参加了这次竞赛为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为 分）作为样本进行统计，请根据下面尚未完成并有局部污损的样本的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（）写出， ， ， 的值（）在选
11、取的样本中，从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中随机抽取 名同学到广场参加环保知识的志愿宣传活动，求所抽取的 名同学来自同一组的概率（）在（）的条件下，设表示所抽取的 名同学中来自第 组的人数，求的分布列及其数学期望组别 分组 频数 频率第 组第 组第 组第 组第 组合计【答案】 （ ） ， ， ， （ ） （ ）见解析 .【解析】试题分析：利用频率= ，以及 表示频率分布直方图的纵坐标即可求出a，b，x，y；（2）由（1）可知第四组的人数，已知第五组的人数是 2，利用组合的计算公式即可求出从这 6 人中任选2 人的种数，再分两类分别求出所选的两人来自同一组的情况，利用互斥事件的概率和古典概
12、型的概率计算公式即可得出；（3）由（2）可知， 的可能取值为 0，1，2，再利用组合的计算公式及古典概型的计算公式、数学期望的计算公式即可得出试题解析：（ ）由题意可知 ， ， ， （ ）由题意可知，第 组有 人，第 组有 人，共 人从竞赛成绩是 分以上（含 分）的同学中随机抽取名同学有 种情况设事件 ：随机抽取的 名同学来自同一组，则故随机抽取的 名同学来自同一组的概率是 （ ）由（ ）可知，的可能的值为 ， ， ，则：， ， 所以，的分布列为：点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值” ，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”
13、 ，即利用排列组合，枚举法，概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列” ，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值” ，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.18. 己知四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形，且 ， 、 的中点分别为 ， （）求证 （）求二面角 的余弦值（）在线段 上是否存在一点 ，使得 平行于平面 ？若存在，指出 在 上的位置并给予证明，若不存在，请说明理由【答案】 （ ）见解析（ ） （ ） 是 中点 【解析】试题分析：（1）要证 BCPE，要转化为证明 BC平面 PAE;（2）以 为原点，分别以 ， ， 为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系 ,进行计算即可;（3）设 , 利用 与平面 的一个法向量为 垂直，可求得 t 值，进而得出 是 中点试题解析：（ ）证明：连结 ， 平面 ， 平面 ， 又底面 是菱形， ， ， 是正三角形 是 的中点， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， （ ）由（ ）得 ，由 可得 又 底面 ， ，
