1、2018 届安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学高三第四次考试数学（文）试题（解析版）第卷 选择题（共 60 分）一、选择题（51260 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项用 2B 铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）1. 设集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 2. 已知 （为虚数单位） ，则复数的虚部为（ ）A. B. 1 C. D. 2【答案】D【解析】 ， 的虚部是 ，故选 D.3. 已知命题：命题 ；命题 ，且 是 的必要不充分条件，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】命题 ，解得 或 ，命题 ，因为
2、 是 的必要不充分条件，所以， ，故选 B.4. 已知 ，则 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ， ，故选 A.5. 若变量 满足约束条件 ,则 的最大值是（ ）A. B. 0 C. D. 【答案】A【解析】作出束条件 表示的可行域，如图， 表示点 与可行域内的 动点 连线的斜率，由可得 ， 由图可知 最大值就是 ，故选 A.6. 运行如图所示的程序框图，当输入 时，输出的 x 为（ ）A. B. 2 C. D. 【答案】D【解析】执行程序框图，第一次循环 ；第二次循环 ；第三次循环 ；第四次循环，, , 退出循环，输出 ，故选 D.7. 设 ， ， ,则( )A. B.
3、 C. D. 【答案】A【解析】由幂函数的性质可得， ,由对数函数的性质可得， ,所以 ，故选 C.8. 函数图像 大致图像为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】设 ， ，可得 为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项 ；又时， ,可排除选项 ，故选 B.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及 时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9. 把函数 的图像
4、向右平移 个单位就得到了一个奇函数的图像，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 将函数 的图象向右平移 个单位， 所得图象对应的函数 为奇函数，则 ，即 ，故 时， 的最小正值为 ，故选 D.10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的的外接球的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥 ，图中 ，将三棱锥补成长宽高分别是 的长方体，三棱锥的外接球也是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的对角线，可得，外接球体积为 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查三棱锥外接球体积积的求
5、法，属于难题.要求外接球的表面积和体积，关键是求出求的半径，求外接球半径的常见方法有：若三条棱两垂直则用 （ 为三棱的长） ；若 面 （ ） ，则 （为 外接圆半径） ；可以转化为长方体的外接球；特殊几何体可以直接找出球心和半径.11. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ， ，则角 等于( )A. B. 或 C. D. 【答案】A12. 已知函数 在区间 上是单调增函数，则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】令 ， ， 在 上恒成立，设 ，则 ，再令 ，则 ， 在 上恒成立， 在 上为增函数， 在 上恒成立， 在 上减函数，,实数的取值范围为 ，故选 B.【方法点晴】
6、本题主要考查“分离参数”在解题中的应用、利用导数研究函数的单调性以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 求解的第卷 非选择题（共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.将答案填写在答题卡的横线上.13. 已知 ， ， 与 的夹角为 ，则 =_【答案】【解析】 与 的夹角为 ， ， ， ，故答案为 .1
7、4. 若数列 为等差数列， 为其前 项和，且 ，则 _【答案】17【解析】数列 公差为 ，则由 ，可知 ， 又 ，故答案为 .15. 在如图所示的三棱锥 中， ， 底面 ， ， 是 的中点 2， ， 2. 则异面直线 与 所成角的余弦值为_ 【答案】【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，则 ，故答案为 .【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面
8、几何性质求解.16. 若函数 ，且 在实数 上有三个不同的零点，则实数_【答案】【解析】函数 ，且 在实数 上有三个不同的零点，等价于的图象与 的图象恰有三个交点，因为 ,所以两函数都是偶函数，图象都关于 轴对称，所以必有一个交点在 轴上（如果交点都不在 轴上，则交点个数为偶数） ，又因为 ，即于 的图象过原点，所以 的图象也过原点，所以 ，可得 ，故答案为 .三、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17. 的内角 ， ， 的对边分别为， ， ，已知 .（）求角 的大小；（）若 ，求 的面积的最大值 .【答案】 （） . （） .【解析】试题分析
9、：（I）利用正弦定理把等式中的边转化为角的正弦，利用两角和公式整理求得，可得 ，从而求得 ；（II）结合（I ）的结论，由余弦定理可求得，利用基本不等式求得 的最大值，进而利用三角形面积公式确定的面积的最大值.试题解析：（） ，由正弦定理得， . ， .即 . ， . ， . ， . （） ， ，由余弦定理得：，当且仅当 时取“=” .即 的面积的最大值为18. 已知数列 的前 项和为 ，且对任意正整数 ，都有 成立记 （）求数列 和 的通项公式；（）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： 【答案】 （） , （）见解析.【解析】试题分析：（I）由 成立，可得 时， ，可得出数列 为等比数列,从而
10、可得数列 的通项公式，根据对数的运算性质可得 ；(II)利用（I ）的结论，可得，根据裂项求和求出数列 的前 项和为 ,再利用放缩法即可证明结论.试题解析：（）在 中，令 得 . 因为对任意正整数 ，都有 成立， 时， ，两式作差得， ，所以 ， 又 ，所以数列 是以 为首项，4 为公比的等比数列，即 ， （） ， . .对任意 ， 又 ，所以， 为关于 的增函数，所以 ，综上，【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与等比数列的定义，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧
11、：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.19. 已知函数 （为自然对数的底数）（）若函数 的图像在 处的切线与直线 垂直，求的值；（）对 总有 0 成立，求实数的取值范围【答案】 （） ；（） .【解析】试题分析：（I）求出函数的导数 ，由函数 的图像在 处的切线与直线 垂直可得 ，从而求出的值；（II）对 总有 0 成立，等价于对 上恒成立，设 ，只需即可，利用导数研究函数的单调性可得 时， 为增函数， 时， 为减函数，从而 ，进而可求出的范围.试题解析：（） 函数 的图像在 处的切线与直线 垂直 （） 时 设 ，
12、 ， . 令 得 ；令 得 时， 为增函数， 时， 为减函数， 20. 如图，菱形 与等边 所在的平面相互垂直， ，点 E，F 分别为 PC 和 AB的中点（）求证：EF平面 PAD （）证明： ；（）求三棱锥 的体积【答案】 （）见解析;（）见解析 ;（） .【解析】试题分析：（I）设 的中点 ，连结 和 ，由中位线定理可得 ，从而四边形 为平行四边形， ，由线面平行的判定定理可得结论；（）由 为等边三角形得 ，由四边形为菱形，可得 ，从而 平面 ，进而可得结论；（）根据“等积变换”可得，由面面垂直的性质可得 平面 ， 为三棱锥 的高，根据棱锥的体积公式可得结果.试题解析：（）取 PD 的中点 G，连结 GE 和 GA，则 ， 四边形 AFEG 为平行四边形， 平面 PAD,EF 平面 PADEF平面 PAD （）取 中点 ，连结 ， 因为 为等边三角形，所以 因为四边形 为菱形，所以 ，又因为 ，所以 为等边三角形，所以 因为 ，所以 平面 ，因为 平面 ，所以
