1、2018 届安徽省池州市高三上学期期末考试数学（文）试题（解析版）第卷一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 函数 与 的定义域分别为 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 可得， ， ，由 可得 , ,所以 ，故选 D.2. 若复数 ，则复数对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C【解析】因为复数 ，所以 ， 对应点坐标为 ，由此复数对应的点在第三象限，故选 C.3. 如图是 位学生的某项体育测试成绩的茎叶图，则下列说法正确的是（ ）A
2、. 中位数是 B. 众数为C. 极差为 D. 平均数是【答案】A【解析】由茎叶图可知 位学生的某项体育测试成绩的中位数是 ，众数为 ，极差为 ，平均数是 ，所以选项 错误，选项 正确，故选 A.4. 已知 ， ， ，则下列不等关系正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ， ， 故 ，故选 D.5. 在等差数列 中， ，则 的前 项和 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设等差数列 的公差为 ，因为 ，所以 ， ， ，故选 A.6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知，该几何体为边长为 正
3、方体 挖去一个以 为球心以 为半径球体的 ，如图，故其表面积为 ，故选 B.7. 实数 ， 满足 ，目标函数 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】画出 表示的可行域，如图区域为开放的阴影部分，可求得 ，由图可知，函数 过点 时， ，函数 的最大值为 故选 B.【方法点晴】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
4、8. 已知等比数列 的公比 ，前 项和为 ，则其偶数项 为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，设 ，则 ，所以 ， ，故 ，故选 D.9. 9.双曲线 上一点 关于一条渐近线 的对称点恰为左焦点 ，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为双曲线一条渐近线为 ，所以可设双曲线的方程为 ，因为 在双曲线上，将 带入得 ，可得双曲线方程为 ，故选 C.10. 执行如图所示的程序框图，则输出的 值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】执行程序框图过程如下：第一次循环 ，是；第二次循环，是；第三次循环 ，是；第九次循环 ,是；第十次循环，否，
5、 结束循环.输出 ，故选 C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.11. 已知曲线 ： ，曲线 ： ，则下面结论正确的是（ ）A. 将曲线 向右平移 个单位，可得B. 将曲线 向左平移 个单位，可得C. 将曲线 向右平移
6、 个单位，可得D. 将曲线 向左平移 个单位，可得【答案】B【解析】 因为 所以将曲线 向左平移 个单位，可得曲线 ，故选 B.12. 正方体 棱长为 ，点 在棱 上，满足 ，过点 的直线与直线 、 分别交于、 两点，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图，过点 与 做平面分别与直线 交于 ，连接 与直线 交于点 ，根据相似三角形的性质可求 , ， ，故选 D.【方法点睛】本题通过空间线面关系，重点考查空间想象能力与抽象思维能力以及转化与划归思想的应用，属于难题.转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨
7、度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答.本题中，将貌似位置不确定的 ，通过空间线面的交点唯一性准确定位，是解题的关键 .第卷二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请把正确的答案填在横线上.13. 向量 ， ，若 ，则 _【答案】【解析】由于向量 ， ， ，故 ，故答案为 .14. 某种产品的广告费支出 与销售额 之间有如下对应数据（单位：百万元） ，根据下表求出 关于 的线性回归方程为 ，则表中的值为_【答案】54【解析】 ，代入回归方程 可得
8、 ，所以，故答案为 .15. 抛物线 与椭圆 有公共的焦点 ，它们的一个交点为 ，且 轴，则椭圆的离心率为_【答案】【解析】因为抛物线 与椭圆 有公共的焦点 ，它们的一个交点为 ，且轴，所以 ， ，可得 ，即 ，解得 ，故答案为 .【 方法点睛】本题主要考查抛物线的方程与简单性质、椭圆的方程与离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：直接求出 ，从而求出 ;构造 的齐次式，求出 ; 采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解 ;根据圆锥曲线的统一定义求解本题中，根据抛物线 与椭圆 有公共的焦点 及 轴，从而找出 之间的关系，求出离心率 16.
9、 函数 与 的图象有 个交点，其坐标依次为 ， ， ，则_【答案】4【解析】因为 ， 两个函数对称中心均 为 ； 画出 ，的图象，由图可知共有四个交点，且关于 对称， ， ,故 ，故答案为 .三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答应写在答题卡上的指定区域内. 17. 在 中，内角 、 、 的对边分别为、 、 ， 且 .（）求 ；（）求 的周长的取值范围.【答案】(1) ;(2) 得周长的取值范围是 .【解析】试题分析：（）由 ，根据正弦定理可得 ，化简得 ，利用余弦定理可得结果；（ ）根据正弦定理可得 ， 故 ，求得 ，可得 ，从而可得 得周
10、长的取值范围.试题解析：（）在 中，由正弦定理及已知得 ，化简得 ，又 ，所以 . （）在 中有正弦定理得 ，又 ，所以 ， ，故 ，因为 ，故 ，所以 ， ，故 得周长的取值范围是 . 【方法点睛】本题主要考查余弦定理与正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角） ；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.18. 某商场为了了解顾客的购物信息，随机在商场收集了 位顾客购物的相关数据如下表：一次购物款（单位：元）顾
11、客人数统计结果显示 位顾客中购物款不低于 元的顾客占 ，该商场每日大约有 名顾客，为了增加商场销售额度，对一次购物不低于 元的顾客发放纪念品.（）试确定， 的值，并估计每日应准备纪念品的数量；（）为了迎接春节，商场进行让利活动，一次购物款 元及以上的一次返利 元；一次购物不超过元的按购物款的百分比返利，具体见下表：一次购物款（单位：元）返利百分比请问该商场日均大约让利多少元？【答案】(1)2400;(2)41600.【解析】试题分析：（）由 位顾客中购物款不低于 元的顾客可得 ， ，从而可得 ，进而得商场每日应准备纪念品的数量大约为 ；（）先算出各购物消费区间的人数，利用各区间中点值乘以对应的
12、人数及返利比例，求和可得到该商场日均大约让利费用.试题解析：（）由已知，100 位顾客中购物款不低于 150 元的顾客有 ， ；.该商场每日应准备纪念品的数量大约为 . （）设顾客一次购物款为 元.当 时，顾客约有 人；当 时，顾客约有 人； 当 时，顾客约有 人；当 时，顾客约有 人.该商场日均大约让利为：（元）.19. 在四棱锥 中， ， ， ， ， 是棱 的中点，且.（）求证： 平面 ；（）求点 到平面 的距离.【答案】(1)见解析；（2）点 到平面 的距离为 .【解析】试题分析：（）取 中点 ，连接 ，可证 为平行四边形，可得 ，故.结合 ，得 ，所以 ，由勾股定理可得 ，从而可得 平
13、面；（）设点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 ，利用三棱锥 的体积，又 ，所以 ，从而可得结果.试题解析：（）取 中点 ，连接 ，由已知 ,故 为平行四边形，所以 ，因为 ，故 .又 ，所以 ，所以 .由已知可求， ，所以 ，所以 ，又 ，所以 .（）已知 是棱 的中点，所以点 到平面 的距离等于点 到平面 的距离 .由（）知 ，所以在直角三角形 中， ， ， 在 中， ， ，又 ，所以 ，所以 .所以 的面积为 .三棱锥 的体积为 ，三棱锥 的体积 ，又 ，所以 ， ，故点 到平面 的距离为 .20. 已知定点 、 ，直线 、 相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，记动点 的轨迹为曲线.（）求曲线 的方程；（）设直线与曲线 交于 、 两点，若直线 与 斜率之积为 ，求证：直线过定点，并求定点坐标.【答案】 （1）曲线 的方程为 ；（2）直线过定点，定点坐标为 .【解析】试题分析：（）设动点 ，则 ， ，即，化简即可得结果；（ ）设的方程为 ，则联立方程组，消去 得 ，设 ，根据斜率公式及韦达定理可得解得解得 或 ，验证当 时，直线的方程为 .直线过定点 .试题解析：（）设动点 ，则 ， ，即 ，化简得： ，由已知 ，故曲线 的方程为 . （）由已知直线斜率为 0 时，显然不满足条件。当直线斜率不为 0 时，设的方程为 ，则联立方程组，消去 得 ，设 ，则 ，
