1、第三章 复变函数的级数,本章介绍复变函数级数的概念,重点 是Taylor级数、Laurent级数及其展开.最 后讨论解析函数与调和函数的关系.,1 复数列的极限,2 复数项级数,3.1 复数项级数,3.1.1 复数列的极限,称 为复数列, 简称,为数列, 记为,定义3.1 设 是数列， 是常数.,如果e 0, 存在正整数N, 使得当nN 时, 不等式,成立, 则称当n时, 收敛于,或称 是 的极限, 记作,或,复数列收敛与实数列收敛的关系,即,同理,证明 如果 则 存在正整数N,从而有,该结论说明: 判别复数列的敛散性可转化为判别,两个实数列的敛散性.,反之, 如果 那么,存在正整数N, 使得
2、当nN 时,所以,3.1.2 复数项级数,为复数项级数.称,为该级数的前 n 项部分和.,设 是复数列, 则称,级数收敛与发散的概念,定义3.2 如果级数,的部分和数列 收敛于复数 S, 则称级数收敛,这时称S为级数的和, 并记做,如果 不收敛，则称级数发散.,复数项级数与实数项级数收敛的关系,定理3.2 级数 收敛的充要,条件是 都收敛, 并且,证明 由 及定理3.1, 易证.,说明,复数项级数的收敛问题,两个实数项级数的收敛问题,解 因为级数,收敛, 所以原复数项级数发散.,练习 级数 是否收敛?,发散, 而级数,级数收敛的必要条件,推论3.1 如果级数 收敛, 则,证明 由定理3.2及实
3、数项级数收敛的必要,条件 知,重要结论: 发散.,于是在判别级数的敛散性时, 可先考察,?,非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.,定义3.3 设 是复数项级数, 如果正项,级数 收敛, 则称级数 绝对收敛.,绝对收敛级数的性质,定理3.3 若级数 绝对收敛, 则它收敛,并且,证明 由于 而,级数 收敛, 由正项级数收敛的比较判别法,知 和 收敛. 从而 和 绝对,收敛, 故收敛. 因此级数 收敛.,因为 所以,补充 因为 所以,综上可得:,因此, 如果 和 都绝对收敛时, 也,绝对收敛.,绝对收敛 和 都绝对收敛.,都收敛, 故原级数收敛. 但是级数,条件收敛, 所以原级数非绝对收敛, 是条
4、件收敛的.,解 因为,例3.1 级数 是否绝对收敛?,定理3.4 设 是收敛数列，则其有界, 即,存在M0, 使得,定理3.5 设 和 都是绝对收敛级数,令,则级数 绝对收敛, 并且,1 幂级数的概念,2 幂级数的敛散性,3 幂级数的性质,3.2 幂 级 数,为复变函数项级数.,为该级数前n项的部分和.,设 是定义在区域D上的复变函数列,称,3.2.1 幂级数的概念,称为该级数在区域D上的和函数.,如果对 级数 收敛, 即,则称级数 在 点收敛, 且 是级数和.,如果级数 在D内处处收敛, 则称其在,区域D内收敛. 此时级数的和是函数,这类函数项级数称为幂级数.,当 或 时,或 的特殊情形,函
5、数项级数的形式为,定理3.6 (Abel定理) 若级数 在,处收敛，则当 时, 级数 绝对收敛;,若级数 在 处发散，则当 时, 级数,发散.,3.2.2 幂级数的敛散性,因而存在正数M, 使得,当 时, 记 于是,由正项级数的比较判别法知, 收敛, 因此,证明 若级数 收敛, 则,级数 绝对收敛.,其余的结论用反证法易得.,收敛圆与收敛半径,(1) 对所有的正实数都收敛.,级数在复平面内绝对收敛.,(2) 对所有的正实数都发散.,级数在复平面内除原点外处处发散.,(3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收,敛的正实数.,设 时, 级数收敛; 时, 级数发散. 如图:,由 , 幂级数
6、收敛情况有三种:,.,.,收敛圆,收敛半径,.,.,事实上, 幂级数在收敛圆周上敛散性的讨,问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?,以 为中心的圆域.,收敛半径根据前面所述的三种情形, 分别,规定为,论比较复杂, 没有一般的结论, 要对具体级数,进行具体分析.,解,绝对收敛, 且有,在 内, 级数,例3.2 求级数 的和函数与收敛半径.,所以收敛半径,例3.3 对任何复数z , 级数,都绝对收敛，即它们的收敛半径,事实上, 容易验证, z取任意正实数时, 它们均,绝对收敛.,例3.4 讨论级数 和 的收敛性.,解 级数 在 点收敛, 但在,经过较为复杂的讨论可知, 当 时,级数 都收敛.,因此
7、级数 的收敛半径,点, 级数 发散.,显然, 级数 在 上处处绝对收敛 .,但当 时,因此当 时, 级数 发散.,因为 是任意的, 故当 时, 级数,处处发散.,所以, 收敛半径为,收敛半径的计算方法(一),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理3.7 (比值法) 设级数 如果,则,收敛半径的计算方法(二),(3) 当 时, 收敛半径,(1) 当 时, 收敛半径,(2) 当 时, 收敛半径,定理3.8 (根值法) 设级数 如果,则,p为正整数.,解 因为 所以,于是收敛半径,由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此,可得出下面几个定理.,定理3.
8、9 (1) 设级数 和 的收敛,半径分别为 和,则在 内,3.2.3 幂级数的性质,(2) 设级数 的收敛半径为 r.,如果在 内, 函数 解析, 并且,则当 时,说明: 上述运算常应用于将函数展开成幂级数.,前面关于级数 的性质, 如果将 换成,之后, 对于级数 当然也成立.,例3.5 把函数 表示成形如,的幂级数, 其中a与b是不相等的复常数 .,代数变形 , 使其分母中出现,凑出,把函数 写成如下的形式:,当 即 时,所以,例3.6 求 的收敛半径与和函数.,解 因为 所以,当 时,又因为 从而,定理3.10 设幂级数 收敛半径,半径为R, 并且在 内,则 是 内的解析函数, 且在收敛圆
9、,内, 可以逐项求导和逐项积分, 即,(1) 当 时,(2) 设C是 内的一条分段光滑曲线,则,特别地, 如果C是圆内部的以z0为起点、z为,终点的分段光滑曲线, 则,例3.7 求 的收敛半径与和函数.,利用逐项积分得,所以,解 因为 所以,1 Taylor级数展开定理,2 将函数展开成Taylor级数,3 函数的零点,3.3 Taylor级数,实函数在一点的邻域内展开成Taylor级数是,非常重要的问题，它是表示函数、研究函数性质,以及进行数值计算的一种工具.,对于复变函数, 我们已经知道幂级数在收敛,圆域内收敛于解析函数. 在本节我们将证明解析,函数在解析点的某邻域内一定能够展开成幂级数,
10、Taylor级数. 这是解析函数的重要特征.,3.3.1 Taylor级数展开定理,为了证明Taylor展开定理, 我们首先介绍下面,一个关于逐项积分的引理.,引理 设 都是在分段光滑,(或可求长)曲线C上的连续函数, 且级数,在C上收敛于函数,如果存在一个收敛的正项,级数,使得在C上,则 是C上的连续函数, 且,事实上, 利用,证明 证明 在C上连续比较复杂, 我们,这里只证明,级数 的余项.,R为 到D边界的距离,定理3.11 (Taylor展开定理) 设 在区域D,.,R,(D是全平面时, R=+),则 在 内可,可展开为幂级数,其中,系数cn按上述表示的幂级数称为,在 点的Taylor
11、级数.,.,.,C,.,R,证明 对 内任意一点z,存在 r0,使得 并且,以z0为圆心, r为半径,作正向圆周,由,因为当 时,于是类似于,从而,下面证明积分号下的级数可在C上逐项积分.,因为 是 D上的解析函数, 所以 在C,上有界, 即存在 使得当 时,因此, 在 上,其中,前面积分号下的级数可在C上逐项积分.,记 则由 ,再根据,定理3.11给出了函数在 z0点的邻域内展开成,Taylor级数的公式, 同时给出了展开式的收敛半,径R=|z0-a|, 其中a 是离z0最近的 f (z)的奇点.,Taylor展开式的惟一性定理,注 这个定理为把函数展开成Taylor级数的间接,方法奠定了基
12、础.,绝对收敛.,得,其中,则由 ,可以逐项积分. 又因为,以及,因此, 解析函数在一点展开成幂级数的结果惟一.,3.3.2 将函数展开成Taylor级数,将函数展开为Taylor级数的方法:,1. 直接方法; 2. 间接方法.,1. 直接方法,由Taylor展开定理计算级数的系数,然后将函数 f (z)在z0 展开成幂级数.,并且收敛半径,2. 间接方法,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析 函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 逐项 积分等)和其它的数学技巧 (代换等) , 求函数的 Taylor展开式.,间接法的优点:,不需要求各阶导数, 通常比直接展开更为简 洁, 使用范围也
13、更为广泛 .,例3.9 利用,并且收敛半径,同理,的Taylor级数.,解,故收敛半径,在 中，用z替换-z, 则,逐项求导，得,令 则,根据例3.10，,的Taylor级数.,负实轴向左的射线的区域内解析.,因为,并且由 有,所以,根据 ，把上式逐项积分，得,在z=0点的Taylor展开式.,实轴向左的射线的区域内解析.,因此在 内,可展开为z的幂级数.,根据复合函数求导法则,按照直接方法展开如下:,令z=0, 有,于是,成Taylor级数，并指出该级数的收敛范围.,当 即 时,附: 常见函数的Taylor展开式,3.3.3 函数的零点,定义3.4 设函数f (z)在区域 D内的一点z0的值
14、,为零，则称z0为函数f (z)的零点.,定义3.5 如果函数f (z)在其零点z0的某个邻域,内解析，并且在该邻域内,没有其他零点, 则称z0为f (z)的孤立零点.,在本段中, 我们将介绍解析函数的零点概念, 并,证明零点的孤立性以及解析函数的惟一性定理.,定义3.6 如果解析函数f (z)在点z0的邻域内,可以表示为,为f (z)的m级零点.,设z0是函数f (z)的孤立零点, 那么根据f (z)在,z0点的Taylor展开式可知, 存在正整数m, 使得,定理3.13 不恒为零的解析函数的零点必是,孤立零点.,证明 设z0为函数f (z)的m级零点, 于是存在,恒不为零，所以f (z)在
15、邻域,内，除z0外无其他零点，即z0是f (z)的孤立零点.,这是解析函数又一个,对于实可微函数, 其,零点不一定是孤立的，例如函数,在零点x=0处可微，但是,也是f (z)的零点，且,f (z)在D内恒为零.,推论3.3(解析函数的惟一性定理) 设函数f (z),如果对一切n, 都有,则在D内恒有,列互异的零点, 于是由推论3.2知F(z)在D内恒为零.,这是解析函数又一个非常重要的特性: 定义在,区域 D内的两个解析函数，只要在D内的某一部分,(子区域或孤段)上的值相等，则它们在整个区域 D,上的值相等. 对于实可微函数而言, 不具有这样的,性质.,m 级零点的判别方法,证明 (必要性),
16、定理3.14 不恒为零的解析函数f (z)以z0为m级,零点的充分必要条件是,使得在该邻域内,其中 解析,成Taylor级数为,那么,根据 , 这就是f (z)在,中的Taylor展开式，由此可见,(充分性) 因为f (z)在点z0解析, 由,该邻域内可展开成Taylor级数. 由已知条件知, 该,级数为,于是,所以由 知，z0是f (z)的m级零点 .,练习,z=0是5级零点,答案,是2级零点.,例3.15 求以下函数的零点及级数:,只有一个零点?,的零点. 由于,例3.16 是否存在着在原点解析且满足下列,条件之一的函数f (z), 其中,由 ,是在原点解析并,因此满足这样两个条件且在原点
17、解析的函数不存在.,(2) 因为,由 ,是满足条件,且在原点解析的函数.,1 Laurent级数的概念,2 函数的Laurent级数展开,3 典型例题,3.4 Laurent级数,3.4.1 Laurent 级数的概念,如果函数f (z)在z0点解析, 则在z0的某邻域内, 可,展开为Taylor级数, 其各项由z-z0的非负幂组成. 如果,个圆环域内不一定都能展开为z-z0的幂级数.,本节将引进一种在圆环域收敛的双边幂级数,即Laurent级数. 它将在后面讨论孤立奇点与留数,及Z变换理论中起重要作用.,负幂项部分,正幂项部分,主要部分,解析部分,这种双边幂级数的形式为,同时收敛,Laure
18、nt级数,收敛,收敛半径R,收敛域,收敛半径R2,收敛域,两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分,结论: 双边幂级数 的收敛区域为,常见的特殊圆环域:,幂级数的收敛域是圆域,且和函数在收敛域内解析. (2) 在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数.,对于Laurent级数，已经知道：Laurent级数的收敛域是圆环域，且和函数 在圆环域内解析.问题: 在圆环域内解析的函数是否可以展开 成Laurent级数?,对于通常的幂级数，讨论了下面两个问题:,3.4.2 函数的Laurent 级数展开,定理3.15(Laurent展开定理) 设,在此环域内可展开为Laurent级数,其中,C是圆,周 的正向
19、.,证明,R,r,.,.,设z在圆环域 内,取,和,当z 在K2上变化时，,根据,和,与 的证明方法相同,可以逐项积分.,.,当z 在K1上变化时，,类似有,因为f (z)在K1上有界, 即存在,使得z K1时,根据 ,可以逐项积分.,根据 ,因此，,注 函数f (z)展开成Laurent级数的系数,与展开成Taylor级数的系数在形式上完全相同, 但,内不一定解析, 所以不能化为z0处的导数,解析, 那么根据 ,所以Laurent级数包含了Taylor级数.,Laurent展开式的惟一性定理,定理3.16 设函数f (z)在圆环域,内解析, 并且可以展开成双边幂级数,注 函数在圆环域内Lau
20、rent展开式是惟一的. 因此,为函数展开成Laurent级数的间接方法奠定了基础.,证明 利用证明 的,方法, 可以证明双边幂级数也可以在C上逐项积,分. 设,于是在C上取积分得,根据,所以,将函数在圆环域内展开成Laurent级数, 理论,(1) 直接方法 直接计算展开式系数,然后写出Laurent展开式,这种方法只有理论意义, 也就是说, 只有在进,上应该有两种方法: 直接方法与间接方法.,行理论推导时, 才使用这种表示方法.,根据解析函数 Laurent 级数展开式的惟一性, 可运用代数运算、代换、求导和积分等方法去将 函数展开成Laurent 级数.,(2) 间接方法,这是将函数展开
21、成Laurent 级数的常用方法.,数在各个不同的圆环域中有不同的Laurent展开式,(包括Taylor展开式作为特例). 这与Laurent展开式,的惟一性并不矛盾, 在同一圆环域内的展开式惟一.,内展开成Laurent级数.,处都解析, 并且可分解为,3.4.3 典型例题,函数f (z)在z=1和z=2处不解析, 在其它点,(1) 在 内, 有 则,于是在 内，,(2) 在 内, 有,于是在 内,(3) 在 内, 有,于是在 内,(4) 由 知,展开的级数形式应为,所以在 内,内展开成Laurent级数.,展开的级数形式应为,因为,所以在 内,为Laurent级数.,解 除z=0点之外,
22、 f (z)在复平面内处处解析,对任何复数z ,于是在 内,内展开成Laurent级数.,解,(1) 当 时,(2) 在 内,3.5 调和函数,1 调和函数的概念,2 解析函数与调和函数的关系,3.5.1 调和函数的概念,如果二元函数j (x,y)在区域D内存在二阶连续,偏导数, 且满足二阶偏微分方程 (Laplace 方程),则称j (x,y)是区域D内的调和函数.,工程中的许多问题, 如平面上的稳定温度场、,静电场和稳定流场等都满足Laplace方程.,下面简单推导平面稳定温度场中温度函数是,一个调和函数.,设所考虑物质的导热性能在某一区域 D内是,均匀的各向同性的，导热系数是常数，且 D
23、内没,有热源. 这样，在D内就形成一个稳定的温度场.,记T(x,y)表示其温度分布函数，在D内任取一条其,内部属于D的简单闭曲线C, 以s 表示其内部. 根据,物理学中的Fourier定律，在单位时间内, 通过 C,上一个小弧段ds自C 的内部s 流出的热量是,其中n表示外法线方向. 因此,通过整个曲线C 流出的热量是,热源存在，所以应有,由于C 的任意性，有,即温度分布函数是一个调和函数.,因为s 内各点的温度不随时间改变, 并且没有,3.5.2 解析函数与调和函数的关系,由于解析函数的导数仍是解析函数, 因此u(x,y)和,D内的解析函数，则u(x,y)和v(x,y)都是区域D内的,调和函
24、数.,证明 因为f (z)在D内解析, 所以满足Cauchy-,Riemann条件,v(x,y)存在各阶连续偏导数. 将,分别对x和y求导，则,当混合偏导数连续时，求导次序可以交换. 因此，,即u(x,y)是调和函数. 同理可证v(x,y)也是调和函数.,如果任给区域 D内两个调和函数u(x,y)和v(x,y),那么u(x,y)+iv(x,y)在D内是否为解析函数?,考虑 和,如果u(x,y)和v(x,y)都是区域D内的调和函数, 且,u(x,y)+iv(x,y)是D内的解析函数, 则称v(x,y)是u(x,y),的共轭调和函数.,区域 D 内解析函数的虚部为实部的共轭调和,函数.,现在提出如
25、下问题：,或者已知调和函数 v(x,y) 时，是否存在调和函 数 u(x,y) ，使得 f (z)=uiv 是D内的解析函数?,已知 u(x,y)是区域D内的调和函数，是否存在 u(x,y)的共轭调和函数 v(x,y)，使得函数 f (z)=uiv 是D上的解析函数?,回答是肯定的，以下用举例的方法加以说明.,解 因为在全平面内,的调和函数，并求以它为实部的解析函数.,(其中C为任意实常数).,求u为实部的解析函数.,从而,于是得解析函数,令,那么函数可以化为,其中C为任意实常数.,求u为实部的解析函数的另一方法.,将x替换成z, 即得,注：此处用到 .,例3.22 已知调和函数,是解析函数f
26、 (z)的虚部, 且f (0)=1, 求f (z)的表达式.,所以,所以,另一方法 因为,因此,例3.23 已知,求解析函数,解 分别求导数可得,因此,将x替换成z, 即得,复数项级数,函数项级数,充 要 条 件,必 要 条 件,幂级数,收敛半径R,复 变 函 数,绝 对 收 敛,运算与性质,收敛条件,条 件 收 敛,复数列,收敛半径的计算,Taylor 级数,Laurent级数,调 和 函 数与 解 析 函 数,本章主要内容,1. 函数展开成Taylor级数与Laurent级数,2. 解析函数的零点,本章的重点,第三章 完,Niels Henrik Abel,(1802.8.5-1829.4
27、.6),挪威数学家. 牧师的儿子, 家,境贫困. Abel 15岁读中学时, 优秀,的数学教师B. Holmboe(1795-1850)发现了Abel的数,学天才, 对他给予指导. 1821年进入克利斯安那大学.,1824年, 他解决了用根式求解五次方程的不可能性,问题. Abel短暂的一生中在分析和代数领域作出了,极其出色的贡献, 然而他的数学成就在当时没有得,到应有的注意, 生活悲惨, 在贫病交迫中早逝.,Brook Taylor,(1685.8.18-1731.12.29),英国数学家. 曾任英国皇家学,会秘书. 1715年在增量方法及其,逆中给出Taylor级数的展开定理.,Pierre-Alphonse Laurent (1813.7.18-1854.9.2),法国数学家. 1843年证明了Laurent级数展开,定理, 但是他的结果直到去世后才得到发表.,
