1、 - 1 - 江门市 培英高级中学2017 届高三数学12 月 份高考模拟试题 满分150 分 ，时 间120 分 钟 第卷 （ 共60 分） 一、 选择题 （本 大题 共 12 小题 ，每小 题 5 分，共 60 分 在每 小题 给出 的四 个选 项中， 有 一 项是符 合题 目要 求的 ） 1 已 知集 合U=R ， 集合 |2 1 x Ax ， 集合 |log 2 0 x Bx ，则 () U A C B 等于 A | 1 xx B |0 1 xx C |0 1 xx D | 1 xx 2 在 复平 面内 复数 1 1 i ， 1 1 i 对应 的点分 别 为A、B， 若点C 为线 段A
2、B 的中 点， 则点C 对应的 复数 是 A 1 B 1 2C i D 1 2 i 3 设等 比数 列 n a 的公 比 q 2，前n 项 和为 n S ，则 4 3 S a 的值 为 A 15 4B 15 2C 7 4D 7 24 设 函数f（x ） 2 sin （x 4 ） 2 cos （x 4 ）（ x R） ，则 函 数f（x）是 A最 小正 周期 为 的奇 函 数 B 最 小正 周 期为 的偶 函数 C 最 小正 周期 为 2 的奇 函数 D 最小 正 周期为 2 的偶 函数 5 若 1,0 1 a b x ，则 有 A ab xx B xx ba C log log ab xx D
3、log log xx ab KS5UKS5U 6 三 棱椎ABCD 的 三视 图为如 图所 示的 三个 直角 三角形 ， 则三棱 锥A BCD 的 表面 积 为 A22 5 B44 5 C 45 3 4D4 6 7 如果双曲线 2 1 x mn 2 y （m 0，n0）的渐近线方程为 y 1 2 x，则椭圆 2 1 x mn 2 y 的离 - 2 - 心率为 A 3 2B 3 4C 5 4D 5 168. 5 1 2 a xx xx 的展 开式 中各 项系 数的 和为 2 ，则 该展 开式 中常 数项为 （A ）-40 （B）-20 （C ）20 （D）40 9 某 学校 对高 一新 生的 体
4、 重进行 了抽 样调 查， 右图 是根据 抽样 调查后的数据绘制的频率 分布直方图，其中体重（ 单位：kg） 的范围 是45 ，70 ， 样本 数据分 组为45 ，50）， 50 ，55）， 55 ， 60）， 60 ，65）， 65，70 ， 已 知被 调查 的学 生中 体 重不 足55kg 的有 36 人， 则被 调查 的高 一新生 体重 在 50kg 至65kg 的人 数 是 A 90 B 75 C 60 D 45 10 已知 函数 32 () f x mx nx 的图 象在 点 （-1 ，2 ） 处 的切 线 恰好与 直线30 xy 平行 ， 若 () fx 在区 间 , 1 tt 上
5、单 调递 减， 则实 数t 的取值 范围 是（ ） A ,2 B ,1 C 2, 1 D 2, 11 已 知函数f（x ）sin （x 3 ） （ 0）,f （x ）在区 间（0，2 上 只有 一 个最大 值和 一个最 小值 ，则 实数 的 取值范 围为 A 7 12 ， 13 12 ）B 2 ，） C 6 ， 2 ） D 6 ， 3 12 过点 (2, 2 ) Mp 作抛物线 2 2 ( 0) x py p 的 两 条切 线 ，切 点 分别 为 A ，B ，若 线 段 AB 中点的 纵坐 标 为6， 则抛 物线的 方程 为 A 2 2 xy B 2 4 xy C 22 24 x y x y
6、或 D 22 32 x y x y 或 第卷 （ 共90 分） 二、填 空题(本 大题 共 4 小 题，每 小题 5 分 ，共 20 分 ，把答 案填 在答 题卷 相应 位 置上) 13 如 图所 示， 程序 框图 （算法 流程 图） 的输 出结 果是 . 14 甲 、 乙 两名 同学 从四 门选修 课程 中各 选修 两门 ， 则 两人 所选 课程 中恰 有 一门 - 3 - 相同的 概率 为_ 15 如 果 ABC 内接于 单位 圆， 且 b b a c a ) 2 ( ) ( 2 2 ，则 ABC 面积 的最 大值 为 16.关于 x 的方 程 2 2 x k 2 x 有四 个不同 的实
7、根， 则实 数 k 的取值 范围 为_. 三、 解答 题（ 本大 题共6 个小题 ， 共70 分， 解答 应 写出文 字说 明 ，证 明过 程 或演算 步骤 写在 答题卷 相应 位置 上 ） 17 （ 本小 题满 分12 分） 设 n a 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 ， n S 为数列 n a 的前n 项 和 已 知 3 7 S ，且 1 2 3 33 4 a a a ， ， 构成等 差数 列 （1 ） 求数 列 n a 的通项 公式 （2）令 31 ln 12 nn b a n ， ， ， ， 设数列 n b 的前n 项和 n T 若 n T T T 1 1 1 2 1 对
8、N n 恒成立 求 的取值 范围 。 18 （ 本小 题满 分12 分） 受轿车在保修期内维修费 等因素的影响，企业产生 每辆轿车的利润与该轿车 首次出现故障 的时间 有关 ，某 轿车 制造 厂生产 甲、 乙两 种品 牌轿 车，保 修期 均为 2 年， 现 从该厂 已售 出 的两种 品牌 轿车 中随 机抽 取 50 辆， 统计 书数 据如 下 ： 将频率 视为 概率 ，解 答下 列问题 ： （I ） 从 该厂 生 产的 甲 品 牌轿 车 中 随机 抽 取一 辆 ，求首 次 出 现故 障 发生 在 保修期 内 的 概 率； （II ）若 该 厂生 产的 轿 车均 能 售出 ， 记住 生产 一 辆
9、甲 品 牌轿 车 的利 润为 1 X ， 生 产 一辆 乙品牌 轿车 的利 润为 2 X ，分 别求 1 X ， 2 X 的分 布列 ； （III ）该 厂预 计今 后这 两 种品牌 轿车 销量 相当 ， 由 于资金 限制 ， 只能 生产 其 中一种 品牌 轿车， 若从 经济 效益 的角 度考虑 ，你 认为 应该 产生 哪种品 牌的 轿车 ？说 明理 由。 - 4 - 19 （ 本小 题满 分12 分） 如图， 在四 棱 锥 PABCD 中，侧 面 PAD 是 正三 角形 ，且垂 直于 底 面 ABCD ，底 面 ABC 是边 长为2 的菱 形， BAD=60 ，M 为 PC 的 中点. 20
10、 （ 本小 题满 分12 分） 已知椭圆 22 1 22 : 1( 0) xy C a b ab 的离心 率为 3 3 ，直 线l: 2 yx 与以原 点为圆 心、 以 椭圆 1 C 的短半 轴长 为半 径的 圆相切. （I ）求 椭圆 1 C 的方 程； （II ） 设 椭圆 1 C 的左 焦点 为 1 F ， 右 焦点 2 F ， 直线 1 l 过点 1 F 且垂 直于椭 圆的 长轴 ， 动 直线 2 l 垂直 1 l 于点P ，线段 2 PF 垂直 平分 线交 2 l 于点M ，求点M 的轨 迹 2 C 的方程； （III ）设 2 C 与x 轴 交 于点Q ， 不 同的 两 点 S R
11、, 在 2 C 上 ， 且满足 0, QR RS 求 QS 的 取值范 围. 21 （ 本小 题满 分12 分） 函数 () x f x a e , a x x g ln ln ) ( ,其中 a 为常 数,且 函数 ) (x f y 和 ) (x g y 的图 像在 其与坐 标轴 的交 点处 的切 线互相 平行 ( )求 此平 行线 的距 离； ( )若存在 x 使 不等 式 x x f m x ) ( 成立，求 实 数 m 的 取值 范围 ； - 5 - ( ) 对 于函 数 ) (x f y 和 ) (x g y 公 共 定义域 中 的 任意 实数 0 x ，我们把 ) ( ) ( 0
12、0 x g x f 的 值 称 为两 函 数 在 0 x 处的偏差.求证: 函数 ) (x f y 和 ) (x g y 在 其 公共 定 义域 内 的所 有 偏差 都大于2 22 （ 本小 题满 分10 分） 选修 4 1 ：几 何证 明选 讲 选修4-1： 几何 证明 选讲 如图，CB 是O 的直 径，AP 是O 的切线 ，AP 与CB 的延 长线 交于 点P ， A 为切点 若 10 PA ， 5 PB ， BAC 的平 分线AE 与BC 和O 分别 交 于 点D 、E ，求 AE AD 的值 23. ( 本小 题满 分10 分） 选修4-4： 坐标 系与 参数 方程 已知曲 线 sin
13、 3 cos 4 : y x C （ 为参 数） （） 将C 的方程 化为 普通 方程； （） 若点 ) , ( y x P 是曲 线C 上的动 点，求 y x 2 的取 值范 围 24. ( 本小 题满 分10 分） 选修4-5： 不等 式选 讲 已知不 等式 a x x 2 | 4 | | 3 | 2 （）若 1 a ，求不 等式 的解 集； （） 若已 知不 等式 的解 集不是 空集 ， 求a 的 取值 范围。 A C E B P D O - 6 - 答案 一选 择题 CBAAC AADAC AC 二. 填 空题 13. 15 14. 3 215. 2 1 2 16. 1 k 三. 解
14、答题 17. 解 ： （1 ）由 已知 得 1 2 3 13 2 7 : ( 3) ( 4) 3. 2 a a a aa a ，解得 2 2 a 设数 列 n a 的公比 为q ，由 2 2 a ，可 得 13 2 2 a a q q ， 又 3 7 S ，可 知 2 2 2 7 q q ，即 2 2 5 2 0 qq ， 解得 12 1 2 2 qq ， 由题 意得12 qq ， 1 1 a 故数 列 n a 的通项 为 1 2 n n a （2 ） 由于 31 ln 12 nn b a n ， ， ， ， 由（1 ）得 3 31 2 n n a 3 ln2 3 ln2 n n bn 又 1
15、 3ln2 n n n bb n b 是等 差数 列 12 nn T b b b 1 () 2 (3ln2 3ln2) 2 3 ( 1) ln2. 2 n n b b n nn 故 3 ( 1) ln2 2 n nn T ) 1 1 1 ( 2 ln 3 2 ) 1 ( 1 2 ln 3 2 1 n n n n T n- 7 - 所以 ) 1 1 1 ( 2 ln 3 2 ) 1 1 1 ( ) 3 1 2 1 ( ) 2 1 1 ( 2 ln 3 2 1 1 1 2 1 n n n T T T n 2 ln 3 2 1 1 1 2 1 n T T T 所以 2 ln 3 2 18. 解： （
16、I ）首 次出 现故 障 发生在 保修 期内 的概 率 为 2 3 1 50 10 P （II ） 随机 变量 1 X 的分 布列 为 随机 变量 2 X 的 分布列 为 （III ） 1 1 3 9 1 2 3 2.86 25 50 10 EX (万元) 2 19 1.8 2.9 2.79 10 10 EX ( 万元) 12 EX EX 所以 应该 生产 甲品 牌汽车 。 19 解 ： （1 ）证 明： 证明 ：如图 连 接AC 、OM ，因 为ABCD 为菱 形， 所以 点O 为 AC 的 中点 ，又M 为PC 的中 点， 所以 在 PAC 中， BDM PA BDM OM OM PA 平
17、面 平面 又 , , / 所以 BDM PA 平面 / 2 X 1.8 2.9 P 1 109 101 X 1 2 3 P 1 253 509 10- 8 - 33 ( 3, 3,0), ( 2,0,0), (0 ). 22 ( , ,1) 0 0 2 0, 1; sin . 4 AC AD DM ADM n x y n AD n DM AC n x y AC ADM AC n ， ， ， 设 平 面 的 法 向 量 为 ， 则 且 ， 设 直 线 和 平 面 所 成 角 为 ， 则20. 解：（ ） 2 2 2 2 2 2 22 31 , , 2 3 33 c a b e e a b ac
18、直线 2 2 2 0 2 : b y x y x l 与圆 相切 ， 2 , 2 , 2 2 2 b b b 3 2 a 椭圆 C1 的方 程是 1 2 3 2 2 y x（ ） MP=MF2 ， 动 点M 到 定直 线 1 : 1 x l 的距离 等于它 到定 点 F1 （1 ，0） 的距离 ， 动点 M 的 轨迹 是 C 为l1 准线，F2 为焦 点的 抛物 线 点 M 的轨 迹C2 的 方程 为 x y 4 2 （ ）Q（0 ，0） ，设 ) , 4 ( ), , 4 ( 2 2 2 1 2 1 y y S y y R ) , 4 ( ), , 4 ( 1 2 2 1 2 2 1 2 1
19、 y y y y RS y y QR 0 RS QR 0 ) ( 16 ) ( 1 2 1 2 1 2 2 2 1 y y y y y y 0 , 1 2 1 y y y ，化 简得 ) 16 ( 1 1 2 y y y 64 32 256 2 32 256 2 1 2 1 2 2 y y y 当且仅 当 4 , 16 , 256 1 2 1 2 1 2 1 y y y y 时等 号成 立 64 64 ) 8 ( 4 1 ) 4 ( | | 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 y y y y QS ，又 当 | | 5 8 | | 8 , 64 min 2 2 2 QS QS y y ，故
20、 时， 的取值 范围 是 ) , 5 8 21. 解 ： （ ） x f x ae ， 1 gx x ， y f x 的图像 与坐标 轴的 交点 为 0, a ， y g x 的图像 与坐 标轴 的交 点为 a , 0 ，由题 意得 f 0 g a ，即 1 a a 又 a0 ， 1 a 。KS5UKS5UKS5U - 9 - x f x e ， g x lnx ，函数 y f x 和 y g x 的 图 像 在其 坐 标 轴 的 交 点 处 的 切 线方 程分别 为：x y 1 0 ,x y 1 0 两平 行切 线 间的距 离为 2 。 （） 由 xm x fx 得 x xm x e ，故
21、x m x xe 在 x 0, 有解， 令 x h x x xe ，则 max m h x 。当x0 时，m0 ； 当x0 时， x x x 11 h x 1 e xe 1 x e 2 x 2 x ，x0 ， x 11 x 2 x 2 , e 1 2 x 2 x ， x 1 x e 2 2x 故 x 1 h x 1 x e 0 2x 即 x h x x xe 在区 间 0, 上单调 递减 ，故 max h x h 0 0 ，m0 即实 数m 的 取值 范围 为 ,0 。 （） 解法 一： 函数 y f x 和 y g x 的偏差 为： ( ) ln x F x e x ， 0, x 1 ()
22、x F x e x ，设 0 xx 为 1 ( ) 0 x F x e x 的解， 则当 0 (0, ) xx ， ( ) 0 Fx ； 当 0 ( , ) xx ， ( ) 0 Fx ， () Fx 在 0 (0, ) x 单调 递减 ，在 0 ( , ) x 单调递 增 故 (1) 1 0 Fe ， (0.5) 2 0 Fe 0 1 1 2 x 又 0 0 1 0 x e x ，故 0 min 0 0 0 00 11 ( ) ln 2 x F x e x x x xx ， 即函数 y f x 和 y g x 在其公 共定 义域 内的所 有偏 差都 大于2 。 解法二 ： 由 于 函 数 y
23、 f x 和 y g x 的 偏 差 ： x F x f x g x e lnx ， x 0, KS5UKS5U.KS5UKS5UKS5UKS5U 令 x 1 F x e x ， x 0, ；令 2 F x x lnx ， x 0, x 1 F x e 1 ， 2 1 1 x F x 1 xx ， 1 Fx 在 0, 单调递 增， 2 Fx 在 0,1 单 调递 - 10 - 减，在 1, 单调 递增 11 F x F 0 1 ， 22 F x F 1 1 ， x 12 F x e lnx F x F x 2 即函数 y f x 和 y g x 在其其 公共 定义 域内的 所有 偏差 都大 于
24、2 。 22. 证 明： 连结CE ， PC PB PA 2 ， 10 PA ， 5 PB ， 20 PC ， 15 BC 又 PA 与O 相切 于点A ， ACP PAB ， PAB PCA ， 2 1 PA PB AC AB BC 为O 的直径 ， 90 CAB ， 225 2 2 2 BC AB AC 可解得 5 6 AC ， 5 3 AB 又 AE 平分 BAC ， EAB CAE ，KS5UKS5U 又 E ABC ， ACE ADB ， AC AD AE AB 90 5 6 5 3 AC AB AE AD 23. 24. 解： （ ） 2 | 4 | | 3 | 2 x x ， 若 4 x ，则 2 10 3 x ， 4 x ， 舍去 若 4 3 x ，则 2 2 x ， 4 3 x 若 3 x ，则 2 3 10 x ， 3 3 8 x 综上， 不等 式的 解集 为 4 3 8 | x x A C E B P D O - 11 - （） 设 | 4 | | 3 | 2 ) ( x x x f ，则 3 , 3 10 4 3 , 2 4 , 10 3 ) ( x x x x x x x f ， 1 ) ( x f 1 2 a ， 2 1 a
