1、 1【基础知识巩固】一、 二次根式的概念形如 （ ）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。二、取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 a0 时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当 a0 时， 没有意义。三、二次根式 （ ）的非负性（ ）表示 a 的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ）
2、。注：因为二次根式 （ ）表示 a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0 的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ） ，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0；若 ，则 a=0,b=0。四、二次根式（ ） 的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。（ ）注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， .五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。1、化简 时，一定要弄
3、明白被开方数的底数 a 是正数还是负数，若是正数或 0，则等于 a 本身，即2；若 a 是负数，则等于 a 的相反数-a,即 ；2、 中的 a 的取值范围可以是任意实数，即不论 a 取何值， 一定有意义；3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。六、 与 的异同点1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数 a 的算术平方根的平方，而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中 a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 .七、二次根式的运算1
4、、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是 1.2、乘法法则： ab= （a0，b0） ；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则： （b0，a0 ） ；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。 （2）步骤：如果有括号，根据去括号的法则去掉括号；把不是最简二次根式的二次根式化简；合并被开方数相同的二次根式。
5、6、混合运算：与有理数的运算一致，先乘方开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号里面。有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算二次根式有意义的条件：例 1：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。132x（ ） ； （ ） ；3解：（1）要使 有意义，必须 ，由 得 ，32x320x320x32当 时，式子 在实数范围内有意义。（2）要使 有意义，必须x12x120的范围内。且 ， 但 不 在当 时，式子 在实数范围内有意义。x12且 x12小练习：1、 （1）当 x 是多少时， 在实数范围内有意义？3（2）当 x 是多少时，
6、 + 在实数范围内有意义？ x1（3）当 x 是多少时， +x2 在实数范围内有意义？（4）当 时， 有意义。_1xx2. 使式子 有意义的未知数 x 有（ ）个2(5)A0 B1 C2 D无数3已知 y= + +5，求 的值xy4若 + 有意义，则 =_32x5. 若 有意义，则 的取值范围是 。1mm最简二次根式 例 2：把下列各根式化为最简二次根式：（ ） ，（ ）（ ） ，196024753103234abcab解： （ ） ，96164032aba01521253 617237390472443 bacbacb，）（ ）（4同类根式：例 3：判断下列各组根式是否是同类根式： 4385
7、216751；）（ 分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。解： （ ） ；75257是 同 类 二 次 根 式，；438521675793482431616分母有理化：例 4：把下列各式的分母有理化： ；）； （）（ 23521分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如 与 ， 均为有理253与化因式。解： （ ）（ ）12321465532150求值：例 5：计算： 312
8、5481）（ ）（分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。解： （1）原式 （ ）323235356302310216552） 原 式（化简：例 6：化简： baba4241）（分析：应注意（1）式 ， （2） ，所以 ， 可看作0， a0ab22， ab4可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。ab224解： （ ） 原 式122ababba42例 7：化简练习：解： （ ）103stttsstst32 0， 而， 即原 式 | 6（ ） ， 而原 式2630062365化简求值
9、：例 8：已知： 求： 的值。2323ba， ab3分析：如果把 a，b 的值直接代入计算 的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到3，互为有理化因子可计算 ，然后将求值式子化为 的形式。32与 ab， ab与 解： ab3233214，aba32214314321458()将 与 的 值 代 入 ，得 ： 小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。例 9：在实数范围内因式分解： 来源:学*科*网 Z*X*X*K1、2 x24；【提示】先提取 2，再用平方差公式 【答案】 2（ x 2） （
10、 x ）2、 x42 x23 【提示】先将 x2看成整体，利用 x2 px q（ x a） （ x b）其中a b p， ab q 分解再用平方差公式分解 x23 【答案】 （ x21） （ x 3） （ x ） 例 10、综合应用：如图所示的 RtABC 中，B=90 ，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/ 秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BACQP7一、选择题：在以下所给出的四个选择支中，只有一个是正确的。1、 成立的
11、条件是：a12A B C Daa1a12、把 化成最简二次根式，结果为：7A B C D32969393、下列根式中，最简二次根式为：A B C D4xx24x()x424、已知 t3 Bb3 Cb3 Db33若 有意义，则 m 能取的最小整数值是（ ）1Am=0 Bm=1 Cm=2 Dm=34若 x0，则 的结果是（ ）x2A0 B2 C 0 或2 D25下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）A B C D148ba4a6如果 ，那么（ ）)6(xxAx0 Bx6 C0x6 Dx 为一切实数7小明的作业本上有以下四题： ； ；241aa25109 ； 。做错的题是（ ）aa12 a23A
12、B C D8化简 的结果为（ ）A B C D65301303019若最简二次根式 的被开方数相同，则 a 的值为（ ）a241与A B Ca=1 Da= 143a10化简 得（ ）A 2 B C2 D )(282411 ； 。)3.0( )5(12二次根式 有意义的条件是 。1x13若 m0，则 = 。32|m14 成立的条件是 。1115比较大小： 。16 ， 。yx822717计算 = 。393aa18 的关系是 。21与19若 ，则 的值为 。35x56x20化简 的结果是 。1084121求使下列各式有意义的字母的取值范围：（1） （2） （3） （4）43xa8342mx122化简
13、：（1） （2） （3） （4）)169()4(5315102nm2181023计算：（1） （2） （3）214372541)459(2（4） （5） （6）126387 248542324若 x，y 是实数，且 ，求 的值。21xxy|y二次根式（一）1C 2D 3B 4D 5A 6B 7D 8C 9C 10A110.3 12x0 且 x9 13m 14x1 15216 18 17 18相等 191 20xya 316521 （1） （2） （3）全体实数 （4）3410x22解：（1）原式= ；（2）原式= ；156316969 513（3）原式= ；（4）原式= 。532152 nm223解：（1）原式=49 ；（2）原式= ；421（3）原式= ；345731)57(（4）原式= ；249126811（5）原式= ；（6）原式= 。25842534 2653624解：x10, 1x0,x=1，y . = .1|y1
