1、1数列知识点及常用解题方法归纳总结一、 等差数列的定义与性质定 义 ： 为 常 数 ，adandn n1 1()等 差 中 项 ： ， ， 成 等 差 数 列xAyAxy2前 项 和nSanadn112性 质 ： 是 等 差 数 列n（ ） 若 ， 则 ；1mpqaamnpq（ ） 数 列 ， ， 仍 为 等 差 数 列 ；2212akbnnSSn， ， 仍 为 等 差 数 列 ；3（ ） 若 三 个 数 成 等 差 数 列 ， 可 设 为 ， ， ；3ad（ ） 若 ， 是 等 差 数 列 ， 为 前 项 和 ， 则 ；4 21abTnabSTnn m（ ） 为 等 差 数 列 （ ， 为
2、常 数 ， 是 关 于 的 常 数 项 为52Sabnnn0 的二次函数）S an n n的 最 值 可 求 二 次 函 数 的 最 值 ； 或 者 求 出 中 的 正 、 负 分 界2项，即：当 ， ， 解 不 等 式 组 可 得 达 到 最 大 值 时 的 值 。adaSnn1 100当 ， ， 由 可 得 达 到 最 小 值 时 的 值 。ann110如 ： 等 差 数 列 ， ， ， ， 则SaSnnnn83112（ 由 ， an1213又 ， Sa33222 Sanann1213128n27）二、等比数列的定义与性质定 义 ： （ 为 常 数 ， ） ，aqqaqn n 1 10等
3、比 中 项 ： 、 、 成 等 比 数 列 ， 或xGyGxyxy2前 项 和 ： （ 要 注 意 ）nSnaqn1()!性 质 ： 是 等 比 数 列an（ ） 若 ， 则 1mpqaamnpq（ ） ， ， 仍 为 等 比 数 列2232SSnn三、求数列通项公式的常用方法 1、公式法2、 ；naS求由 （ 时 ， ， 时 ， ）aSnaSnn121 13、求差（商）法如 ： 满 足n n2512解： aa514时 ， ， n 2212时 ， ， ，得 ： na an1 ann14()练习数 列 满 足 ， ， 求aSnnnn11534（ 注 意 到 代 入 得 ： Snnn1 1又 ，
4、是 等 比 数 列 ，Snn144naS2311时 ， 34、叠乘法例 如 ： 数 列 中 ， ， ， 求aanan n113解： n n2131 12， 又 ， an5、等差型递推公式由 ， ， 求 ， 用 迭 加 法faan n110()fann22331时 ， 两 边 相 加 ， 得 ：()ffn12()() afn03()练习数 列 ， ， ， 求aannnn112（ ）a236、等比型递推公式cdcdn1 010、 为 常 数 ， ， ，可 转 化 为 等 比 数 列 ， 设 axnnacn1令 ， ()xdc1 是 首 项 为 ， 为 公 比 的 等 比 数 列acadcn1 dc
5、n n11 adnn114练习数 列 满 足 ， ， 求aaannn11934（ ）n847、倒数法，例 如 ： ， ， 求aannn112由 已 知 得 ： 121aannn， 21an21an为 等 差 数 列 ， ， 公 差 为，1n an2三、 求数列前 n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前 n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。如 ： 是 公 差 为 的 等 差 数 列 ， 求adan kn1解： 由 1101aadkkk 11dknkn 11231aaadnn练习求 和 ： 23123n（ ， ）aSnn3、错位相减法：若 为 等
6、差 数 列 ， 为 等 比 数 列 ， 求 数 列 （ 差 比 数 列 ） 前 项babnnn n和 ， 可 由 求 ， 其 中 为 的 公 比 。Sqqnn5如 ： Sxnxn123413nx24121： Sn nxxn12时 ，Snn312时 ， 4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。aaSnnn1212相 加111annn练习已 知 ， 则fxffff()()()()22341（ 由 fxxx()1112222 原 式 ffff()()()1234）例 1 设a n是等差数列，若 a2=3，a =13，则数列 an前 8 项的和为（ ）7A128 B80 C64
7、D56 （福建卷第 3 题）略解： a 2 +a = a +a =16， a n前 8 项的和为 64，故应选 C718例 2 已知等比数列 满足 ，则 （ ）n12236， 7aA64 B81 C128 D243 （全国卷第 7 题）答案：A例 3 已知等差数列 中， ， ，若 ，则数列 的前 5 项和na2651a2nbnb等于（ ）6A30 B45 C90 D186 （北京卷第 7 题）略解：a -a =3d=9， d=3，b = ，b =a =30， 的前 5 项和等于 90，52126a510nb故答案是 C例 4 记等差数列的前 项和为 ，若 ，则该数列的公差 （ ）nnS24,S
8、dA2 B3 C6 D7 （广东卷第 4 题）略解： ,故选 B.4213Sd例 5 在数列 中， ， ， ,其中 为na542n22naab *nNab常数，则 （安徽卷第 15 题）b答案：1例 6 在数列 中， ， ，则 （ ）n111l()nnnA B 2l2()C D （江西卷第 5 题）l答案：A例 7 设数列 中， ，则通项 _ （四川卷第na11,nana16 题）此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住 中1n系数相同是找到方法的突破口1,na略解： ， ，112,na1na121na， ， ， ， 将以上各式23n 322相加，得 ，11nann 1122n故应填
9、 +1()2例 8 若( x+ )n的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中 x4项的系数为( )A6 B7 C8 D9 (重庆卷第 10 题)答案：B使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例 4 以前的例题例 5 考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例 6、例 7 考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例 8 则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用重庆卷第 1 题，7浙江卷第 4 题，陕西卷第 4 题，天
10、津卷第 4 题，上海卷第 14 题，全国卷第 19 题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习例 9 已知a n是正数组成的数列，a 1=1，且点（ ） （n N*）在函数 y=x2+11,a的图象上. ( )求数列a n的通项公式； () 若数列b n满足 b1=1，b n+1=bn+ ，求证：abnbn+2b 2n+1. （福建卷第 20 题）略解：（）由已知，得 an+1-an=1，又 a1=1,所以数列a n是以 1 为首项，公差为 1的等差数列故 an=1+(n-1)1=n.()由（）知，a n=n， 从而 bn+1-bn=2n，b n=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+
11、（b 2-b1）+b 1=2n-1+2n-2+2+1=2n-1. b nbn+2-b =(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2= -2n0, b nbn+2b 21 2对于第（）小题，我们也可以作如下的证明： b2=1,bnbn+2- b =(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b =2n+1bn+1-2nbn+1-2n2n+12 n（b n+1-21212n+1）=2 n（b n+2n -2n+1）=2 n（b n-2n）=2 n（b 1-2）=-2 n0 ， ana n1 =5 (n2) 当 a1=3 时，a 3=13，a 15=73 a1， a3，a 15 不成等比数列a
12、 13;当 a1=2 时，a 3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3附加题 解: 引入字母,转化为递归数列模型.设第 n 次去健身房的人数为 an，去娱乐室的人数为 bn，则 .150n.373107)5(10291029 n aaba 即，于是)(7n (nn21即 .)10()710aann.故随着时间的推移，去健身房的人数稳定在 100 人左右.lim4.解：（）由 可得 ，两式相减得12nS 12nS1,3naa又 2121a故 是首项为 ，公比为 得等比数列n 13a（）设 的公差为nbd由 得，可得 ，可得 25b315T123b故可设 3,又 12,9a由题意可得 25153d解得 12,0等差数列 的各项为正， nb0d d 213nTn
