1、什么是模态分析？你能为我解释模态分析吗？好，需要花费一点时间，但是这是任何人都能明白的事情你不是第一个要求我用通俗易懂的语言解释模态分析的人，这样一来，任何人都能明白模态分析到底是怎样一个过程。简单地说，模态分析是根据用结构的固有特征，包括频率、阻尼和模态振型，这些动力学属性去描述结构的过程。那只是一句总结性的语言，现在让我来解释模态分析到底是怎样的一个过程。不涉及太多的技术方面的知识，我经常用一块平板的振动模式来简单地解释模态分析。这个解释过程对于那些振动和模态分析的新手们通常是有用的。考虑自由支撑的平板，在平板的一角施加一个常力，由静力学可知，一个静态力会引起平板的某种静态变形。但是在这儿
2、我要施加的是一个以正弦方式变化，且频率固定的振荡常力。改变此力的振动频率，但是力的峰值保持不变，仅仅是改变力的振动频率。同时在平板另一个角点安装一个加速度传感器，测量由此激励力引起的平板响应。现在如果我们测量平板的响应，会注意到平板的响应幅值随着激励力的振动频率的变化而变化。随着时间的推进，响应幅值在不同的频率处有增也有减。 这似乎很怪异 ，因为我们对此系统仅施加了一个常力，而响应幅值的变化却依赖于激励力的振动频率。具体体现在，当我们施加的激励力的振动频率越来越接近系统的固有频率（或者共振频率）时，响应幅值会越来越大，在激励力的振动频率等于系统的共振频率时达到最大值。想想看，真令人大为惊奇，因
3、为施加的外力峰值始终相同，而仅仅是改变其振动频率。时域数据提供了非常有用的信息，但是如果用快速傅立叶变换（FFT）将时域数据转换到频域，可以计算出所谓的频响函数（FRF）。这个函数有一些非常有趣的信息值得关注：注意到频响函数的峰值出现在系统的共振频率处，注意到频响函数的这些峰出现在观测到的时域响应信号的幅值达到最大时刻的频率处。如果我们将频响函数叠加在时域波形之上，会发现时域波形幅值达到最大值时的激励力振动频率等于频响函数峰值处的频率。因此可以看出，既可以使用时域信号确定系统的固有频率，也可以使用频响函数确定这些固有频率。显然，频响函数更易于估计系统的固有频率。许多人惊奇结构怎么会有这些固有特
4、征，而更让人惊奇的是在不同的固有频率处，结构呈现的变形模式也不同，且这些变形模式依赖于激励力的频率。现在让我们了解结构在每一个固有频率处的变形模式。在平板上均匀分布 45 个加速度计，用于测量平板在不同激励频率下的响应幅值。如果激励力在结构的每一个固有频率处驻留，会发现结构本身存在特定的变形模式。这个特征表明激励频率与系统的某一阶固有频率相等时，会导致结构产生相应的变形模式。我们注意到当激励频率在第一阶固有频率处驻留时，平板发生了第 1 阶弯曲变形，在图中用蓝色表示。在第 2 阶固有频率处驻留时，平板发生了第 1 阶扭转变形，在图中用红色表示。分别在结构的第 3 和第 4 阶固有频率处驻留时，
5、平板发生了第 2 阶弯曲变形，在图中用绿色表示，和第 2 阶扭转变形，在图中用红紫红色表示。这些变形模式称为结构的模态振型。（从纯数学角度讲，这种叫法实际上不完全正确，但在这儿作为简单的讨论，从实际应用角度讲，这些变形模式非常接近模态振型。）我们设计的所有结构都具有各自的固有频率和模态振型。本质上，这些特性取决于确定结构固有频率和模态振型的结构质量和刚度分布。作为一名设计工程师，需要识别这些频率，并且当有外力激励结构时，应知道它们怎样影响结构的响应。理解模态振型和结构怎样振动有助于设计工程师设计更优的结构。模态分析有太多的需要讲解的地方，但这个例子仅仅是一个非常简单的解释。现在我们能更好地理解
6、模态分析主要是研究结构的固有特性。理解固有频率和模态振型（依赖结构的质量和刚度分布）有助于设计噪声和振动应用方面的结构系统。我们使用模态分析有助于设计所有类型的结构，包括机车、航天器，宇宙飞船、计算机、网球拍、高尔夫球杆这些清单举不胜举。我希望这次简明的介绍有助于解释什么是模态分析。我用上面的例子向我母亲解释模态分析，她第一次真正明白了我到底在做什么。从此以后，她一直用一系列非常像 模态 分析 的词语向她的朋友讲解模态分析，而她称这种分析为 傻瓜式的分析 当然，这又是另一个故事了。还有为什么一阶弯曲二阶扭转三阶弯曲四阶扭转这样重复下去呢？对于类似平板的这种简单结构，一阶弯曲和扭转是会重复下去，
7、但对于复杂结构，振型就难说了。另外，比方像简支梁，第几阶振型就对应着几个半正弦。我在一些文章里看到应变模态振型 和曲率模态振型 那又是什么意思啊通常，我们所说的是振动模态，是指由位移、速度或加速度传感器测量得到的响应，通过模态分析软件识别出来的模态。而应变模态，则是测量应变片的输出，然后再通过相应的应变模态软件识别得到。曲率模态，我只听说过，听别人说是由位移模态和应变模态共同得到，不过待考证。在模态分析时候，什么时候用刚体模态，什么时候用有约束时候的模态？通常，自由边界条件下才会得到刚体模态，并且刚体模态的频率很小，在有限元分析中可能为 0，或者非常接近 0，并且对单个刚体而言，存在六个刚体
8、模态（三个平动，三个转动） ，刚体模态之后才是弹性模态。而在非自由边界条件下，得到的都是弹性模态，而我们通常所说的模态，除非有特别的说明，一般指的是弹性模态。楼主问什么时候用刚体模态，什么时候用约束模态，就得看你的实际工况了，通常，尽量应该使用结构的边界条件接近实际工况条件下的边界条件，那么这时得到的肯定是弹性模态。但是很多实际情况下，可能实际工况条件下，很难进行测量，那么就可能需要测量自由边界条件下的模态了，比方说汽车零部件的模态，可能多半都是处于自由边界条件下的，这时就会得到刚体模态和弹性模态。用得多的还是弹性模态，较少用到刚度模态，但是得到刚体模态，对于参数较全，还是有些用处的。比方说在
9、考虑刚度条件改变时，就可能需要用到刚体模态了。特别是这种情况下：得到自由边界条件下的第一阶弹性模态，然后对结构施加实际的边界条件，又得到了这种边界条件下的第一阶弹性模态，比较这两阶模态频率，可能是自由边界条件下的第一阶弹性模态频率高于实际边界条件下的第一阶弹性模态，这时，就有人不禁要问了，实际条件下，结构的刚度要大于自由状态下的刚体，但为什么在刚度增加之后，结构的频率反而变低了呢？其实，这时是在没有考虑刚体模态的情况下，得出的结论，要是考虑刚体了模态，就不会这样问了，因为在刚体增大以后，结构的频率肯定是升高的。导致实际边界条件下的第一阶弹性模态低于自由边界条件下第一阶弹性模态频率的真正原因是，
10、实际边界条件下结构不存在刚体模态，在施加约束之后，结构的刚度增大了，此时，自由边界条件下的刚体模态频率升高了，变为了结构实际边界条件下的弹性模态了，但此时可能低于自由边界条件下第一阶弹性模态，这样，表面看来，反而是结构在刚度增大的情况下，看起来频率反而降低了。前言人们经常会问一些简单的有关模态分析和结构如何振动方面的问题。多数时候，为了充分解释这些概念，需要涉及一些基础知识，不可能只是简单地加以描述。然而，很多时候虽然要涉及的理论有一点点多，但是即使没有严格的数学描述，也可以说明一些概念。本文试图去解释结构振动的相关概念和一些处理结构动力学问题相关工具的使用。本文的最终目的是从非数学角度出发，
11、简洁地说明结构是怎样振动的。言归正传，让我们开始第一个人们通常会问的问题。可以为我解释一下模态分析吗？频响函数到底是什么？频响函数仅仅是结构的输出响应和激励力之比。我们同时测量激励力和由该激励力引起的结构响应（这个响应可能是位移、速度或加速度）。将测量的时域数据通过快速傅立叶变换从时域变换到频域，经过变换，频响函数最终呈现为复数形式，包括实部和虚部，或者是幅值和相位。让我们考察一些函数的特征，并且试图确定怎样从这些函数中提取模态数据。首先，我们考察一根只有 3 个测量位置的悬臂梁，如图 6 所示。可见此梁有 3 个测量位置和 3 阶模态，有 3 个可能的力作用位置，也有 3 个可能的响应位置，
12、这意味着总共可能获得 9 个复数值的频响函数。不同位置的频响函数通常用不同的下标加以描述，下标表明了输入和输出位置 h 输出,输入，形如 （或者就矩阵典型表示而言，可表示为h 行,列）。图 6 给出了频响函数矩阵的幅值与相位和实部与虚部。（当然，我们知道复数由实部和虚部组成，并且可以很容易地转换成幅值和相位。既然频响函数是复数，那么我们就可以考察频响函数的任一个组成部分。）现在我们考察频响函数的每个组成部分，并且对得到的个别测点的 FRF 特性加以总结。首先我们在梁的端部位置 3 处用力锤激励，同时在该位置测量梁的响应，如图 7 所示。此次测量的 FRF 称为 h33，这个特殊的 FRF 称为
13、驱动点 FRF（或原点 FRF）。驱动点 FRF 具有一些重要的特征：共振点（峰）和反共振点（峰）交替出现；每经过一个共振点（峰）时相位滞后 180 度，每经过一个反共振点（峰）时相位超前180 度；频响函数的虚部峰值位于频率轴的同一侧。接着力锤移动到 2 点进行激励，测量 3 点的响应，然后移动力锤到 1 点，仍然测量 3点的响应，得到另外两个频响函数，结果如图 7 所示（当然也可以继续采集任意一点或者所有的输入-输出组合）。因此，现在我们对可能能够获得的频响函数有了一定的了解。其中值得注意的一项就是频响函数矩阵是对称的，这是因为描述系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵是对称的。故我们可以看出
14、 hij=hji，这也就是所谓的互易性。因此，我们实际上不需要测量所有的频响函数。似乎总会出现这样一个问题：是否有必要测量所有可能的输入-输出组合，为何从频响函数矩阵的一行或一列就能得到模态振型。为何只需获得频响函数矩阵的一行或一列？理解从可能得到频响函数矩阵的不同元素中得到模态振型对我们来说是非常重要的。在这不涉及数学层面的知识，让我们来讨论这个问题。首先考虑频响函数矩阵的第三行，并且只关注第 1 阶模态，留意频响函数虚部的峰值振幅，很容易就能得出结构的第 1 阶模态振型，如图 8a 所示。因此，从测量数据中提取模态振型似乎相当直观。一种快速但又粗略的方法就是在不同的测点处仅仅测量频响函数虚
15、部的峰值振幅。接着考虑频响函数矩阵的第二行，并且只考察第 1 阶模态，如图 8b 所示。留意频响函数虚部的峰值振幅，从这一行也易于得到第 1 阶模态振型。我们同样可以从频响函数矩阵的第一行得到这一阶模态振型。这是理论所表达的一种简单示意性描述。我们可以使用频响函数任一行得到系统的模态振型。故很显然，这些测量包含有与系统模态振型相关的信息。现在再考虑频响函数矩的阵第三行，并且只考察第 2 阶模态，如图 8c 所示。还是留意频响函数的虚部的峰值振幅，很容易得到第 2 阶模态振型。而观察频响函数矩阵的第二行，并且只考察第 2 阶模态。此时会有点奇怪，因为这一行没有第 2 阶模态可用的幅值，如图 8d
16、 所示。这是我不希望发生的，但是如果我们考察第2 阶模态振型，那么很快就会发现位置 2 是第 2 阶模态的节点。此时参考点位于模态节点上。这就指明了模态分析和实验测量中一个非常重要的方面：参考点不能位于某阶模态的节点上，否则该阶模态在频响函数中将不可见，并且得不到该阶模态。在这我们仅用了 3 个测点去描述该悬臂梁的模态。如果我们增加更多的输入-输出测点，就能得到更光顺的模态振型，如图 9 所示。图 9 显示了 15 个频响函数，其中前面讨论的 3个测点的频响函数高亮突出显示。显示的 15 个频响函数用瀑布图式样绘出。利用这种方式绘图，通过频响函数的虚部峰值连线能更容易确定模态振型。目前为止，我
17、们所讨论的测量是从锤击法测试中得到的，如果我们使用激振器测试，那么测量的频响函数会是什么样的呢？锤击法测试和激振器测试有什么不同之处？从理论角度看，频响函数是由激振器测试得到还是由锤击法测试得到，并没有什么区别。图 10a 和 10b 给出了由锤击法测试和激振器测试得到的频响函数。 锤击法测试通常测量频响函数矩阵中的一行，而激振器测试通常测量频响函数矩阵中的一列 。因为描述系统的频响函数矩阵是对称的方阵，故互易性是成立的。例如，对于上面已讨论的情况，频响函数矩阵的第三行和第三列是完全相同的。理论上讲，激振器测试和锤击法测试两者没有差异，但那仅仅是理论观点。假如我可以对结构施加一个纯外力，外力与
18、结构二者之间没有任何相互作用，并且用一个无质量的传感器测量响应，要求该传感器对结构没有任何影响，那么上面所讲的是正确的。但是事实并非如此，结果又将怎样呢？现在我们从现实角度出发，考虑实际测试中存在的不同之处。模态测试过程中，关键在于激振器和响应传感器通常对结构确实有影响。需要注意最主要的一点是被测结构已不是你想得到模态参数的那个结构。因为在结构上已附加了与数据采集过程有关的东西：结构支承条件、安装的传感器的质量、激振器推力杆的刚度影响等等。因此虽然理论告诉我们，锤击法测试和激振器测试不存在任何差异，但现实中却因数据采集方面导致二者存在差异。激振器测试过程中，最明显的差异是由移动加速度计引起的。
19、加速度计的质量相对于结构的总质量可能非常小，但是它的质量相对于结构不同部分的有效质量可能又非常大。特别是多通道测试系统，这个问题更加突出，为了获得所有频响函数，有多个加速度计在结构上移动。特别是轻质结构，这个问题尤为突出。纠正此问题的方法之一是在结构上安装所有的加速度计，即使一次只用到少数几个加速度计。另一个方法是在非测量位置上安装与加速度计质量相等的质量哑元，这将能消除移动加速度计带来的影响。另一个差异在于激振器推力杆带来的影响。本质上，结构的模态受激振器附属装置的质量和刚度的影响。虽然我们试图将这部分影响减少到最低程度，但是它们仍然是存在的。激振器推力杆的作用是分离激振器对结构的影响，然而
20、，多数结构，激振器附属装置的影响仍然很大。因为锤击法测试不存在这些问题，所以得到的结果不同于激振器测试得到的结果。所以虽然理论上讲激振器测试和锤击法测试二者不存在差异，但一些非常基本的现实情况却会引起一些差异。为了计算频响函数，实际需要测量什么？实验模态分析中最重要的是测量频响函数。简单地说，频响函数是输出响应与激励力之比。通常使用专门的仪器，如快速傅立叶分析仪或者带有快速傅立叶变换功能软件的数据采集系统，获得频响函数。现在让我们简要地讨论为获得频响函数所进行数据采集的一些基本步骤。首先，从传感器得到的信号为模拟信号，这些模拟信号必须进行滤波处理，以确保在分析频率范围内没有混叠高频信号。通常的
21、做法是在分析仪前端使用一组模拟滤波器，称为抗混叠滤波器，它们的功能是消除信号中可能存在的高频成分。下一步是将实际的模拟信号数字化成数字信号的形式。这一步模数转换器（ADC）实现。典型的数字化过程使用 10 位、12 位或 16 位的 AD 转换器（现在普遍用 24 位的 ADC，译者注），可用的 AD 位数越高，数字化信号的分辨率就越高。主要关心的问题是数字化近似过程中存在的采样误差和量化误差。采样速率控制着信号的时间分辨率和频率分辨率，量化与采集到的信号的幅值精度相关。在采集数据过程中，采样和量化都可能引起一些误差，但是这些误差没有信号处理过种中最糟糕的误差泄漏，所造成的误差严重。泄漏出现在
22、将时域信号通过快速傅立叶变换（FFT）转换成频域的过程中。傅立叶变换要求捕捉到的信号为全部时间段（时间从-到+）的完整信号，或一段周期信号。当此条件满足时，傅立叶变换将获得信号正确的频域表示形式。当此条件不满足时，泄漏将使信号的频域表示形式严重畸变。为了将泄漏引起的畸变减少到最小程度，可使用称为窗的加权函数，人为地使时域信号似乎更满足快速傅立叶变换的周期性要求。虽然窗函数能很大程度上减少泄漏造成的影响，但是并不能彻底消除泄漏。一旦采样到时域数据，经过快速傅立叶变换计算后将得到输入激励和输出响应的线性频谱。通常，对线性频谱进行平均处理得到功率谱。需要计算的平均谱主要是输入功率谱和输出功率谱，以及
23、输出和输入信号的互谱。对这些函数进行平均，习惯用来计算模态数据采集中两个重要函数：频响函数（FRF）和相干函数。相干函数作为数据质量评判工具，确定数据中有多少输出信号是由输入信号所引起的。频响函数包含的信息与系统频率和阻尼有关，一组频响函数包含的信息与每个测点处的系统模态振型值相关。这是实验模态分析中最重要的测量，前面所讲的这些步骤的总结，如图 11 所示。当然，数据采集包括许多重要的方面，如平均技术用于减少噪声等，在这都不作介绍，任何一本好的数字信号处理参考书都提供这些方面的帮忙。接下来需要讨论输入激励。基本上，实验模态分析有两类常用的激励方式：锤击激励和激振器激励。现在让我们考虑当进行锤击
24、法测试时需要考虑的注意事项。锤击法测试时，最需要考虑什么？进行锤击法测试时，有很多重要方面需要考虑。在这儿仅提及其中最关键的两项，其他有关锤击法测试所有方面的详细介绍远远超出了本节的范畴。首先，锤头的选择对测量有重大影响。锤头的硬度主要控制着输入激励的频率范围，锤头越硬，输入激励所激起的频率范围越宽。选择的锤头要确保在关心的频率范围内能激起所有感兴趣的模态。为了获得高质量的测量和充分激起所有模态，如果选择的锤头太软，就不能充分激起所有这些模态，如图 12a 所示。图中输入激励没能激起关心频率范围内的所有模态，从图中输入功率谱的衰减可以明显看出这一点。在频率范围的后半段，相干和频响函数的质量都明
25、显降低了。通常，我们力图得到一个相当好并且相对平坦的输入激励频谱，如图 12b 所示，改善的相干函数表明测量的频响函数质量更高。当进行锤击试验时，必须不断试锤，以选择合适的锤头，这样才能激起所有感兴趣的模态，得到高质量的频响函数。锤击试验第二个重要的方面与响应信号窗函数的使用有关。通常对于小阻尼结构，锤击引起的结构响应在采样时段的末端不会完全衰减到零。这种情况下，变换后的数据将遭受到严重的泄漏影响。为了将泄漏减少到最小程度，需要对测量数据施加称为窗的加权函数。窗函数强制数据更好地满足傅立叶变换的周期性要求，可将由泄漏带来的畸变影响降到最低。对于锤击激励，响应信号最常用的窗函数是指数衰减窗。窗函
26、数的使用将使得泄漏减少到最小程度，如图 13 所示。窗函数减少泄漏的同时，会导致数据本身一些畸变，因此，应尽量避免使用窗函数。对于锤击法测试，两个总要仔细考虑的方面是：选择较窄的测量带宽和提高谱线的条数。这两个信号处理参数都会增加测量采样时间。这两个方面能减少指数窗的使用需求，并且每次测试时都应该考虑它们，以减少泄漏所带来的影响。现在我们考虑进行激振器测试时，需要考虑的注意事项。激振器测试时，最需要考虑什么？激振器测试时，同样有许多方面需要考虑。但是在这些因素中，最重要的是激励信号的激励效果，要求将窗函数的使用降到最低或者完全不需要窗函数。激振器测试时，还有许多其他重要方面需要考虑，但是这些方
27、面的详细介绍已远超出了本节的讨论范畴。直到今天，由于易于实现，随机激励仍是普遍使用的激励技术。然而，由于激励信号的本身特性，泄漏仍是考虑的关键因素，因此常用汉宁窗减少泄漏。即使加窗以后，泄漏的影响仍然严重，使得测量的频响函数仍然严重畸变。一个典型的加汉宁窗的随机激励信号，如图 14 所示。从图中可以看出，汉宁窗使得采样信号似乎更好的满足 FFT 变换的周期性要求，因而能减少由泄漏带来的信号畸变。虽然加窗能改善因泄漏引起的 FRF 的畸变，但是窗函数绝不能完全消除这些影响，这些 FRF 总是会存在一些因泄漏引起的畸变。在今天仍被广泛使用的两个最为普遍的激励信号是猝发随机和正弦扫频。两种激励方式都
28、有一个独特的特点：不需要给信号加窗函数，因为几乎所有测试情况中，这两个信号本身都不存在泄漏。这两种激励技术使用起来相对简单，在目前多数可用的信号分析仪中这两种激励方式非常常见。这两种信号如图 15 和图 16 所示。猝发随机，由于瞬态激励信号和响应信号在采样周期内能完全捕捉到，因而满足 FFT变换的周期性要求。对于正弦扫频激励，激励信号在采样时间内重复出现，也满足 FFT 变换的周期性要求。尽管还存在其他一些激励方式，但是这两种激励方式是目前模态测试中最常用的激励方式。到现在为止，我们对怎样进行测试已有了更深的认识。请告诉我有关于窗函数的更多方面，他们似乎相当重要！在许多测试情况下，使用窗函数
29、是不得已的事情。虽然我根本不愿意使用任何窗函数，但泄漏确实让人难以接受，因而，不得不选择加窗。正如前面讨论的一样，有多种激励方式提供无泄漏的测量，因而不需要使用任何窗函数。然而，很多时候，特别是现场实验和采集工作数据时，窗函数又是必须的。那么，最常用的窗函数有哪些呢。简而言之，当今最常用的窗函数是矩形窗、汉宁窗，平顶窗和力窗/指数窗。这些窗不作详细介绍，仅简单地说明在实验模态测试过程中，每种窗函数在何时应用。矩形窗（也叫均衡窗、货车车厢窗和不加窗）是单位增益的加权函数，施加于一次数据采集中所有的数字信号。当采集的全部信号是一次记录完成的或者保证信号满足 FFT 处理的周期性要求时，一般加矩形窗
30、。矩形窗可用于锤击法测试，但要求输入信号和响应信号在一个采样纪录内能完全观测到。矩形窗也用于激振器测试，此时要求激励信号为猝发随机、正弦扫频、伪随机和数字步进正弦，这些信号通常都满足 FFT 变换的周期性要求。汉宁窗是个余弦状（钟状）的加权函数，强制采样时段的起始端和末端严重加权至零。这对那些不满足 FFT 变换周期性要求的信号非常有用。随机激励和一般的现场实验信号通常都属于这类，因而要求加窗，加汉宁窗。平顶窗对不满足 FFT 处理周期性要求的正弦信号最为适用。实验模态分析中，相对其他窗而言，这个窗函数经常用于校准作用。锤击激励获得频响函数时，通常应用力窗和指数窗。总的来说，力窗是单位增益的窗
31、函数，作用于脉冲激励发生的那个时段。指数窗通常用于在采样时间内信号没有衰减到零的响应信号。指数窗的应用强制响应信号更好地满足 FFT 变换的周期性要求。每个窗函数对数据的频域表示形式都有影响。一般而言，窗函数将降低频响函数幅值的精度，并且使得最终得到的阻尼似乎比实际测试中真实存在的阻尼要更大。尽管这些误差完全是不想要的，但相比泄漏造成的严重畸变而言，它们还是更能让人接受。从平板的频响函数怎样得到模态振型？到现在为止，我们已经讨论了获得频响函数的各个方面，让我们再返回到先前讨论的平板结构中来，并对其进行一些测试。考虑在平板上布置 6 个测点，因而在平板上有 6 个可能的激励位置和 6 个可能的响
32、应测量位置。这意味着总共能得到 36 个可能的输入输出频响函数。频响函数描述在外力作用下，结构是怎样响应的。如果我们将力作用在 1 点，在6 点测量响应，那么 1 点和 6 点的传递关系描述了系统的响应行为，如图 17 所示。通过峰点拾取法得到前两阶振型，如图 18 和 19 所示。尽管对非常简单的结构，如上所述的提取方法已经足够，但我们常常使用数学算法估计模态参数。用计算机软件完成模态参数估计过程，简化了参数提取过程，这个过程常被称为曲线拟合。从频响函数中提取基本的模态参数为频率、阻尼和模态振型，这些称为结构的动力学特征。测得的频响函数通常分解成多个单自由度系统，如图 20 所示。曲线拟合采
33、用多种不同的方法提取参数。某些技术利用时域数据，而另一些技术利用频域数据。最常用的方法是使用多模态解析模型，但是有时，在许多工程分析中，非常简单的单模态方法也能得到相当好的结果，如图 21 所示。从根本上讲，所有的估计算法都试图将测试数据分解成组成测试数据的主要成分，也就是频率、阻尼和模态振型。拟合过程中，分析者必须为参数提取指定频率带宽，数据中包含的模态阶数和残余补偿项，如图 22 所示。关于从测量数据中估计模态参数、可用的解释数据工具以及提取模型的验证等，都需要作详细地介绍，但这些已远超出了本节的范畴。所有结构对所施加的外力都有响应。但是很多时候这些力是未知的，或者很难测量。我们即使不测量
34、力，但仍然可以测量结构的响应。因此，下一个常见问题就是关于工作数据的。什么是工作数据？我们首先需要认识到系统对施加在系统上的力有响应（不管此力能否测量到）。出于解释目的，我们暂且假设力是已知的。虽然外力实际上是施加在时域上，但从频域上描述力和响应具有一些重要的数学优势。对于一个受到任意输入激励的结构，响应可通过频响函数乘以激励力函数计算得到，这很简单，如图 23 所示。图中给出的的激励是能激起结构所有频率的随机激励。最需要注意的是频响函数对引起响应的输入激励扮演了滤波器的角色。给出的激励能激起所有模态，因此，通常响应是那些由输入力激起的所有模态的线性叠加。如果激励不包含所有的频率，仅能激起某一
35、特定频率（评估大多数工作状态情况时，这通常是我们所关心的）时，将出现什么情况。为了说明这一点，继续使用前面讨论过的平板例子。假设系统存在某种工作条件，考虑一种固定频率的工作不平衡方式作为激励。使用以前测量的同一组加速度传感器测量系统响应看来是合理的。采集数据后，可以看到如图 24 所示的系统的变形模式。观察这些变形，不清楚结构为什么这样响应，什么改变了结构的响应。为什么平板变形如此复杂？这似乎不像我们以前测量得到的任何模态振型。为了理解这一点，让我们仍然以那块平板为例，在其一角施加一个正弦激励。此次实验我们仅考虑平板的响应，假设该激励只激起了平板前两阶模态（当然平板有很多阶模态，我们只是这样简
36、单假设）。现在我们知道决定响应的关键因素是输入输出位置的频响函数。同样，我们需要记住的是当我们采集工作数据时，没有测量系统的输入力，没有测量系统的频响函数，仅仅测量系统的响应。首先，我们用一个频率刚好等于平板第一阶固有频率的正弦信号激励该系统，系统的某一条频响函数曲线如图 25 所示。即使我们仅仅是在那个频率处激励该系统，我们知道频响函数扮演了滤波器的角色，将决定结构如何响应。可以看出频响函数由 1 阶模态和 2 阶模态两者共同组成，也可以看出响应的主要部分，不管是在时域还是频域，都是第 1 阶模态占主导地位。假如我们只在那个频率处测量结构多个测点的响应，那么得到的系统工作状态下的变形形式看起
37、来非常像 1 阶模态振型，但是里面含有少许 2 阶模态的贡献。记住，对于工作数据，我们从不测量输入力或者频响函数，仅仅测量输出响应。所以测量得出的变形是输入激励引起的结构 实际响应 ，且不管是何种输入激励。当我们测量频响函数和估计模态参数时，实际上是确定单独 1 阶模态对总的频响函数的贡献，如图中蓝线所示；确定单独 2 阶模态对总的频响函数的贡献，如图中红线所示；以及系统所有其他阶模态对总的 FRF 的贡献。而对于工作数据，我们只是在某一特定频率处，考虑结构的响应，它是对系统总响应有贡献的所有模态的线性组合。因此我们现在明白了，如果激励主要激起了 1 阶模态，工作变形模式将看起来与第 1 阶模
38、态振型非常相像。现在我们刚好在系统的第 2 阶固有频率处激励系统，图 26 给出了与刚才前面讨论的 1阶模态相同的信息，但是这会我们主要是激励系统的第 2 阶模态。同样，我们必须认识到系统响应看起来像 2 阶模态，但是这儿也有少许 1 阶模态的贡献。当激励远离某一个共振频率时，会发生怎样的情况？让我们在 1 阶，2 阶之间的某个频率处激励系统，这时可以看出模态数据与工作数据二者之间真正的差异。图 27 给出了结构的变形形式。乍一看，变形似乎不像我们以前认识的任何变形，但是如果我们长时间观察，就会发现变形中有少量 1 阶弯曲和少量 1 阶扭转。因此工作数据主要是 1 阶和 2 阶模态振型的一些组
39、合（一点也不假，实际上还有其他阶模态，但主要是 1 阶和 2 阶模态参与系统响应）。通过模态基础理解频响函数对某一阶模态的贡献，我们已经讨论了工作数据的各个方面。当我们实际采集工作数据时，我们不测量频响函数，而是测量输出频谱。如果观察输出频谱，我们不明白为何工作数据看起来像模态振型。图 28 展示了平板结构在某一位置测量得到的响应频谱。当时施加在结构上的激励具有较宽的频率带宽，并且激起了多阶模态，但是通过理解每一阶模态对工作数据的贡献，易于明白有多少阶模态对系统总响应有贡献。因此，实际上工作变形与模态振型之间有很大的不同： 我们现在明白了模态振型按某种线性方式叠加在一起形成了工作变形形式 。但
40、是通常我们感兴趣的是系统总体变形或者总响应。为什么还要花时间精力去采集模态数据？模态数据采集和参数提取过程似乎花费的时间精力更多。模态数据有何作用？模态数据是非常有用的信息，这些信息可辅助设计几乎任何结构，在设计过程中理解和可视化模态振型是非常宝贵的。它帮忙设计人员确定结构的薄弱区域或者需要改进的地方。模态模型的建立对于仿真和设计研究工作非常有用，这些方面的研究之一就是结构动力学修改（SDM）。结构动力学修改是一种数学处理方法，它利用模态数据（频率、阻尼和模态振型）确定由于物理结构的修改所引起的系统动态特性的改变效果。实际上，这些计算可以在无需对实际结构作物理修改的前提下进行，直到达到合理的设
41、计为止，图 29 给出了结构动力学修改的示意图。有关结构的动力修改有太多可细说的地方，但因受篇幅的限制，在这不作过多的描述。除了结构动力修改研究之外，还可以进行其他一些仿真，比如强迫响应仿真预测因外力引起的系统响应。模态测试另一个非常重要的应用是相关性检查和修正解析模型，如有限元模态。还有一些非常重要的方面跟模态模型的使用有关，图 30 为这方面的示意图。最后一个常见问题是最好进行哪个测试？采集模态数据还是工作数据？当然在时间不充裕和预算紧张的情况下，我真有必要同时测量模态数据和工作数据吗？这总是让人难以回答，但如果可能，最好同时测量二者。如果只有其中一个数据可用，那么很多时候，某些工程决策可
42、能是在没有全面认识系统特性的前提下作出的。不管怎样，先让我来指出二者之间的不同之处。为了获得频响函数和模态参数，模态数据要求力是可测的。只有模态数据才能给出系统实质上的根本特性。另外，研究结构动力学修改和强迫响应只能使用模态数据（工作数据不能用于这类研究）。验证与有限元模型的相关性，最好使用模态数据。但是必须清楚表明的是单独使用模态数据不能确定结构是否胜任某些预期的工作或应用，因为模态数据与作用在系统上的外力无关。另一方面，工作数据是工作条件下结构行为的真实描述，这是非常有用的信息。然而，许多时候变形形式让人迷惑不解，未必能为怎样解决或改正工作状态中出现的问题提供明确的指导（并且动力学修改和响
43、应工具不能利用工作数据）。能同时利用工作数据和模态数据解决动力学问题，那是最理想的情况。总结采用简单的示例说明去描述结构振动和某些求解结构动力学问题的实用工具的使用，这些说明都是在没有使用任何详细的数学关系式的前提下完成的。为了更好地理解本章所讨论更多细节，有必要掌握这方面的相关理论背景。1.如何理解模态分析中的“阶”，一个结构有 1 阶，2 阶，3 阶，怎么理解？在理解“ 阶” 之前，要先理解与“ 阶”紧密相连的名词“自由度” 。自由度是指用于确定结构空间运动位置所需要的最小、独立的坐标个数。空间上的质点有三个自由度，分别为三个方向的平动自由度；空间上的刚体有六个自由度，分别为三个平动、三个
44、转动自由度。一个连续体实际上有无穷多个自由度，有限元分析时将连续的无穷多个自由度问题离散成为离散的有限多个自由度的问题，此时，结构的自由度也就有限了。因此，可以这样理解，一个自由度对应一阶，连续体有无穷多阶。像弹簧-质量模型为单自由度系统，故对应的频率只有一阶。两自由度系统有两阶。一个具体的系统，每一阶对应着特定的频率、阻尼和模态振型。延伸问题：“同一个结构为什么各阶频率、阻尼和模态振型又不相同？ ”这是因为虽然结构还是这个结构，但是参考各阶运动的结构上的质量和刚度都不相同，参考每阶响应的并不是结构所有的质量和刚度，而是这一阶“活跃的 ”有效质量（结构中的部分质量） ，所以各阶所对应的模态参数
45、不完全相同。2.如何理解无阻尼固有频率、有阻尼固有频率和固有频率？通常在振动教材中都会定义无阻尼固有频率和有阻尼固有频率，无阻尼固有频率对应的是刚度/质量的平方根，有阻尼固有频率为无阻尼的固有频率乘以（1-阻尼比平方）的平方根。书本上这么定义完全是出于方便书写公式的目的，当然了也对应的一定的物理意义。一般说来，无阻尼结构的频率便是无阻尼的固有频率，但现实中所说的固有频率，在没有特殊说明的情况下都是指有阻尼固有频率，因为现实中的结构都是有阻尼的。人们通常说的固有频率都是指有阻尼固有频率。另外，在有限元计算中，如果是实模态分析（不考虑阻尼），那么此时的求解出来的频率就是无阻尼的固有频率，如果是复模
46、态分析（考虑非比例阻尼）得出来的固有频率是有阻尼固有频率。现实中的结构，除了含有阻尼机制的结构外，一般阻尼比都小于 10%，因此，阻尼对结构的固有频率的影响是非常小的。3.复模态和实模态什么区别？对于无阻尼的情况，由特征值求解产生的频率和留数为纯虚数，模态振型值为带符号（+或-）的实数值，且每阶模态振型的各个自由度之间，要么彼此完全同相位，要么彼此完全反相位。对于比例阻尼，此时阻尼与系统的质量和/或者刚度成比例。由特征值求解得出的频率为复数值，留数为纯虚数，模态振型值也为带符号（+或-）的实数值。且比例阻尼特征值求解得出的模态振型与无阻尼的情况相同，这是因为阻尼与系统的质量和/或刚度成比例。这
47、样产生的模态称为“实模态”。因此，显然相同质量矩阵和刚度矩阵下，无阻尼和比例阻尼情况得出的模态振型完全相同。考虑第三种情况，此时阻尼不与系统的质量和/或者刚度成比例，即非比例阻尼。此时得出的频率、留数和振型全为复数值。对于这种情况，模态振型不同于前面的两种情况。首先，模态振型是复数值。并且每阶模态的各个自由度之间的相对相位关系已不再是完全同相位或反相位了。这种情况下产生的模态称为“复模态”。这跟前面两种情况大不相同。系统阻尼与系统的质量和/或刚度不相关时，得出的模态就为复模态，此时的阻尼称为非比例阻尼。考虑复模态时，所有的方程通常都变得更复杂。实模态与复模态之间一些简单结论总结如下：实模态的一
48、些特征：1.通过驻波描述实模态，而这些驻波的节点位置是固定的；2.所有点同一时刻通过它们的最大和最小位置处；3.所有点同一时刻通过零点位置；4.模态振型为带符号的实数值；5.所有点同结构上任何其他点，要么完全同相位，要么完全反相位；6.无阻尼得到的模态振型与比例阻尼的模态振型相同，这些振型解耠质量、阻尼和刚度矩阵。复模态的一些特征：1.通过行波描述复模态，节点似乎在结构上移动；2.所有点不在同一时刻通过它们的最大值位置处，一些点似乎落后其它点；3.所有点不在同一时刻通过零点位置；4.模态振型不能用实数描述，为复数；5.不同自由度之间不存在特定的相位关系，没有完全同相位或者完全 180 度反相关
49、系；6.由无阻尼情况得到的模态振型将不解耦阻尼矩阵。为了进一步形象化这些特征，绘出了悬臂梁某阶模态所对应的复模态振型和实模态振型，如图 1 所示。图 1a 为实模态，自由度之间的相对相位关系完全同相位（如图中蓝色和红色表示的自由度）或者完全 180 度反相位（如图中的绿色表示的与蓝色和红色表示的自由度）。而复模态不具有这种简单的相位关系，模态振型必须通过幅值与相位或者实部与虚部两者同时描述，如图 1b 所示。图 1 是有意去形象化它们之间的相位关系。如果在进行复模态分析时，发现求解出来的特征值是纯虚部，这时就得考虑是不是实际上是在进行实模态分析。时域、频域和模态空间有什么不同？能解释时域、频域和模态空间，三者有什么不同吗？我一直听说它们，但是不知道它们有什么不同。有关这个需要讲解的地方太多，但我们还是从一些简单的方面开始着手吧这个问题经常有人问到，三者有太多的不同之处，因此让我们从一个简单的说明开始着手，不涉及太多的数学知识，用一个简单的示意图来解释。用这个图讨论时域、频域、模态空间和物理空间之间的所有不同之处。这个图有太多方面需要讨论，故将此图分成许多子块，每次讨论其中一块，最后对所有子块进行总结。你可能还记得前面进行“什么是模态分析”的讨论（“你能为我解释模态分析是什么吗？”），在这前面的讨论对我们解释这个问题有帮助作用。首先，让我们考虑一
