1、 数学解答题的解题策略解答题可分为低档题、中档题和高档题三个档次，低档题主要考查基础知识和基本方法与技能，中档题还要考查数学思想方法和运算能力、思维能力、整合与转化能力、空间想象能力，高档题还要考查灵活运用数学知识的能力及分析问题和解决问题的能力基础训练（1）已知 ，求函数 的最小值Ra)cos)(sin(xay思路点拨：，而 与 有联axy in)(i)cos)(sin(2 xcosinxcsin系，可设 ，则原来的问题可转化为二次函数的闭区间上的最值问题t（2) x、y 满足条件 ，求 y3x 的最大值与最小值1256y思路点拨：此题令 b=y 3x，即 y=3x+b，视 b 为直线 y=
2、3x+b 的截距，而直线与椭圆必须有公共点，故相切，b 有最值（3)不等式 对满足 的一切实数 m 都成立，求 x 的取值范围)1(22xm2,思路点拨：此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于 x 的不等式讨论，若变换一个角度，以m 为变量，使 ，则问题转化为求一次函数（或常函数） 的值)12()()2xxf )(mf在-2 ，2 内恒负时，参数 x 应满足的条件典型例题（一）以退为进策略1、由整体向局部退某些问题，可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分来处理问题，解题思路便会豁然开朗例 1、在锐角 中，求证： ABC CBACBAcoscosinsin【解析】 ， ，即
3、，由于 在 上是单)2,0(,20xyin)2,0(调递减的 ，同理可证： BAcos)2sin(i ACBcosin,cosin上述三式相加，得： ACcsin【题后反思】本题由整体退向局部，由一个角的三角函数或两个角的三角函数关系式入手，进行研究，解出部分证明了整体2、由巧法向通法退巧法的思维起点高，技巧性也强，有匠心独具、出人意料等特点，而巧法本身的思路难寻，方法不易把握，而通法则体现了解决问题的常规思路，而顺达流畅，通俗易懂的特点例 2、已知 ，求 的取值范围21cosinsinco【解析】由 ，得 ，22i41 ，2222 sinsi41cos1sin )sin1(i)i(ini 2
4、222，45)si4(in45si41522 从而得 nco，【题后反思】本题是一典型、常见而又方法繁多、技巧性较强的题目，求解时常常出错，尤其是题目的隐含条件的把握难度较大，将解法退到常用的数学方法之一消元法上来，则解法通俗、思路清晰（二）合理转化策略转化思想方法用于研究、解释数学问题时思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化成另一种情况，也就是转化到另一种情境，使问题得到解释的一种方法，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维模式，转化的目的是使问题变的简单、容易、熟知，达到解决问题的有利境地，通向问题解决之策1、常量转化为变量有的问题需要常、变量相互转化，使求解更容易例 3、设 ，
5、求证： 0tancos4sin0tasin3co92CABCBA， 61|cos|A【解析】令 ，则有 ，若 ，则 成立；3x 0tansico2 CBxA0cosA610|cos|若 ，则 ，方程有两个相等的实数根，即 ，0cosA4sin 321x由韦达定理， ，即 ，又 ，ACxcosta921Acos9tn0tancos4in2CAB ， ， 0cos4sin2B1i362261|【题后反思】把变量变为常量，也就是从一般到特殊，是我们寻找规律时常用的解题方法，而本题反其道而行之，将常量变为变量，从特殊到一般使问题得到解决2、主元转化为辅元有的问题按常规确定主元进行处理往往受阻，陷于困境
6、，这时可以将主元化为辅元，即可迎刃而解例 4、对于满足 的所有实数 p，求使不等式 恒成立的 x 的取值范2|p pxpx212围【解析】把 转化为 ，则成为关于 p 的一次不等xx12 0)1(2x式，则 ，得 ，由一次不等式的性质有：|p2p，0)()()1(2xx当 时， ， ；3131x或当 时， ， ，综上可得： 2p)(x或 31x或【题后反思】视 x 为主元，不等式是关于 x 的一元二次不等到式，讨论其取值情况过于繁琐，将 p 转化为主元，不等式是关于 p 的一次的不等式，则问题不难解决3、正向转化为反向有些数学问题，如果是直接正向入手求解难度较大，可以反向考虑，这种方法也叫“正
7、难则反”例 5、若椭圆 与连接 A（1，2） 、B （3，4）两点的线段没有公共点，求)0(22ayx实数 a 的取值范围【解析】设线段 AB 和椭圆有公共点，由 A、B 两点的坐标可得线段 AB 的方程为 ，1xy，则方程组 ，消去 y3,1x122xya得： ，即 ，22)(x 31)2(1232 x ， ， ， ，3,141,92a0a28a当椭圆与线段 AB 无公共点时，实数 a 的取值范围为 ),28()3,0(【题后反思】在探讨某一问题的解决办法时，如果我们按照习惯的思维方式从正面思考遇到困难，则应从反面的方向去探索4、数与形的转化数形结合，实质上是将抽象的语言与直观图形结合起来，
8、以便化抽象为直观，达到化难为易，化简为繁的目的例 6、已知 是定义在 上的奇函数，且在区间 上是增函数，若)(xf 0|x ),0(，解不等式 1,0)(af )(logfa【解析】由 在 上为增函数，且 是定义域上的奇函数，)(xf,0)(xf 在 上也是增函数 ， ， 或 ，)1(f)1(f )1(0)(logfxfa)1(0)logfxfa由函数的单调性知： 或 ，1l0ala原不等式的解集为： 0|xx或【题后反思】由已知， 是定义在 上的奇函数，且在区)(xf 0|间 上是增函数，由 ，则可得 的,0(1,)(af )(xf大致图像如下图，可知 xy-1 1O5、自变量与函数值的转化
9、函数单调性的定义明确体现了函数自变量的不等式关系与函数值间不等关系相互转化的思想，理解它们之间的相互转化关系，有利于灵活运用函数的单调性解题例 7、设 是定义在 上的增函数，且对于定义域内任意 x、y，都有)(xf),0()(yyf，求使不等式 成立的 x 的取值范围122)3()xf【解析】 的定义域是 ， ，即 ，)(xf,003由于 ，得 ，)(yfyf )()()xfxf由 ，得 ，1)2( 421由题设条件得： ，)(3(fxf 是定义在 上的增函数， ，解之得： ，又 ，)(xf),0)3(x41x3适合题意的 x 的取值范围为3，4【题后反思】这类抽象函数求解是初学者较难掌握的，
10、解题的关键需实现三种转化：将函数值间的不等关系转化为自变量的不等关系；根据函数的单调性意义又能比较两个值的大小，因此需将 ，根据等价转化为 ；需将转化为某自)3()xf )3(xf变量的函数值，从而建立关于 x 的不等关系，求出 x 的取值范围五、限时课后练习（1）已知函数 |21)(xf（）若 ，求 x 的值；（）若 对于 恒成立，求实数 m 的取值范围0)(tmftft )2,1t（2）设函数 ，曲线 通过点（0，2a+3）且在点（-1，)2acbxx (xfy）处的切线垂直于 x 轴1(f用 a 分别表示 b 和 c；（）当 bc 取得最小值时，求函数 的单调区间xefxg)()(（3）
11、在直角坐标系 xOy 中，点 P 到两点（ ） ， （ ）的距离之和等于 4，设点 P 的3,0,轨迹为 C，直线 与 C 交于 A、B 两点，1kxy（）写出 C 的方程；（）若 ，求 k 的值；OBA（）若点 A 在第一象限，证明：当 k0 时，恒有 |OBA（4）已知函数 ， ， ，ttf1)( )(cosin)(sico)( xfxfxg127,(（）将函数 化简成 的形式；x ,0,0sinB（）求函数 的值域)(g（5）已知曲线 C1： 所围成的封闭图形的面积为 ，曲线 C1 的内切)(1| bay 54圆半径为 ，记 C2 为以曲线 C1 与坐标轴的交点为顶点的椭圆，35（）求椭
12、圆 C2 的标准方程；（）设 AB 是过椭圆 C2 中心的任意弦， 是线段 AB 的垂直平分线，M 是 上异于椭l l圆中心的点，若 （O 为坐标原点） ，当点 A 在椭圆 C2 上运动时，求点|AMM 的轨迹方程；若 M 是 与椭圆 C2 的交点，求 面积的最小值l B答案：1 （1） ；)21(logx（2） ,5m2 （1）c=2a+3，b=2a ；（2） 的单调减区间为 ，单调增区间为（-2，2） ；)(xgy),()2,(和3 （1） ，142（2） ，k（3）略；4 （1） ，2)4sin(2)(xxg（2） 的值域为 ；3,5 （1） ，142yx（2） ， )0(5422yx9
13、4探索性问题的基本题型及解题方法一、考情分析探索性问题是近几年高考的热点，通过对探索性问题的考查，能考查出考生的创新意识与创新能力，高考中一般以填空题或大题的形式出现，难度为中、高档二、问题特点及解题方法条件为完备或结论不确定是探索性问题的基本特征，数学探索性问题的解答一般没有固定、现成的模式可循，它有较强的思维发散性，必须自己设计解决方案，以考查创新意识、创新精神为目标的此类题型，常以新颖的形式出现，解题入口宽，而且题设条件往往比较隐蔽，但只要能明确问题特点，根据特点采取相应的策略，仍可以使求解“程序化” ，有据可依，有规可特，解决这类问题时，应充分运用观察、比较、类比、分析、综合、演绎、归
14、纳、抽象、概括等思维方式，对试题的条件和结论所提供的外在信息与自身大脑中储存的内在信息进行提取，组合、加工和转化，明确解题方法，形成解题策略，选择解题步骤三、基础训练（1）已知数列 的前 n 项和为 ， 且 ，计算 ，nanS321a)2(1naSn 4321,S并猜想 的表达式nS（2）在平面直角坐标系 xOy 中，如图，过定点 C（0，p）作直线与抛物线相交于 A、B 两点，)0(2ypx（）若点 N 是点 C 关于原点 O 的对称点，求 面积的最小值；（）是否存在垂直于 y 轴的直线 ，使得l被以 AC 为直径的圆截得弦长恒为定l值？若存在，求出 的方程；若不存在，l说明理由（3）设等差
15、数列 的前 n 项和为 ，则 成等差数列，类比nanS126812484, SSxyA BCNO以上结论有：设等比数列 的前 n 项和为 ，则 ， ， ， 成nbnT4 126T等比数列（4）设 ，由此能否推出 ？若不能，需如何改DCBAEF, EFBD变条件？（5）设函数 ，给出以下四个论断：它的图像关于直)2,0)(sin)( xf线 对称； 它的图像关于点（ ）对称；在区间 上是增函数；它2x ,30,6的周期为 以其中的两个论断为条件，另两个论数不结论，写出你认为正确的一个命题 （填写序号） 答案：（1） ，猜想： 65,4,3,21 SS *21NnSn，（2） （） ， （）满足条
16、件的直线 存在，其方程为 2min)(PABN l 2py（3） ， 48T12（4）不能，需加条件 EFC（5） 四、典型例题1、探究型探究型是依据题目所给予条件或提供的信息，综合所学知识，来探究问题的分析方法和解决方法，常以常规题形式出现，但往往改变设问方式，或得出探究和方向，或给出探究的结论，考查学生的判断能力，创新精神和综合素质，解答此类问题时，需要考生提取题目的有效信息，从有效信息引出思维联想，从而设计解题方法，化归与转化是解决这类问题常用的数学思想例 1、已知数列 ，其中 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，3021,a 10321,a是公差为 d 的等差数列， 是公差为 的等差
17、数列020,a 302, 2d)(d（）若 ，求 d 的值；420（）试写出 关于 d 的关系式，并求出 的取值范围；3a30a（）续写已知数列，使 是公差为 的等差数列，依次类推，把432130,a 3d已知数列推广为无穷数列，提出同（）类似的问题， （）应当作为特例） ，并进行研究，你能得到什么样的结论？【解析】（） ， ；10a3,4012d（）当 ， ；),(),(d）5.73a（）所给数列可推广为无穷数列 ，其中 是首项为 1，公差为 1 的n10321,a等差数列，当 时，数列 是公差为 的等差1n )(010,nna nd)0(数列，研究的结论可以是：由 ，)(323304dda
18、依次类推可得： ， )1(10)1(2)(10 nnn当 时， 的取值范围是： )(d)1(0na),0(【题后反思】由题设条件给出问题的组成结构，先通过特例研究问题的结论，然后给出问题的推广，提出探究的方向，让解题者顺着命题者提出的推广方向进行探究，是探究型题的一种常见题型，解答这类问题时一般不改变命题的结构形式，而提出的探究结论也应该是对特例的推广2、开放型开放型题是指问题的结论、条件、解题策略是不惟一的或需要探索的一种题型，这类题型结构新颖，解题方法灵活、知识覆盖面宽，问题结构开放，打破了固定的思维模式和解题套路，给解题者很大的思考空间和多种分析思路，有利于培养和考查学生的创新思维能力和
19、探究问题的能力，所以此类问题是当前高考命题的热点之一例 2、设动点 P 到定直线 的距离为 d，已知 F（2，0）且4x 2|PFd（）求动点 P 的轨迹方程；（）过圆锥曲线的焦点 F，任作一条与两坐标轴都不垂直的弦 AB，若点 M 在 x 轴上，且使得 MF 为 的一条内角平分线，则称点 M 为该圆锥曲线的“特征点” ，问AMB该曲线是否存在特征点 M？若存在，求出点 M 的坐标，并观察点 M 是怎样的点，同时将你的结论推广，若不存在，请说明理由（不用证明推广后的结论） 【解析】（）设动点 P 的坐标为 P（x，y） ，且点 P 到直线 的距离为 d/，2x动点 P 到定直线 的距离为 d，
20、F （2 ，0）且 ，4|PF动点 P 到定直线 的距离为 d/，F（ 2，0）且 ，即点 P 是以坐标2x |/原点为顶点，以 F（2，0 ）为焦点的抛物线，动点 P 的轨迹方程是 y82（）假设抛物线存在特征点 M，并设其坐标为 M（m，0） ，弦 AB 不垂直于 x 轴，且抛物线 的焦点为（ 2，0） ，x2设直线 AB 的方程为 ，代入 并整理，得：)0(kyxy8，01682ky设 ，则 ，),(),(2yxBA16,8221yk 被 x 轴平分， ，即 ，M0BMA 021mxy ，即 ，)()(1221myy )()()2( 211 kky ，即 ，0k 083 ， 0故抛物线上
21、存在特征点 M，其坐标为 M（-2，0） ，该点是抛物线的准线与 x 轴的交点，猜想：对于抛物线 ，其“特征点 M”是抛物线的准线与 x 轴的交)(2pxy点【题后反思】本题从特例出发，探究一般情况下的结论，解答这类问题时，可以通过特例得到的信息，从命题提出的探究方向思考，归纳问题的结论（有时不止一个，而有些问题的结论并不成立） ，再给出数学推理证明，本题由于题目的要求没有给出推理证明3、定义信息型定义信息型是近几年来高考出现频率较高的新题型之一，其命题特点是：给出一个新的定义、新的关系、新的性质、新的定理等创新情境知识，然后在这个新情境下，综合所学知识并利用新知识作为解题工具使问题得到解决，
22、求解此类问题通常分三个步骤：（1）对新知识进行信息提取，确定化归方向；（2）对新知识中所提取的信息进行加工，探究解题方法；（3）对提取的知识加以转换，进行有效组合，进而求解例 3、根据定义在集合 A 上的函数 ，构造一个数列发生器，其工作原理如下：)(xfy输入数据 ，计算出 ；若 ，则数列发生器结束工作，若x0 01xA1，则输出 x1,并将 x1 反馈回输入端，再计算出 ，并依此规律继续下去，Ax1 )(12xf现在有 ， ，|)()(*Nmxf（）求证：对任意 ，此数列发生器都可以产生一个无穷数列 ；Ax0 nx（）若 ，记 ，求数列 的通项公式210x)(*nan nx【解析】 （）证
23、明：当 ，即 0x0，Ax*Nm ，又 ， ， ，01xm01)(1xm1x1)(0xf即 故对任意 有 ；由 有 ，由 有Af)(x0Af01Af)(22；以此类推，可以一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列 23 nx（）由 ，可得 ，nnnxmxf1)(1 mxnn1 ，即 ，ann1)(a令 ，则 ，又 ，nbnnb1 01)1(101 xx数列 是以 为首项，以 为公比的等差数列，nm ，于是 nnb)()(1 1)(nnma【题后反思】本题以算法语言为命题情境，构造一个数列发生器，通过定义工作原理，得到一个无穷数列 ，这是命题组成的第一部分，解答时只需依照命题程序完成即可，第（）n
24、x问其实是一个常规的数学问题，由上可知，创新题型的解答还是需要考生有坚实的数学解题功底4、类比归纳型类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等式引申或推广，或迁移，由已知探索未知，由旧知识探索新知识的一种研究问题的方法；归纳是从个别特殊事例，若干特殊现象递推出同一类事物的一般性结论，总结出同一种现象的一般规律的一种思考问题的方法，这两种推理方法可有效地锻炼考生的创造性思维能力，培养考生的创新精神和创造力因为这类创新题的思维含量高、知识覆盖面广、综合性强，所以它们在高考中频繁亮相，已成为高考中的又一个热点例 4、如下图所示，定义在 D 上的函数 ，如果满足：对任意 ，存在常数 A，)(xf
25、 Dx都有 成立，则称函数 在 D 上有下界，其中 A 称为函数的下界（提示：下图Axf)( )(f中的常数 A、B 可以是正数，也可以是负数或零 ）（）试判断函数 在xf48)(3上是否有下界？并说明理由；),0(（）具有图所示特征的函数称为在 D 上有上界，请你类比函数有下界 的定义，给出函数 在 D 上有上界的定义，并判断（ ）中的函数在 上是否)(xf )0,(有上界，并说明理由【解析】 ，由 ，得 ， ，x=2,2/483)(xf0)(/xf164),0(x当 02 时， ，函数 在（2， ）上是增函数；)(/xx=2 是函数 在区间（0， ）上的最小值点， ，xf32)(minfx
26、f于是，对任意 ，都有 ，即在区间（0， ）是存在常数 A=32，使),(3)(xf 得对任意 ，都有 成立，所以，函数 在 上有下xAxf48)(3),0(界（）类比函数有下界的定义，函数有上界可以给出这样的定义：定义在 D 上的函数，如果满足：对任意 ，存在常 B，都有 成立，则称函数 在 D 上)(xf DxBxf)( )(xf有上界，其中 B 称为函数的上界设 x0，则（）知，对任意 ，都有 ， ，),0(x32)(f 32)(fx1 x2xyOD=x1,x2y=f(x)x1x2xyOD=x1,x2y=B函数 为奇函数， ， ，即 ，xf48)(3)()(xff32)(xf 32)(x
27、f即存在常数 B=-32，对任意 ，都有 ，所以，函数 在0,B48上有上界)0,(【题后反思】本题以高等数学中的函数有界性为命题素材，先给出一个定义，研究问题的结论，然后提出类比的方向，这是一种直接类比的情境题数学中有许多能够产生类比的知识点，如等差数列与等比数列的内容有着非常和谐的“同构”现象，立体几何中的很多结论和方法都可以从平面几何中产生“灵感”进行迁移，我们复习时要注意研究知识间的纵横联系，把握知识间的内在规律，通过知识间的对比和类比，可以更好地掌握知识，提高解题能力五、限时课后练习（1）已知元素为实数的集合 S 满足下列条件： ；若 ，则 若非空S0,1SaSa1集合 S 为有限集
28、，则你对集合 S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测（2）已知椭圆 的右准线 与 x 轴相交于点 P，右焦点 F 到上顶)0(12bayx 2:1l点的距离为 ，点 C(m,0)是线段 OF 上的一个动点，（）求椭圆的方程；（）是否存在过点 F 且与 x 轴不垂直的直线 ，其与椭圆交于 A、B 两点，且使得l？亲说明理由BAC)(（3）设函数 ，函数 ， ，其中 a 为常数且 ，令函数1(xg31)(xh,(0为函数 和 的积函数)(xf)(（）求函数 的表达式，并求其定义域；xf（）当 时，求函数 的值域；41a)(xf（）是否存在自然数 a，使得函数 的值域恰为 ？若存在，试写出所有满足
29、)(f 21,3条件的自然数 a 所构成的集合，若不存在，试说明理由（4）已知函数 ，当点 在 的图像上移动时，点)1(log)(2xf ,0yxP)(xf在孙函数 的图像上移动),21(00ytxQ(Rt)(g（）若点 P 坐标为（ 1，-1） ，点 Q 也在 的图像上，求 t 的值；)(xgy（）求函数 的解析式；)(xgy（）当 时，试探索一个函数 ，使得 在限定域内为 时0t )(xh)()(xhxf)1,0有最小值而没有最大值（5）矩形钢板的边长分别为 ，现要将它剪焊成正四棱柱或正四棱锥，并使)109(,aba其底面边长为矩形边长的一半，表面积为 ab，试比较得到所制作的正四棱柱与正
30、四棱锥中哪一个体积最大，哪一个体积最小，并说明你的结论答案：（1）S 的元素的个数为 3 的倍数；（2） （） ；12yx（）当 时， ，即存在这样的直线 ；0mmk21l当 时，k 不存在，即不存在这样的直线 12 l（3） （） ；)0(,3)(axxf（） ；16,（） ，且 9aN（4） （） ；0t（） ；)2(log)(1txy（）当 时， 有最小值 0，但没有最大值2xh)(xhgxf（5）如下图：2ab2a16)2(abV图 1 4ba2242abV图 22b2ba16)2(3baV图 3 4ba4b 244abV图 4易证： ，即最大 ，最小 42314321 VV， 32V
