1、12014 年全国高考理科数学试题分类汇编（逐题详解）题型一、等比数列概念1.【2014 年重庆卷（理 02） 】对任意等比数列 ,下列说法一定正确的是（ ）na成等比数列 成等比数列39.,Aa236.,B成等比数列 成等比数列248C9Da【答案】D【解析】设 公比为 ，因为 ，所以 成等比数列，选择naq33696,q369,aD2.【2014 年全国大纲卷（10） 】等比数列 中， ，则数列 的前 8 项na452,lgna和等于（ ）A6 B5 C4 D3【答案】C【解析】等比数列a n中 a4=2，a 5=5，a 4a5=25=10，数列lga n的前 8 项和S=lga1+lga
2、2+lga8=lg（a 1a2a8）=lg（a 4a5） 4=4lg（a 4a5）=4lg10=4 故选：C3.【2014 年广东卷（理 13） 】若等比数列 n的各项均为正数，且 512910ea，则 20lnla 。【答案】 50【解析】由题意得， ，又 ，5109120aae0na = = = = .122lnlna () 120l()5le4.【2014 年江苏卷（理 07） 】在各项均为正数的等比数列 中，若 ，n12a，则 的值是 2686a【答案】4【解析】根据等比数列的定义， ，所以由 得242628,qaaq 268a，消去 ，得到关于 的一元二次方程 ，解得2426qaqa
3、2 0)(2，41题型二、等差数列求和5.【2014 年福建卷（理 03） 】等差数列a n的前 n 项和为 Sn，若 a12，S 312，则 a6 等于（ ）A8 B10 C12 D142【答案】C【解析】由题意可得 S3a 1a 2a 33a 212，解得 a24，公差 da 2a 1422，a 6a 15d25212，故选：C题型三、等比数列求和6.【2014 年天津卷（理 11） 】设 是首项为 ，公差为 的等差数列， 为其前 项n1nS和，若 、 、 成等比数列，则 的值为_.1S241a【答案】 -【解析】依题意得 ，所以 ，解得 .214S=()()21146a-=-12a=-题
4、型四、最大最小项7.【2014 年北京卷（理 12） 】若等差数列 满足 ， ，则当n7890710_时 的前 项和最大.nna【答案】8【解析】由等差数列的性质可得 a7+a8+a9=3a80，a 80，又a7+a10=a8+a90，a 90，等差数列a n的前 8 项为正数，从第 9 项开始为负数，等差数列a n的前 8项 和最大，故答案为：8题型五、数列综合运用8.【2014 年湖南卷（理 20） 】(本小题满分 13 分)已知数列 满足 ， ， .na1nnpa|1*N（1）若 是递增数列，且 ， ， 成等差数列，求 的值；23p（2）若 ，且 是递增数列，是 递减数列，求数列 的通项
5、公式.p12n2nna解：（1）因为 是递增数列，所以 ，而 ，因此na nnnpa|11 1， ，又 ， ， 成等差数列，所以p12 23p23，因而 ，解得 或 ，3124a02p0但当 时， ，与 是递增数列相矛盾，故 .0pn1na31p(2) 由于 是递增数列，因而 ，于是12na01n30)()(1221nnaa且 ，所以 12n | 1221nna则可知， ，因此 ， 012na 12122)(nnn因为是 递减数列，同理可得 ，2na021na故 ， nnn2221)(由即得 . 于是nna)1(1 )( 1232 nn aa1)(n.2)(3421(1n故数列 的通项公式为n
6、a *).()1Nann9.【2014 年全国大纲卷（18） 】 （本小题满分 12 分）等差数列 的前 n 项和为 ，已知 ， 为整数，且 .anS10a24nS（1）求 的通项公式；n（2）设 ，求数列 的前 n 项和 .1nbabT解：（1）设等差数列 的公差为 ，而 ，从而有nd10a10()nad若 ， ，此时 不成立0dnS4S若 ，数列 是一个单调递增数列， 随着 的增大而增大，也不满足anS4nS当 时，数列 是一个单调递减数列，要使 ，则须满足 即n 4540a，又因为 为整数，所以 ，所以10410532dd 21addZ34此时 103()13nan（2）由（1）可得 1
7、 111()()0()30303nb nn所以 13734T.11()()()03030(310)nnn10.【2014 年山东卷（理 19） 】(本小题满分 12 分）已知等差数列 的公差为 2，前 项和为 ，且 ， ， 成等比数列。nanS124S（I）求数列 的通项公式；（II）令 = 求数列 的前 项和 。nb,4)1(1nanbnT解：（I） ,64,2,21daSdSd4141,S成 等 比解得 na（II） )12()1)1( nbnnn )12()123(753( nnT为 偶 数 时 ，当 121nn )()()1()()为 奇 数 时 ，当 Tn为 奇 数为 偶 数nn,1
8、2,11.【2014 年全国新课标（理 17） 】(本小题满分 12 分)已知数列 的前 项和为 ，nanS5=1， ， ，其中 为常数.1a0n1nnaS()证明： ；2（）是否存在 ，使得 为等差数列？并说明理由.n【解析】：()由题设 ， ，两式相减1nnaS121nnaS，由于 ，所以 6 分12nna0（）由题设 =1， ，可得 ，由()知121aS21a31a假设 为等差数列，则 成等差数列， ，解得 ；na3, 324证明 时， 为等差数列：由 知4n24n数列奇数项构成的数列 是首项为 1，公差为 4 的等差数列21ma 213ma令 则 ，21,nn()数列偶数项构成的数列 是首项为 3，公差为 4 的等差数列2m 24m令 则 ，,n1na(2) （ ） ，21na*Nn因此，存在存在 ，使得 为等差数列. 12 分4
