1、北 京 四 中 编 稿：宋建生 审 稿：谷 丹 责 编：张 杨 整 式 一.本讲知识要点: (一)单项式: 1.单项式是只含数与字母的乘法运算的代数式，单独一个数或字母也叫单项式。如 mn 是数 、字母 m、n 的积，它是单项式，但 不是单项式，因它分母中含有字母，相当于含有字母与字母的除法运算。 ， ，a，b 都是单项式。在 a2b， ，2x 2+3x+5 中，只有 a2b 是单项式。2.单项式的系数:单项式中，数字因数叫做这个单项式的系数。如 的系数是 ，5a 3 的系数是 5。 3.单项式的次数:单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。 如: x3y2 的次数是 x 的指数 3
2、 与 y 的指数 2 的和为 5，即 x3y2 的次数是 5； ab 的次数是 2；4abc 的次数是3，2a 的次数是 1， 4 的次数是 0。 下面我们通过填表来进一步练习: 单项式 x3y - 0.6x2y2z2 -15a2b2 0.7pq - p x2 系数 - 0.6 -15 0.7 - 次数 4 3 6 4 2 1 2 (二)多项式: 1.几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中，不含字母的项叫做常数项。 如：多项式-2x+3 中，-2x ，3 是它的项，3 是常数项；多项式 5x2-3x+4 中，5x 2，-3x，4 是它的项，4 是它的常数项. 注意
3、:多项式的项包括它前面的符号。 2.多项式的项数:一个多项式含有几项，就叫做几项式 .如 3x-1 是二项式，7x 2-5x+3 是三项式，a 3+3a2b+3ab2+b3 是四项式。 3、多项式的次数:多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 如:多项式 5x2-x+2 中 5x2 项的次数最高，次数为 2，所以，此多项式的次数是二，它是二次三项式；4x-3 是一次二项式；m 2+mn+n2 是二次三项式； x4y+ xy4 是五次二项式。 4.把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多
4、项式按这个字母升幂排列。 如:多项式 2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6 是六次五项式，按 x 的降幂排列为-5x 4+2x3y2+ x2y4-xy3-6，在这里只考虑 x 的指数，而不考虑其它字母；按 y 的升幂排列为-6-5x 4+2x3y2-xy3+ x2y4。 注意:(1)重新排列一个多项式时，各项都要带着符号移动位置； (2)对含有两个以上字母的多项式，一般都按其中某一个字母的降幂排列。 (三)整式: 单项式和多项式统称为整式。即 如:-3，a 2b， ，a 2-b2 都是整式。 二.例题: 例 1.下列整式中，哪些是单项式，哪些是多项式?说出各单项式的系数、次数；各多项式是
5、几次几项式，并按某一个字母降幂排列: -12，-2a，x 2yz，m 2-n2，x 2+2x+1，-3x 2+2y2-xy，0.5，4-3a 2b-ab2-b3。 解:单项式有:-12，-2a，x 2yz，0.5；-12 的系数就是-12，次数是 0；-2a 的系数是-2，次数是 1；x 2yz 的系数是 1，次数是 4；0.5 的系数是 0.5，次数为 0。 多项式有 m2-n2，x 2+2x+1，-3x 2+2y2-xy，4-3a 2b-ab2-b3；m 2-n2 是二次二项式，按 m 的降幂排列为 m2-n2；x 2+2x+1是二次三项式，它本身就是按 x 的降幂排列；-3x 2+2y2
6、-xy 是二次三项式，按 y 的降幂排列为 2y2-xy-3x2；4-3a2b-ab2-b3 是三次四项式，按 a 的降幂排列为： -3a2b-ab2-b3+4。 例 2.指出下列各式中的单项式、多项式和整式:13 ， ， ， ， -x，5a，abc ， ，ax2+bx+c，a 3+b3。 解:单项式有:13，5a，abc； 多项式有: ， -x，ax 2+bx+c，a 3+b3； 整式有:13，5a，abc， ， -x，ax 2+bx+c，a 3+b3。 例 3.当 x=- ， y=- 时，求 x2y+xy2-y3 的值。 解:当 x=- ，y=- 时， x 2y+xy2-y3=(- )2(
7、- )+(- )(- )2-(- )3=- - + = 例 4.m 是大于-1 的负整数，n 是绝对值为 2 的有理数， 求: m3-2n2m2+6n3m 的值。解:首先要确定 m，n 的取值，依题意得 m=-1, |n|=2， n=2 ，要分两种情况讨论: 当 m=-1，n=2 时， m3-2n2m2+6n3m= (-1)3-222(-1)2+623(-1)=- -8-48=-56当 m=-1，n=-2 时， m3-2n2m2+6n3m= (-1)3-2(-2)2(-1)2+6(-2)3(-1)=- -8+48=39 例 5.已知:3x my2m-1z- x2y-4 是六次三项式，求 m 的
8、值。解:3x my2m-1z- x2y-4 是六次三项式，而 - x2y 的次数是 3；-4 的次数是 0， 3x my2m-1z 的次数应是六， m+2m-1+1=6 3m=6 m=2例 6.已知| a-5|=0，且(a-5)|b+7|=a+5，求 b 的值。分析:由已知| a-5|=0 就可以求出 a 的值，将 a 的值代入第二个等式就可求出 b 的值。解: | a-5|=0， a-5=0， a=5， a=15。将 a=15 代入(a-5)|b+7|=a+5 得， (15-5)|b+7|=15+5 10|b+7|=20|b+7|=2 b+7=2 或 b+7=-2 b=-5 或 b=-9。三
9、.练习: (一)判断正误: 1.单项式- 的系数是- ，次数是 n+1。 ( ) 2.多项式 6x3-4x2y+3xy2-y3 的项是 6x3，4x 2y，3xy 2，y 3。 ( ) 3.多项式 ab3-a2b2-3a3b+2 是按 a 的升幂排列的。 ( ) 4.m 2n 没有系数。 ( ) 5.-13 是一次一项式。 ( ) (二)填空: 1.下列代数式中:x 2-2x-1， ， ，m-n ， ，- ，x， ， 。单项式有_，多项式是_整式有_。2.填表: 单项式 25m -x -7.6 -2m3 a3b2c - 系数 次数 3.3x 2-4x+5 是_ 次_项式。4.(k-2)x 2-
10、5x+9 是关于 x 的一次多项式，则 k=_。5.把多项式-5x 6+x2y2-2x3y+6x2y3 按 y 降幂排列为_，其中最高次项为_。6.4x n+6xn+1+ xn+2- xn+3（n 是自然数）是 _次_项式，其中最高次项的系数是_。7.-3x m+5xm+1-6xm+2-1.5xm-1+4xm-2（m 是大于 2 的自然数）按 x 降幂排列为_。8.若(|m|-2) 2+(2n+1)2=0，则 mn=_。9.若 x，y 互为相反数，那么，3x+2y=_。10.如果多项式 x2-7x-2 和 3x2+5x+n 的常数相同，则 n- =_。11.当 m=_时，多项式 8x2+3mx
11、y-5y2+ xy-8 中不含 xy 项。12.若 1x3，则 |1-x|+|3-x|=_。练习参考答案: (一)判断正误: 1. 2. 3. 4. 5. (二)填空: 1、单项式有： ，- ，x， ； 多项式有：x 2-2x-1，m-n ， ； 整式有: ，- ，x， ，x 2-2x-1，m-n ， . 2、填表: 单项式 25m -x -7.6 -2m3 a3b2c - 系数 25 -1 -7.6 -2 1 - 次数 1 1 0 3 6 4 3、二 三 4、2 5、6x 2y3+x2y2-2x3y-5x6；-5x 6 6、n+3 次 四 - 7、-6x m+2+5xm+1-3xm-1.5xm-1+4xm-2 8、1 或-1 9、x 10、-1 11、- 12、2
