离散数学题型梳理-第1章.doc

1、离散数学常考题型梳理第 1 章 集合及其运算一、题型分析本章主要介绍集合论的基本概念和结论，集合的运算及其性质，以及利用运算性质进行集合表达式的化简和集合恒等式的证明等内容经常涉及到的题型有：1-1 集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系1-2 幂集的计算1-3 集合之间的运算1-4 利用集合运算性质证明集合恒等式因此，在本章学习过程中希望大家要清楚地知道：1集合与集合之间存在一种包含关系，当两个集合 A 和 B 存在关系 A 包含 B，用 AB 表示，或存在关系 B 被 A 包含，用 B A 表示，这时称 B 为 A 的子集注意空集 是任意一个集合的子集，集合 A 也是自己的子集当

2、B 且 B A，也就是说，只有 B A 或 A B 成立，则称 B 为 A 的真子集若B 不是 A 的子集，即 B A 不成立时，则称 A 不包含 B，记作 B A然而，元素与集合之间存在一种从属关系，当 是集合 中的元素，则称 属于 ，aa记作 ；若 不是集合 中的元素，则称 不属于 ，记作 a因此，这两种关系一定不要混淆 2由集合 A 的所有子集组成的集合，称为 A 的幂集，记作 P(A)或 2A 若集合 A 是由 n 个元素所组成的集合，则 A 的幂集由 2n 元素组成当 n=3 时，A 的幂集由 23=8 个元素组成例如，设集合 A = 0, 1, 2 ，则 A 的全部子集由以下子集组

3、成： 0 元子集（即空集）： ；1 元子集：0，1，2；2 元子集：0, 1，0, 2，1, 2 ；3 元子集（即集合 A）：0, 1, 2 因此，计算集合 A 的幂集时，首先要按照上述方法写出集合 A 的全部子集，然后检验写出的子集个数是否等于 2n 个，其中 n 是集合 A 的元素个数3集合之间的运算有并（ ） 、交（ ） 、差（-） 、补（）和对称差（ ）等五种运算，在做集合运算的题目时，一定要按照它们的定义进行计算(1) 集合 A 和 B 的并集或 xAB特点：由集合 A 和 B 的所有元素组成的集合见图 1图 1A BA B 图 2(2) 集合 A 和 B 的交集且 xAxB特点：由

4、集合 A 和 B 的公共元素组成的集合见图 2(3) 集合 A 与 B 的差集x且特点：由属于 A，而不属于 B 的所有元素组成的集合见图 3(4) 集合 A 的补集A =xEA且特点：由属于全集 E 但不属于集合 A 的元素组成的集合见图 4补集总相对于一个全集而言，可以看作是全集 E 与集合 A 的差集 (5) 集合 A 与 B 的对称差AB(AB )(BA)或 AB(AB)(AB)特点：由分别属于集合 A 与 B 的元素但不属于它们公共元素组成的集合见图 5 (6) 把集合 A，B 合成集合 AB 叫做笛卡儿积，规定ABxA 且 yB注意：由于有序对中 x，y 的位置是确定的，因此 AB

5、 的记法也是确定的，不能写成BA.笛卡儿积的运算一般不能交换.虽然，笛卡儿积的内容是第 2 章 2.1.1 目的内容，是二元关系的预备知识，但我们认为把它作为集合的一种运算考虑更好些。4教材 1.2.2 集合运算的性质给出的交换律、结合律、分配律、幂等律、同一律、零律、补余律、吸收律、摩根律和双补律等的恒等式是证明其它集合恒等式、化简集合表达式的主要依据，正确运用这些恒等式是做好集合证明或化简题的关键因此，大家要通过适当的练习逐步掌握这些集合运算性质二、常考知识点分析常考知识点 1：集合与集合之间的包含、元素与集合之间的属于关系（历年考核次数：4 次，本课程共考过 6 次；重要程度：）（200

6、8 年 9 月试卷第 1 题）若集合 A a，a ， 1，2，则下列表述正确的A B图 3AEA图 4A B图 5是( )A a， aA B2 ACa A D A解题过程解题过程 C选项 A，错了因为a ， a是集合 A a，a ，1，2的子集，集合之间应该用包含关系表示，即a， aA选项 B，错了因为 2 不是集合 A a， a，1，2的元素，当然2也不是 A 的子集正确的表示方法是2 A选项 C，正确 因为 a 是集合 A a，a ，1，2的元素，所以取元素 a 组成一个集合a就是 A 的子集，用包含关系表示是正确的注意： a也是集合 A 的元素，若属于关系也是正确的选项 D，错了因为空集

7、 是任意一个集合的子集，所以 也是 A 的子集，集合之间应该用包含关系表示，即 A易错点：同学们对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆，但这种类型考题中经常出现，大家一定要习惯本题主要是检查大家对属于关系和包含关系是否理解，能否正确运用 提示：首先检查各选项给出的关系符号和 左边的式子是集合 A 的元素还是子集，然后判断选项中使用的关系符号是否正确，确定选项（2009 年 7 月试卷第 1 题）若集合 A=a，b ，B= a，b，a，b，则（ ） AA B，且 AB BA B，但 ABCAB，但 AB DA B，且 AB解题过程解题过程 A选项 A，正确 因为集合 A=a，b 既是取集合

8、 B=a，b，a，b中元素 a，b 组成的一个集合，是 B 的一个真子集，用 AB 表示是正确的；但它也是 B 的元素，所以用 A B 表示也是正确的选项 B，错了选项中第一个式子 AB 是正确的，但第二个式子 AB 是错的因为集合 A=a，b 是取集合 B=a，b，a，b中元素 a，b 组成的一个集合，是 B 的一个真子集，应该用 AB 表示，而不是用 AB 表示选项 C，错了选项中第一个式子 AB 是正确的，但第二个式子 AB 是错的因为集合 A=a，b 是集合 B=a，b，a，b中元素，应该用 AB 表示，而不是用 AB 表示 选项 D，错了因为集合 A=a，b 是取集合 B=a，b，a

9、，b中元素 a，b 组成的一个集合，是 B 的一个真子集，应该用 AB 表示，而不是用 AB 表示又因为集合 A=a，b 是集合 B=a，b，a，b中元素，应该用 AB 表示，而不是用 AB 表示易错点：同学们对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆，但这种情况考题中经常出现，大家一定要习惯本题主要是检查大家对属于关系和真子集的概念是否正确理解 提示：选项中出现“且” 、 “但”这样得连接词时，只有当连接词两边的式子都正确时，选项才是正确的常考知识点 2：幂集的计算（历年考核次数：3 次，本课程共考过 6 次；重要程度：）（运用此知识点和相关知识点解答本题，即将知识点讲解与题目解答结合起来

10、）（2008 年 7 月试卷第 3 题）若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为（ ） A1024 B10 C100 D1解题过程解题过程 A选项 A，正确 由集合 A 的所有子集组成的集合，称为 A 的幂集，记作 P(A)或 2A 若集合 A 是由 n 个元素所组成的集合，则 A 的幂集由 2n 元素组成本题集合 A 有 10 个元素，因此 A 的幂集由 210=1024 个元素组成选项 B，错了因为集合 A 有 10 个元素，所以 A 的幂集的元素应该有 210=1024 个，而不是 10 个选项 C，错了因为集合 A 有 10 个元素，所以 A 的幂集的元素应该有 210=1

11、024 个，而不是 100 个选项 D，错了因为集合 A 有 10 个元素，所以 A 的幂集的元素应该有 210=1024 个，而不是 1 个易错点：当 n 比较大时，有些同学不会计算 2 的 n 次幂，即把 210 计算错了 注意：若集合 A 有 n 个元集，则其幂集 P(A )有 2n 个元素（2008 年 7 月试卷第 6 题）设集合 Aa，b ，那么集合 A 的幂集是 解题过程解题过程 ，a， b，a, b按照幂集定义，集合 Aa，b 的所有子集就是 A 的幂集 A 的全部子集由以下子集组成： 0 元子集（即空集）： ；1 元子集： a ， b ；2 元子集（即集合 A）：a，b 所以

12、，集合 A 的幂集是：， a，b ，a, b易错点：在写集合 A 的所有子集时，容易遗漏空集 注意：因为集合 A 有 2 个元集，则其幂集 P(A )有 22=4 个元素常考知识点 3：集合之间的运算（历年考核次数：3 次，本课程共考过 6 次；重要程度：）（运用此知识点和相关知识点解答本题，即将知识点讲解与题目解答结合起来）（2008 年 9 月试卷第 17 题）设 A=1,2, 1, 2，B=1, 2, 1, 2，试计算（1）AB ； （2）AB； （3）A B解题过程解题过程 （1）求集合 A 与 B 的差集 ，就是求属于 A 而不属于 B 的所有元素组成的集合即AB= 1,2, 1,

13、21, 2, 1, 2= 1,2（2）求集合 A 和 B 的交集 AB，就是求由集合 A 和 B 的公共元素组成的集合即AB =1,2, 1, 2 1, 2, 1, 2=1, 2（3）求集合 A 与 B 的笛卡儿积 AB，就是求一个元素是有序对的集合，而这些有序对的第一个元素取自集合 A，第二个元素取自集合 B即AB=1,2, 1, 21, 2, 1, 2=， ， ， 易错点：同学们对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆，既不把1,2看作集合 A 的元素，不把1, 2看作集合 B 的元素，或者把1，2 ，1, 2看作是相同的 提示：笛卡儿积 AB 是由集合 A 的每一个元素与集合 B 的

14、各个元素合成有序对（其中 xA 且 yB）作为元素的集合所谓有序对就是指一个有顺序的数组，如，x , y 的位置是确定的，不能随意放置（2009 年 1 月试卷第 17 题）设 A=a, b, 1, 2，B = a, b, 1, 1，试计算（1）AB ； （2）AB； （3）（AB ）（AB ）解题过程解题过程 （1）求集合 A 与 B 的差集 ，就是求属于 A 而不属于 B 的所有元素组成的集合即AB=a, b, 1, 2 a, b, 1, 1=a, b, 2（2）求集合 A 和 B 的并集 AB，就是求由集合 A 和 B 的所有元素组成的集合即AB =a, b, 1, 2 a, b, 1,

15、 1=a, b, 1, 2, a, b, 1（3）因为 AB = a, b, 1, 2, a, b, 1AB = a, b, 1, 2 a, b, 1, 1=1 所以 （AB）（A B ）= a, b, 1, 2, a, b, 11=a, b, 2, a, b, 1 易错点：同学们对集合中有的元素用集合形式表示的情形容易混淆，既把a, b与 a, b 看作是相同的 提示：求集合 A 与 B 的对称差 AB（AB）（ AB） ，就是先求集合 A 与B 的并集 AB 、A 与 B 的交集 AB，然后再求它们的差集常考知识点 4：利用集合运算性质证明集合恒等式（历年考核次数：4 次，本课程共考过 6

16、 次；重要程度：）（运用此知识点和相关知识点解答本题，即将知识点讲解与题目解答结合起来）（2008 年 9 月试卷第 19 题）和（2009 年 10 月试卷第 18 题） 试证明集合等式A (BC)=(AB) (AC)证明 过程过程 若对 A (BC)中的任一元素 x，即 xA(BC)，则有 xA 或 xBC，即 xA 或 xB 且 xA 或 xC，也即 xAB 且 xAC，得 x(AB)(AC)所以 A (BC)(AB) (AC) 反之，若对(AB) (AC)中的任一元素 x，即 x(AB) (AC)，则有xAB 且 xAC，即 xA 或 xB 且 xA 或 xC，也即 xA 或 xBC，

17、得xA(BC)所以(AB) (A C) A (BC)由此得 A (BC)=(AB) (AC) 易错点：要证明集合恒等式 A (BC)=(AB) (AC)，必须要证明 A(BC) (AB) (AC)，还要证明 A(BC)(AB)(AC)，但同学们往往只做其中一个 提示：集合恒等式的证明方法通常有二：（1）要证明 AB，只需要证明 AB，又 AB；（2）通过运算律进行等式推导.（2010 年 1 月试卷第 18 题）设 A，B 是任意集合，试证明：若 AA=BB，则A=B证明 过程过程 设对 A 中的任一元素 x，即 xA，那么有序对是笛卡儿积 AA 的元素，即 AA 因为 AA=BB，故有BB，

18、则有 xB 所以 AB 又设对 B 中的任一元素 x，即 xB，那么有序对是 BB 的元素，即B B因为 AA=BB，故有AA，则有 xA所以 BA 由此得 A=B 易错点：要证明笛卡儿积的恒等式 AA=BB，必须要证明 AA (AB) (AC)，还要证明 A (BC) (AB) (AC)，但同学们往往只做其中一个 提示：本题给出的条件是：笛卡儿积的恒等式 AA=BB，需要证明两个任意集合 A，B 相等，即 AB因此，需要证明 AB，又 AB三、模拟练习（模拟练习中，既可以出历年真题，也可以出一些和上述知识点对应的题目）练习 1 ：（2010 年 1 月试卷第 1 题）若集合 A a，a，则下

19、列表述正确的是( )A aA BaACa， aA D A解析：A 因为 a 是集合 A a，a 的元素，所以取元素 a 组成一个集合a就是 A的子集，用包含关系表示是正确的练习 2 ：（ 2009 年 1 月试卷第 1 题）若集合 A=1，2 ，B =1，2，1，2，则下列表述正确的是( )AA B，且 AB BBA ，且 ABCAB，且 AB DA B，且 AB解析：A 因为集合 A=1，2 既是取集合 B=1，2，1，2中元素 1，2 组成的一个集合，是 B 的一个真子集，用 AB 表示是正确的；但它也是 B 的元素，所以用 A B 表示也是正确的练习 3 ：若集合 A=a，b ，B= a

20、，a，b，则（ ） AA B BBACAB DAB解析：D 因为集合 A=a，b 是集合 B=a，a，b的元素，所以用 A B 表示也是正确的练习 4 ：若集合 A2 ，a， a ，4，则下列表述正确的是( )A a， a A B a A C2 A Da A解析：B 因为 a 是集合 A2 ，a， a ，4的元素，所以取元素 a 组成一个集合a就是 A 的子集，用包含关系 表示是正确的练习 5 ：（2009 年 7 月试卷第 6 题）若集合 A 的元素个数为 10，则其幂集的元素个数为 解析：1024因为集合 A 有 10 个元集，所以它的其幂集有 210=1024 个元素练习 6 ：设集合

21、A = 1, a ，则 P(A) = ( ) A1, a B ,1, a C ,1, a, 1, a D1, a, 1, a 解析：C因为，按照幂集定义，集合 A1，a 的所有子集就是 A 的幂集 P(A)A 的全部子集由以下子集组成： 0 元子集（即空集）： ；1 元子集： 1 ， a ；2 元子集（即集合 A）：1，a 所以，集合 A 的幂集是： ,1, a, 1, a 练习 7 ：（2010 年 1 月试卷第 16 题）设集合 A=1, 1, 2，B =1, 1, 2，试计算（1）AB ； （2）AB； （3）A B解题过程解题过程 （1）因为 A=1, 1, 2，B=1, 1, 2，所

22、以AB= 1, 1, 21, 1, 2= 1, 2（2）因为 A=1, 1, 2，B=1, 1, 2，所以A B = 1, 1, 21, 1, 2=1（3）因为 A=1, 1, 2，B=1, 1, 2，所以AB=1, 1, 21, 1, 2=， ， ， 练习 8 ：设集合 A a, b, c，B= a, b, c，求（1） （AB ）A ； （2）A（A B） ； (3) BA解题过程解题过程 （1）因为 A a, b, c，B= a, b, cAB =a, b, ca, b, c=a, b, c, a, c所以（AB A ）=a, b, c, a, c a, b, c= a, c （2）因为

23、 A a, b, c，B= a, b, cBA =a, b, c a, b, c= b所以 A（AB ）=a, b, c b=a, c（3）因为 A a, b, c，B= a, b, c，所以A B =a, b, ca, b, c=, , , , , , , , 练习 9 ：（2009 年 1 月试卷第 19 题）试证明集合等式 A (BC)=(AB) (AC)证明 过程过程 设若 xA(BC)，则有 xA 且 xBC，即 xA 且 xB 或 xA 且 xC，也即 xAB 或 xAC，得 x(AB)(AC)所以 A(BC) (AB)(AC) 又若 x(AB)(AC)，则有 xAB 或 xAC，即 xA 且 xB 或 xA且 xC，也即 xA 且 xBC，得 xA(BC)，所以 (AB)(AC) A(BC)因此 A(BC)= (AB)(AC) 练习 10 ：对任意三个集合 A, B 和 C，试证明：若 AB = AC，且 A ，则 B = C证明 过程过程 设若 xA，yB ，则有AB 因为 AB = AC，故有 AC，则有 yC 所以 B C 又设 xA，zC ，则有 AC 因为 AB = AC，故有AB，则有 zB所以 CB 故得 B = C