1、练习 2.1画出下列常见曲线的图形。 （其中 a=1,b=2,c=3）1、立方抛物线 3xy解：x=-5:0.1:0;y=(-x).(1/3);y=-y;x=0:0.1:5;y=y,x.(1/3);x=-5:0.1:0,0:0.1:5;plot(x,y)2、高斯曲线 2xey解：fplot(exp(-x.2),-5,5)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 500.10.20.30.40.50.60.70.80.913、笛卡儿曲线 )3(,322 axytaytx解：ezplot(x.3+y.3-3*x*y,-5,5)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5-4-3
2、-2-1012345xyx.3+y.3-3 x y = 0或 t=-5:0.1:5;x=3*t./(1+t.2);y=3*t.2./(1+t.2);plot(x,y)-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.500.511.522.534、蔓叶线 )(,3232 xaytytax解：ezplot(y.2-x.3/(1-x),-5,5)-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-5-4-3-2-1012345xyy.2-x.3/(1-x) = 0或 t=-5:0.1:5;x=t.2./(1+t.2);y=t.3./(1+t.2);plot(x,y)0 0.1 0.2 0.3 0.4
3、 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-5-4-3-2-10123455、摆线 )cos(),sin(tbytax解：t=0:0.1:2*pi;x=t-sin(t);y=2*(1-cos(t);plot(x,y)0 1 2 3 4 5 6 700.511.522.533.546、星形线 )(sin,co3232ayxtaytx解：t=0:0.1:2*pi;x=cos(t).3;y=sin(t).3;plot(x,y)-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81或 ezplot(x.(2
4、/3)+y.(2/3)-1,-1,1)-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xyx.2/3+y.2/3-1 = 07、螺旋线 ctzbyta,sin,co解：t=0:0.1:2*pi;x=cos(t);y=2*sin(t);z=3*t;plot3(x,y,z)grid on-1 -0.50 0.51-2-1012051015208、阿基米德螺线 ar解：x =0:0.1:2*pi;r=x;polar(x,r) 2468302106024090270120300150330180 09、
5、对数螺线 aer解：x =0:0.1:2*pi;r=exp(x); polar(x,r)100200300400500302106024090270120300150330180 010、双纽线 )()(cos2222 yxayxar 解：x=0:0.1:2*pi;r=sqrt(cos(2*x);polar(x,r)0.20.4 0.60.8 1302106024090270120300150330180 0或 ezplot(x.2+y.2).2-(x.2-y.2),-1,1)grid on-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.8-0.6
6、-0.4-0.200.20.40.60.81xy(x.2+y.2).2-(x.2-y.2) = 011、双纽线 )2)(sinxyaar解：x=0:0.1:2*pi;r=sqrt(sin(2*x);polar(x,r)0.2 0.40.6 0.81302106024090270120300150330180 0或 ezplot(x.2+y.2).2-2*x*y,-1,1)grid on-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xy(x.2+y.2).2-2 x y = 012、心形线 )c
7、os1(ar解：x =0:0.1:2*pi;r=1+cos(x);polar(x,r)0.511.52302106024090270120300150330180 0练习 2.21、求出下列极限值。(1) n3lim解：syms n;limit(n3+3n)(1/n),n,inf)ans =3（2） )12(limnn解：syms n;limit(sqrt(n+2)-2*(sqrt(n+1)+sqrt(n),n,inf) ans =0（3） xn2cotlim0解：syms x;limit(x*cot(2*x),x,0) ans =1/2（4） xxm)(coslisyms x;limit(c
8、os(m/x)x,x,inf)ans =1（5） )1(lim1xxe解：syms x;limit(1/x-1/(expx-1),x,1)ans =(exp-2)/(exp-1)（6） )(lim2xx解：syms x;limit(sqrt(x2+x)-x,x,inf)ans =1/22、有个客户看中某套面积为 180 ，每平方米 7500 元。他计划首2m付 30%，其余 70%用 20 年按揭贷款（贷款年利率 5.04%） ，按揭贷款中还有 10 万元为公积金贷款（贷款年利率 4.05%） ，请问他的房屋总价、首付款额和月付还款额分别为多少？解： （1）房屋总价： (元)1807530S（
9、2）首付款额： （元）.45N（3）房屋未付钱： (元)9M设揭贷款的年利率为 ，则 其中 为本金，x2014axyay 为每月所付的钱。解：当 =945000-100000=845000， 时，a5.0%xsyms x yy=845000*(1+x)20/240;x=0.0504;eval(y)ans = 9.4133e+003当 =100000， 时；a4.05%xsyms x yy=100000*(1+x)20/240;x=0.0405;eval(y)ans =921.7867即每月付还款额为 (元)9413.2.7861035.867Z3、作出下列函数及其导函数的图形，观察极值点、最值
10、点的位置点的位置并求出，求出所有驻点以及对应的二阶导函数，求出函数的单调区间。（1） 2()sin(),2;fxx解：函数图像程序及图像：fplot(x.2*sin(x.2-x-2),-2,2)-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3-2-1012xx.2 sin(x.2-x-2)原函数在-1 附近的极小值：x,f=fminsearch(x.2*sin(x.2-x-2),-1)x = -0.7315f =-0.3582原函数在 1.5 附近的极小值：x,f=fminsearch(x.2*sin(x.2-x-2),1.5)x =1.5951f =-2.2080原函数在-1.
11、5 附近的极大值：x,f=fminsearch(-x.2*sin(x.2-x-2),-1.5)x =-1.5326f =2.2364原函数在 0 附近的极大值：x,f=fminsearch(-x.2*sin(x.2-x-2),0)x =0f =0原函数在-2,2上的最小值：x=-2:0.1:2;y=x.2.*sin(x.2-x-2);m,k=min(y)m =-3.0272k =1原函数在-2,2上的最大值：x=-2:0.1:2;y=x.2.*sin(x.2-x-2);m,k=max(y)m =2.2140k =6求导函数程序：syms x;y=x.2*sin(x.2-x-2);diff(y,
12、x)ans =2*x*sin(x2-x-2)+x2*cos(x2-x-2)*(2*x-1)导函数的程序及图像：fplot(2*x*sin(x2-x-2)+x2*cos(x2-x-2)*(2*x-1),-2,2)-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10-505101520导函数在-1.5 附近的极小值：x,f=fminsearch(2*x*sin(x2-x-2)+x2*cos(x2-x-2)*(2*x-1),-1.5)x =-1.2650f =-5.5890导函数在 1.5 附近的极小值：x,f=fminsearch(2*x*sin(x2-x-2)+x2*cos(x2-x
13、-2)*(2*x-1),1.5)x =1.2404f =-2.7572导函数在-2 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(2*x*sin(x2-x-2)+x2*cos(x2-x-2)*(2*x-1),-2)x =-1.9240f =17.6746导函数在-0.5 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(2*x*sin(x2-x-2)+x2*cos(x2-x-2)*(2*x-1),-0.5)x =-0.4742f =0.7973导函数在-2,2上的最大值：x=-2:0.1:2;y=2*x.*sin(x.2-x-2)+x.2.*cos(x.2-x-2).*(2*x-1);m,k=
14、max(y)m =17.5338k =2导函数在-2,2上的最小值：x=-2:0.1:2;y=2*x.*sin(x.2-x-2)+x.2.*cos(x.2-x-2).*(2*x-1);m,k=min(y)m =-5.5119k =8求二阶导数的程序：syms x;diff(x2*sin(x2-x-2),x,2)ans= 2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2)二阶导数的程序及图像：fplot(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin
15、(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2),-2,2)-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-60-40-200204060二阶导函数在-1.5 附近的极小值：x,f=fminsearch(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2),-1.5)x = -1.6847f =-58.8770二阶导函数在 1 附近的极小值：x,f=fminsearch(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(
16、x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2),1)x = 0.9282f =-3.5360二阶导函数在-0.5 附近的极小值：x,f=fminsearch(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2),-0.5)x =-0.1798f =-2.1192二阶导函数在 0 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-
17、x-2),0)x =0.2594f =1.4013二阶导函数在-1 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2),-1)x = -1.0098f =14.0148二阶导函数在 2 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(2*sin(x2-x-2)+4*x*cos(x2-x-2)*(2*x-1)-x2*sin(x2-x-2)*(2*x-1)2+2*x2*cos(x2-x-2),2)x =1.9084f =34.8519二阶导函数的
18、增区间：【-1.6847，-1.0098】 ， 【-0.1798，0.2594】【0.9282，1.9084】二阶导函数的减区间：【-2，-1.6847】 ， 【-1.0098，-0.1798 】 ，【0.2594，0.9282】 ， 【1.9084，2】（2）解：函数图像程序及图像：fplot(3*x5-20*x3+10,-3,3)-3 -2 -1 0 1 2 3-200-150-100-50050100150200原函数在 2 附近的极小值：x,f=fminsearch(3*x5-20*x3+10,2)x =2f =-54原函数在-2 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(3*x
19、5-20*x3+10),-2)x =-2f =74原函数在-3,3上的最小值：x=-3:0.1:3;y=3*x.5-20*x.3+10;m,k=min(y)m =-179k =1原函数在-3,3上的最大值：x=-3:0.1:3;y=3*x.5-20*x.3+10;m,k=max(y)m =199k =61求导函数程序：syms x;y=3*x.5-20*x.3+10;diff(y,x)ans =15*x4-60*x2导函数的程序及图像：fplot(15*x4-60*x2,-3,3)-3 -2 -1 0 1 2 3-1000100200300400500600700导函数在-1 附近的极小值：x
20、,f=fminsearch(15*x4-60*x2,-1)x =-1.4143f =-60.0000导函数在 1 附近的极小值：x,f=fminsearch(15*x4-60*x2,1)x =1.4143f =-60.0000导函数在 0 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(15*x4-60*x2),0)x =0f =0导函数在-3,3上的最大值：x=-3:0.1:3；y=15*x.4-60*x.2;m,k=max(y)m =675k =1导函数在-3,3上的最小值：x=-3:0.1:3;y=15*x.4-60*x.2;m,k=min(y)m =-59.9760k =17求二阶导数
21、的程序：syms x;y=3*x5-20*x3+10;diff(y,x,2)ans =60*x3-120*x二阶导数的程序及图像：fplot(60*x3-120*x,-3,3)-3 -2 -1 0 1 2 3-1500-1000-500050010001500二阶导函数在 1 附近的极小值：x,f=fminsearch(60*x3-120*x,1)x =0.8165f =-65.3197二阶导函数在-1 附近的极大值：x,f=fminsearch(-(60*x3-120*x),-1)x =-0.8165f =65.3197二阶导函数的增区间：【-3，-0.8165】 ， 【0.8165，3】二
22、阶导函数的减区间：【-0.8165，0.8165】（3）解：函数图像程序及图像：fplot(abs(x3-x2-x-2),-3,3)-3 -2 -1 0 1 2 305101520253035原函数在 0 附近的极小值：m,k=fminsearch(abs(x3-x2-x-2),0)m =-0.3333k =1.8148原函数在 1 附近的极大值： m,k=fminsearch(-abs(x3-x2-x-2),1)m =1k =3原函数在-3,3上的最大值：x=-3:0.1:3;y=abs(x.3-x.2-x-2);m,k=max(y)m =35k =1原函数在-3,3上的最小值：x=-3:0
23、.1:3;y=abs(x.3-x.2-x-2);m,k=min(y)m =0k =51原函数可化简为： 对（1）求导函数程序：syms x;y=x3-x2-x-2;diff(y,x)ans =3*x2-2*x-1导函数（1）的程序及图像：fplot(3*x2-2*x-1,2,3)2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 368101214161820在区间【2,3】上导函数最小值：x=2:0.1:3;y=3*x.2-2*x-1;m,k=min(y)m =7k =1在区间【2,3】上导函数最大值：x=2:0.1:3;y=3*x.2-2*x-1;m,k=max(y
24、)m =20k =11对（2）求导函数程序：syms x;y=-x3+x2+x+2;diff(y,x)ans =-3*x2+2*x+1导函数（2）的程序及图像：fplot(-3*x2+2*x+1,-3,2)-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-35-30-25-20-15-10-505导函数（2）的极大值：m,k=fminsearch(-(-3*x2+2*x+1),0)m =0.3333k =1.3333在区间【-3,2】上导函数最大值：x=-3:0.1:2;y=-3*x.2+2*x+1;m,k=max(y)m =1.3300k =34在区间【-3,2】上
25、导函数最小值：x=-3:0.1:2;y=-3*x.2+2*x+1;m,k=min(y)m =-32k =1对（1）求二阶导函数：syms x;y=x3-x2-x-2;diff(y,x,2)ans =6*x-2对（1）求二阶导函数的图像及程序：ezplot(6*x-2,2,3)2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 310111213141516x6 x-2对（1） ，二阶导函数的增区间为:2,3对（2）求二阶导函数：syms x;y=-x3+x2+x+2;diff(y,x,2)ans =-6*x+2对（2）求二阶导函数的图像及程序: ezplot(-6*x+
26、2,-3,2)-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-10-505101520x-6 x+2对（2） ，二阶导函数的减区间为:-3,2练习 2.31、求下列方程在限制条件下的根：（1） ， 42x2解：fplot(x4-2x,-2,2)grid on-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-20246810121416x,f,h=fsolve(x4-2x,-1)x =-0.8613f =3.6580e-012h =1x,f,h=fsolve(x4-2x,1.1)x =1.2396f =2.3298e-010h =1（2） 1,5.01)1l
27、n(22 xxx解：solve(x*log(sqrt(x2-1)+x)-sqrt(x2-1)-0.5*x,x,1,inf)ans =2.11552288439786708008040478395542、农夫老李有一个半径为 10 的圆形牛栏，里面长满了草，老李m要将家里的一头牛拴在牛栏边界的一根栏桩上，要求只让牛吃到圆形牛栏中一半的草，请问栓牛鼻的绳子应为多长？解：3、求解下列非线性方程组在原点附近的根： 2232964011xyz解：fun=(t)9*t(1)2+36*t(2)2+4*t(3)2-36,t(1)2-2*t(2)2-20*t(3),16*t(1)-t(1)3-2*t(2)2-1
28、6*t(3)2;t0=0,0,0;t,f,h=fsolve(fun,t0)t =0.1342 0.9972 -0.0985f =1.0e-008 *0.7690 -0.0418 -0.1054h =14、画出下面两个椭圆的图形，并求出它们所有的交点坐标： 222()(3)5,18(3)6xyxxy解：ezplot(x-2)2+(y+2*x-3)2-5,-10,10)grid onhold onezplot(18*(x-3)2+y2-36,-10,10)-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-10-8-6-4-20246810xy18 (x-3)2+y2-36 = 0fun=(
29、t)(t(1)-2)2+(t(2)+2*t(1)-3)2-5,18*(t(1)-3)2+t(2)2-36;t0=2,-2;t,f,h=fsolve(fun,t0)t =1.7362 -2.6929f =1.0e-008 *0.6598 0.6430h =1fun=(t)(t(1)-2)2+(t(2)+2*t(1)-3)2-5,18*(t(1)-3)2+t(2)2-36;t3=2,2;t,f,h=fsolve(fun,t3)t =1.6581 1.8936f =1.0e-010 *0.0778 0.1889h =1fun=(t)(t(1)-2)2+(t(2)+2*t(1)-3)2-5,18*(t(1)-3)2+t(2)2-36;t4=4,-4;t,f,h=fsolve(fun,t4)t =4.0287 -4.1171f =1.0e-012 *0.1252 0.8882h = 1fun=(t)(t(1)-2)2+(t(2)+2*t(1)-3)2-5,18*(t(1)-3)2+t(2)2-36;
