1、1内容：内容：1. 勒维勒维 -齐维塔记号齐维塔记号2. 基本矢量运算公式基本矢量运算公式3. 亥姆霍兹定理的两种表述形式亥姆霍兹定理的两种表述形式1. 勒维勒维 -齐维塔记号齐维塔记号定义勒维-齐维塔（ ）记号 为：CivtaLeijk+1 是 的偶排列ij123-1 是 的奇排列ijkijk0 中有两个指标相同ij* MERGEFORMAT (1)勒维-齐维塔记号的一个重要等式：* MERGEFORMAT (2)jminjimknkij 2. 基本矢量运算公式基本矢量运算公式2.1 两矢量叉乘的矩阵表示两矢量叉乘的矩阵表示用 、 和 分别表示直角坐标系 、 和 轴的单位向量，则可知有如下关
2、系成立iejk xyz* MERGEFORMAT (3)ijijkee因此 ijijijjijijkijkjjyzyxzxzyxyxzABeABeeeABe即有2* MERGEFORMAT (4)xyzijkABA2.2 三个矢量间的混合积和双重矢量积三个矢量间的混合积和双重矢量积利用标量积和矢量积的定义，可以证明两个很有用的公式：三个矢量的混合积* MERGEFORMAT (5)ABCACB双重矢量积* MERGEFORMAT (6)上述两公式的证明如下：混合积公式的证明 ijkijkiijkiijkjkijkAABCBeCAeBCB由行列式可以看出混合积对 、 和 具有轮换对称性，即有：A
3、* MERGEFORMAT (7)BBA双重矢量积公式的证明 jmnkkmnkjkj jimnkjikijnk ijmijknjiijinjmnjiij jnijjijiiijACAeCeBeBAeCACBeiii eA 即有：3* MERGEFORMAT (8)ABCAB上式证明中用到了勒维-齐维塔记号的性质* MERGEFORMAT (2)式。2.3 算符的线性运算性质对任意的数量场 、 以及矢量场 、 ，根据 算符的定义以及矢量的标量积和矢量uvab积的分配律，容易验证 算符具有如下线性运算性质：* MERGEFORMAT (9)vcuvcu2121* MERGEFORMAT (10)b
4、aba* MERGEFORMAT (11)cc2121式中 、 为任意常数。1c2例题：求两个矢量场 、 的矢量积的散度，即求ABBA解 考虑到 算符的求导作用cc式中 表示 不被 作微分运算，同理 （以后此种记号都作这样的理解） 。根据矢量公cA B式 bacbca作调整得到* MERGEFORMAT (12)BABAcc c交换 、 的顺序，由* MERGEFORMAT (12)式可以推出* MERGEFORMAT (13)cc 于是4* MERGEFORMAT (14)BABAcc推导过程说明在* MERGEFORMAT (12)式中的项 是过渡性的。之所以这么说是因为在这cAB一步中仅
5、考虑了矢量运算法则，而没有顾及到矢量 要被 作微分运算（即 只能出现在B的后面） 。但是这一步对于得到最终的结果还是必要的，因此在进行具体运算时也需要把它写出来。不过它不能直接以相等的关系出现在运算过程中，所以在推导过程中我们用记号“ ”把它与其它项区别开来，以表示“过渡性” 的含义。还要指出的是在* MERGEFORMAT (13)式、* MERGEFORMAT (14)式的最后结果中，我们把 、 的下AB标 都去掉了，这是因为 、 仅仅是用以表示 、 不被哈密顿算符 作用的一种“记ccABAB法”，现在既然 、 都已经挪到 的前面去了，所以再在 、 的下面放个 就没有意cc义了。53 亥姆
6、霍兹定理的两种表述形式亥姆霍兹定理的两种表述形式亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 表述形式之一表述形式之一：在空间有限区域 内的任意一个矢量场 ，由它的散度、旋度以及边界条件（即限定F体积 的闭合面 上的矢量场分布）唯一确定。S亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 表述形式之二表述形式之二：对于空间有限区域 内的任意一个矢量场 ，若已知它的散度、旋度和边界条件，则F可以唯一地确定该矢量场，并可以将之表示成一个无旋场（ ）和一个无源场（1）之和。即AF2* MERGEFORMAT (15)AF21其中* MERGEFORMAT (16) ssdRzyxFdRzyxzyx ,41,4, * MERGEFORMAT (
7、17) sFA ,1,上面两式中， ，是场点 到源点 的距离。222zyxRzyx,zyx,代表已知的通量源密度 ， 代表已知的旋涡源密度zyxF, x,F。 “ ”和“ ”分别表示对 求散度和旋度。函数 是给定的。J,zy, zyx,如果矢量场 在无限远处以足够快的速度减弱至零，则式* MERGEFORMAT (16)和式* MERGEFORMAT (17)中的体积分可以扩展到整个无限大空间，并且在包围整个空间的 曲面上的 ，这时，* MERGEFORMAT (16)和* MERGEFORMAT (17)S0,zyxF式中的面积分项就不存在了。这时可以有：* MERGEFORMAT (18) dRzyxFzyx,41, zzA, * MERGEFORMAT (19)6* MERGEFORMAT (20)zyxAzyxzyxF, 上述公式中的 就是有场源分布的区域。
