1、1向量知识点总结一、教学要求：1. 理解向量（平面向量、空间向量）的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念，掌握向量的加法、减法，掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。了解向量的基本定理，掌握向量的数量积及其几何意义，了解用向量的数量积处理有关长度、角度和垂直问题，理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。2. 理解向量（平面向量、空间向量）的坐标的概念，掌握向量的直角坐标运算及两点间的距离公式。3. 掌握线线的定比分点和中点坐标公式，并掌握平移公式。二、知识串讲：平面向量及其运算（一）向量的基本运算1. 有关概念（1）向量既有大小又有方向的量叫做向量。常用有
2、向线段表示向量向 量 二 要 素 方 向长 度（ ） 向 量 的 模 有 向 线 段 的 长 度 ，2|ABa长 度 等 于 的 向 量 叫 做 单 位 向 量 ，10|零 向 量 （ 的 方 向 不 定 ） ，0|（3）共线向量（平行向量）方向相同或相反的向量叫做平行向量或共线向量。（ ） 相 等 的 向 量 长 度 相 等方 向 相 同4ab规 定 ： 0向量可以在平面（或空间）平行移动而不变。规定：零向量与任一向量平行。2. 向量有三种形式（或三种表示）几 何 表 示 几 何 运 算 代 数 表 示 代 数 运 算2坐 标 表 示 坐 标 运 算3. 向量的加法、减法与数乘（1）向量的加
3、法三角形法则或平行四边形法则如图：向量加法的多边形法则如 图 ， 求 abc（2）向量的减法：abab()， 即 向 量 加 上 的 相 反 向 量 。（ 的 箭 头 指 向 被 减 向 量 ）（3）实数与向量的乘积aaaa长 度 方 向 ： 时 与 同 向时 与 反 向时 ， |003 （ ） 存 在 唯 一 实 数 ， 使ba ba04. 向量的运算法则（加、减、数乘）设 向 量 ， ， 及 实 数 ， ， 则 ：c aba ()()cbc ()ab | |ab（此不等式表示三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，也称为三角不等式。 ）5. 平面向量基本定理（向量的分解定理）e a1
4、2， 是 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 该 平 面 内 任 一 向 量 ， 存 在唯 一 实 数 对 ， ， 使 得 。1212ae（这个定理表明：平面内的任一向量都可以沿两个不共线向量分解为唯一一对向量的和 。 叫 做 向 量 ， 的 线 性 组 合 ， ， 叫 做 表 这 一 平 面 内 所121212eee有向量的一组基底。 基 底 不 唯 一 ， 关 键 是 不 共 线 基 底 给 定 ， 分 解 形 式 唯 一 应用：设 ， 不 共 线 ， 点 在 直 线 上 （ 即 、 、 三 点 共 线 ）OABPABPPR且 （ ， ）1（二）向量的坐标运算41.
5、在 直 角 坐 标 系 内 ， 分 别 取 与 轴 ， 轴 同 方 向 的 两 个 单 位 向 量 ， 作 为 基xyij底 ， 则 该 平 面 内 任 一 向 量 ， 有 且 只 有 一 对 实 数 ， ， 使 得 ，axyaxy称 （ ， ） 叫 做 向 量 的 （ 直 角 ） 坐 标 ， 记 作 ， ， 即 为 向 量 的 坐 标 表xy a()示。 （ 如 图 ， 当 把 向 量 的 起 点 移 至 原 点 时 ， （ ， ） 是 向 量 终 点 的axyaOA坐 标 ， 即 ， ， ， 是 向 量 在 ， 轴 上 的 射 影 ， 与 相 等 的 向 量 的 坐 标Axyxy也相同。
6、）2. 向量的坐标运算已 知 ， ， ， ，axybxyR()()12则 ： （ ） 12ijiyj()xi2112，（ ） ， ， 设 ， ， ，2121212abxyAxyBxyBA，|xy12125（ ） ， ，311axyxy（三）平面向量的数量积1. 数量积的概念设 向 量 ， ， 叫 做 向 量 与 的 夹 角 。 记 作OABbAOababa， ， ，0180（ ） 数 量 叫 做 与 的 数 量 积 （ 或 内 积 ） ， 记 作 1|cosaab即 b|（ ） 数 量 积 的 几 何 意 义 ：2ababab等 于 的 模 与 在 的 方 向 上 的 射 影 的 乘 积 。|
7、 |cos2. 数量积的运算法则（ ） ， 100（ ）2()()()ababbR（ ）3cc注意：数量积不满足结合律！（ ） （ ）abab（ ） ， ， ， ， 则412xyxy()()， ， 123. 重要性质（ ） 设 是 单 位 向 量 ， ， ， 则 1eaeaea |cos（ ） 2001212abxy（ ） 或3bb| |6ab（ ） （ 唯 一 确 定 ）0xyxy12， ，21（ ） ， 即 ， 422aaxyab| |（ ）5cos|b（四）定比分点与平移1. 线段的定比分点 设 ， ， ， ， 分 点 ， ， 设 ， 是 上 两 点 ， 点 在 上 且PxyxyPxyPll122 12不 同 于 、 ， 若 存 在 一 实 数 ， 使 ， 则 叫 做 分 有 向 线 段 所P2 1 12成 的 比 。 （ ， 在 线 段 内 ； ， 在 外 ）001212且 ， 若 为 中 点 ，xyPxy 1212122. 平移PhkOP （ ， ） ， 由xyhk， ， ，k平 移 公 式
