1、南京工业大学 高等数学 B(下) 试题一、选择题（每题 3 分，共 15 分）1、设 ,则 = 12),( yxyxf )2,3(xf59 58AB56 55CD2函数 在点 连续且可偏导，是 在点 可微的 ),(yxf0,y),(yxf0,yA 充分必要条件 B 必要但非充分条件C 充分但非必要条件 D 既非充分也非必要3设可微函数 在点 取得极大值，则下列说法正确的是 ),(yxf0,yA 在 处的导数大于零 B 在 处的导数小于零),(0f0),(0yxf0C 在 处的导数等于零 D 在 处的导数不存在yx4、设区域是 由 围成的矩形区域，则 = D1,1yx DdxyA1dyxB01d
2、xC10Dy5、微分方程 的通解为 34yAxxecy21Bxxecy321C3D二、填空题（每题 3 分，共 15 分）1、设 ，则 。xyxzarctn)(z2 收敛的充要条件是 满足不等式 。123n3过点 ，且平行于直线 的直线方程为 ),4( 5123zyx。4微分方程 满足 的特解为 。321xydxy1)(y5设 是圆环域： ，则 = 。D4Dd2三计算题（每题 8 分，共 24 分）1.（8 分）设 ， 具有连续的二阶偏导数，求 ， 。xyfz,f xzy22.（8 分）设 为连续函数，交换二次积分 的积分次序。),(yxf 102),(ydxfd3.（8 分）试求幂级数 的收
3、敛域。13)2(nnx四计算题（共 16 分）1、 （8 分）计算二重积分 ，其中 为矩形区域： ， 。Dxyd10xy2、 （8 分）计算二重积分 ，其中 为圆环：Ddxy)(2D412yx五、 （10 分）求幂级数 的和函数。01nx六、 （10 分）求解微分方程 。xey265七、 （10 分）求函数 在区域 上22),(yxyxf0,4|),(2yxyD的最大值和最小值。南京工业大学 高等数学 B(上) 试题试 题 标 准 答 案一、1. C 2. B 3. C 4. A 5 D二、1. ; 2. ; 3. ; 4 ; 5. 21arctnxy23314zyxxln16三、1. ，22
4、12 xyxfffxz xxyxxy fffffyfy 122112121212 2. 积分区域为 ，也可以表示为0,|),(2yD，所以交换积分次序110|),(2xyx010 22 ),(,yy dfdxfd3. 令 ，则级数变为 ，因为 1t 13)(nnt na1limn3)12(li，所以收敛半径 。收敛区间为 ，即 。321limnn R3t4x当 时，级数 收敛；当 时，级数 4x11 )2(3)2(nnn 2x1)2(nn发散。因此原级数的收敛域为 。1)2(n )2,4四、1. 。 1010dxyxxydD2. 解： 。215)( 201320132 drr五、解：幂级数 的
5、收敛半径 ，收敛区间为 。当 时，幂级0nxRx1数 发散；当 时，幂级数 收敛，因此收敛域为 。01n 101)(n ),记 ，则幂级数 ，由于 0)(nxf )(00 xfxnn 01)(nxf，所以 。又因为 ，xn10 )0(1l()(1)(0 ffdxf )(f所以 。因此 ， 。)l()(f )ln(0xn六、解：由 ，得 ， ，于是齐次方程的通解652213。因为 2 是特征方程的单根，所以非齐次方程的特解xxeCy321。b*)(代入方程，得 ， ，于是 ,从而所求的通解为21xexy2*1xxx eeCy2321六、解：由 ，得 D 内驻点为 ， 。yxfyx241,22,f在边界 ： 上，记 ，在 上 的最大值为1L0)0,()xfxg1L),(yxf4，最小值为 0。在边界 ： 上，记 ，242yx854,)( 242fh2由 ，得驻点 ， ， ， 。014)(3xxh01x253,28)0(h4725综上， 在 D 上的最大值为 8，最小值为 0。,yf
