1、- 1 -初中数学思想方法待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数 )来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数) ，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组） ，从而使问题获解。例如：“已知 x23=（ 1A）x 2Bx C ，求 A，B
2、，C 的值” ，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到 A，B，C 的值。这里的 A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组） ，从而使问题获解。例如：“点（2，3）在正比例函数图象上，求此正比例函数” ，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2， 3）代入即可得到 k 的值，从而求得正比例函数解析式。这里的 k 就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知 ，求 的值” ，解答此题，只需设定 ，则b2a3bb2=ka3，代入 即可求解。这里的 k 就
3、是消除的待定参数。a=3k，应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组） ；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过 2011 年和 2012 年全国各地中考的实例探讨其应用。一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组） ，解出方程（组）即可求得答案。- 2
4、 -典型例题：例：（2011 云南玉溪 3 分）若 是完全平方式，则 =【 】2x6kkA9 B9 C9 D3 【答案】A。【考点】待定系数法思想的应用。【分析】设 ， 则 ，22x6k=x+A2226xk=Ax 。 故选 A。239练习题：1.（2012 江苏南通 3 分）已知 x216xk 是完全平方式，则常数 k 等于【 】A64 B48 C32 D162.（2012 贵州黔东南 4 分）二次三项式 x2kx+9 是一个完全平方式，则 k 的值是 。3.（2011 江苏连云港 3 分）计算 (x2) 2 的结果为 x 2x4，则“”中的数为【 】A2 B2 C4 D44.（2011 湖北
5、荆州 3 分）将代数式 化成 的形式为【 】 2x12(p)qA. B. C. D.2(x)()x52(x4)二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。典型例题：例：（2012 四川凉山 4 分）已知 ，则 的值是【 】b5a13abA23B 2 C94D【答案】D。【考点】比例的性质。【分析】 ，设 ，则 b=5k， a=13k，把 a，b 的值代入 ，得，b5a13b5ka13ab。故选 D。k84=9- 3 -练习题：1.（2012 北京市 5 分）已知 ，求代数式 的值。ab=
6、0235a2b()(+)2.（2011 四川巴中 3 分）若 ，则 = 。aa三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x 36x 2+11x6，目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法） 。2235yx9y4典型例题：例 1：（2012 湖北黄石 3 分）分解因式： 。2x【答案】 （x1） （x2） 。【考点】因式分解。【分析】设 ，2AxB ， ，解得 或 ，2xAB=12=12AB 。2x=1x2注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为
7、一种解法介绍于此。例 2：分解因式： 。2235y9y4【答案】 。x41【考点】因式分解。【分析】 ，2235y3xy2可设 。x943xya2b ，223yab5x(a)y 。22x5x9y43xy3b2ab- 4 -比较两边系数，得 。a3b=1294联立，得 a=4，b=1。代入式适合。 。223x5y3xy21练习题：1. 已知：4x 4+ax3+13x2+bx+1 是完全平方式.求： a 和 b 的值 .2. 用待定系数法，求（x+y） 5 的展开式3. 推导一元三次方程根与系数的关系。四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问题的常用方法，求函数解析式
8、是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中 x 的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设 y=kx，y=kx+b ， 的形式(其中kyxk、b 为待定系数，且 k0) 。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、 b、c 为待定系数) ，顶点式 y=a (xh) 2+k(a、k、h 为待定系数)，交点式y=a (xx
9、1)(xx 2)( a 、x 1、x 2 为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出 a、b、c、k、x 1、x 2 等待定系数，求出函数解析式。典型例题：例 1：（2012 江苏南通 3 分）无论 a 取什么实数，点 P(a1，2a 3)都在直线 l 上，Q(m，n) 是直线 l 上的点，则 (2mn3) 2 的值等于 【答案】16。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。【分析】由于 a 不论为何值此点均在直线 l 上，令 a=0，则 P1（1，3） ；再令 a=1，则 P2（0，1） 。设直线 l 的解析式为 y=kx+b（ k0）
10、，- 5 - ，解得 。kb31k2 b1直线 l 的解析式为：y=2x 1。Q（m，n）是直线 l 上的点， 2m 1=n，即 2mn=1。(2mn3) 2=（1+3 ）2=16。例 2：（2012 山东聊城 7 分）如图，直线 AB 与 x 轴交于点 A（1，0） ，与 y 轴交于点B（0，2） （1）求直线 AB 的解析式；（2）若直线 AB 上的点 C 在第一象限，且 SBOC =2，求点 C 的坐标【答案】解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，直线 AB 过点 A（1，0） 、点 B（0，2） ， ，解得 。kb=2kb=直线 AB 的解析式为 y=2x2。（2）设点 C
11、 的坐标为（x，y ） ，S BOC =2， 2x=2，解得 x=2。12y=22 2=2。点 C 的坐标是（2，2） 。【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】 （1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，将点 A（1，0） 、点 B（0，2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到 AB 的解析式。（2）设点 C 的坐标为（x，y ） ，根据三角形面积公式以及 SBOC=2 求出 C 的横坐标，再代入直线即可求出 y 的值，从而得到其坐标。练习题- 6 -1. 已知 . 求 a, b 的值.428632xax 2. 已知： . 求：A，B，C 的值.2)1()(1542 x
12、A3. 已知： x 46x3+13x212x+4 是完全平方式.求：这个代数式的算术平方根.4. 已知：ax 3+bx2+cx+d 能被 x2+p 整除.求证：ad=bc.5. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系（即韦达定理）.6. 用 x2 的各次幂表示 3x310x 2+13.7. k 取什么值时，kx 22xyy 2+3x5y+2 能分解为两个一次因式8. 分解因式：x 2+3xy+2y24x+5y+3；x 4+1987x2+1986x+1987.9. 求下列展开式： (x+y) 6； (a+b+c)3.10. 多项式 x2yy 2z+z2xx 2z+y2x+z2y2xyz
13、因式分解的结果是 ( )(A) (x+y)(yz)(xz) . (B) (x+y)(y+z)(xz).(C) (xy)(yz)(x+z). (D) (xy)(y+z)(x+z).11. 已知( a+1) 4=a4+4a3+6a2+4a+1, 若 S=(x1) 4+4(x1) 3+6(x1) 2+4x3.则 S 等于( )(A) (x2) 4 . (B) (x1) 4 . (C) x4 . (D) (x+1)4.12 已知： 的值是恒为常数求：a, b, c 的值.3102523xxba13. 已知：x 39x 2+25x+13=a(x+1)(x2)(x3) +b(x1)(x2)(x 3) +c
14、(x1)(x+1)(x3) +d(x1)(x+1)(x2)，求：a+b+c+d 的值.参考答案1. a= ,b= 2. A=1,B=2,C=3 3. (x 23x+2)2714.由 (x2+p)(ax+ ) 6. 3(x2) 3+8(x2) 24(x2)3pd7. 先整理为关于 x 的二次三项式，并把常数项分解因式，再用待定系数法。- 7 -8. (x+y +1)(x+2y+3) (x 2+x+1)(x2x+1987)9. x 6+6x5y+15x4y2+20x3y3+15x2y4+6xy5+y6.x 3+y3+z3+3(x2y+y2z+z2x+x2z+y2x+z2y)+6xyz.10. (A) 11.(C) 12. a=1, b=1.5, c=2 13. 1
