1、考研论坛 考研论坛 考研数学公式完整版高等数学公式导数公式：基本积分表：axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxxadxa axaxdaxIndInnn rcsin22l)(221cossi2 22 22020考研论坛 考研论坛 三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三
2、角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg- -sin cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1
3、ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .59047182.)1(limsin0exx考研论坛 考研论坛 考研论坛 考研论坛 倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iiin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcosrcsi 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值
4、定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率： .1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt考研论坛 考研论坛 定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13
5、124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：空间解析几何和向量代数： 。代 表 平 行 六 面 体 的 体 积 为 锐 角 时 ，向 量 的 混 合 积 ： 例 ： 线 速 度 ：两 向 量 之 间 的 夹 角 ： 是 一 个 数 量 轴 的 夹 角 。与是向 量 在 轴 上 的 投 影 ：点 的 距 离 ：空 间 ,cos)( sin,cos,Pr)(Pr ,cos)()()(2 2222121 212121
6、21 bacbaccba rwvkjic babababjjj uABABzyxMzyxzyxzyx zyxzyx zyxzyxuu 考研论坛 考研论坛 （ 马 鞍 面 ）双 叶 双 曲 面 ：单 叶 双 曲 面 ：、 双 曲 面 ： 同 号 ）（、 抛 物 面 ：、 椭 球 面 ：二 次 曲 面 ： 参 数 方 程 ：其 中空 间 直 线 的 方 程 ： 面 的 距 离 ：平 面 外 任 意 一 点 到 该 平、 截 距 世 方 程 ：、 一 般 方 程 ： ， 其 中、 点 法 式 ：平 面 的 方 程 ： 13,2211 ;,1302 ),(,)()()(12222 0000 220
7、0 0000 czbyaxqpzyxcba ptznymxpnmstpznymxCBADzyxdczbyaxDCBA zyxMCBAnz多元函数微分法及应用zyzx yxxyxyxFzyxF dFdddyvdvyudxvxzuxzfz tvtdttvu xffzdzududyxzd ， ， 隐 函 数 ， ， 隐 函 数隐 函 数 的 求 导 公 式 ： 时 ，当 ：多 元 复 合 函 数 的 求 导 法全 微 分 的 近 似 计 算 ： 全 微 分 ： 0),( )()(,),(),()(, ),(),(2考研论坛 考研论坛 ),(1),(1,)(,)( ,)(0),(yuGFJyvvy
8、GFJyuxxxx GFvuFvJvuyxF vu 隐 函 数 方 程 组 ：微分法在几何上的应用： ),(),(),(3 0)(,(,2 )(),()(1,0),( ,0),( 0)()()( (,)(000 0000 000 0000 zyxFzyxzyxF zyxFzyxzyxzyxnMzyxF GFGFTGzyxFztytxt tyxzytzytx zzyxzy 、 过 此 点 的 法 线 方 程 ： ：、 过 此 点 的 切 平 面 方 程、 过 此 点 的 法 向 量 ： ， 则 ：上 一 点曲 面 则 切 向 量若 空 间 曲 线 方 程 为 ：处 的 法 平 面 方 程 ：在
9、点 处 的 切 线 方 程 ：在 点空 间 曲 线 方向导数与梯度： 上 的 投 影 。在是单 位 向 量 。 方 向 上 的， 为， 其 中：它 与 方 向 导 数 的 关 系 是 的 梯 度 ：在 一 点函 数 的 转 角 。轴 到 方 向为其 中 的 方 向 导 数 为 ：沿 任 一 方 向在 一 点函 数 lyxflf ljieyxflf jyfxyxpyxfzl yffllfz),(grad snco),(grad,),(),( sinco),(),( 多元函数的极值及其求法：考研论坛 考研论坛 不 确 定时 值时 ， 无 极为 极 小 值为 极 大 值时 ，则 ： ， 令 ：设
10、 ,0),( ),(,),(,),(0),(),(202 0000BACyxA CyxfByxfAffyxf xy重积分及其应用： DzDyDx zyxDyDx DyxDD adfaFayxdfFayxdfF FMzo IyI dxydyxzAyxfzrdrfdf232232232 2222 )(,)(,)(, )0( ),(,),(,),(1),()sin,co(),( ， ， ， 其 中 ：的 引 力 ：轴 上 质 点平 面 ） 对平 面 薄 片 （ 位 于 轴 对 于轴对 于平 面 薄 片 的 转 动 惯 量 ： 平 面 薄 片 的 重 心 ：的 面 积曲 面柱面坐标和球面坐标： dvy
11、xIdvzxIdvzyI MMyxM drrFddrrFdyzf vrxzrfzF dzrFdxyzfryx zyx )()()( 1,1,1 sin),(sin),(),( siicosin),si,(),( ,),(,(,sinco 222 20),022 2， ， 转 动 惯 量 ： ， 其 中 重 心 ： ， 球 面 坐 标 ：其 中 ： 柱 面 坐 标 ：曲线积分：考研论坛 考研论坛 )()()(),(),( ,)(, 22 tyxdtttfdsyxf tytxLfL 特 殊 情 况 ： 则 ： 的 参 数 方 程 为 ：上 连 续 ，在设 长 的 曲 线 积 分 ） ：第 一
12、类 曲 线 积 分 （ 对 弧。， 通 常 设 的 全 微 分 ， 其 中 ：才 是 二 元 函 数时 ，在 ：二 元 函 数 的 全 微 分 求 积 注 意 方 向 相 反 ！减 去 对 此 奇 点 的 积 分 ， ， 应。 注 意 奇 点 ， 如， 且内 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数在，、 是 一 个 单 连 通 区 域 ；、 无 关 的 条 件 ：平 面 上 曲 线 积 分 与 路 径 的 面 积 ：时 ， 得 到， 即 ：当 格 林 公 式 ：格 林 公 式 ： 的 方 向 角 。上 积 分 起 止 点 处 切 向 量 分 别 为和， 其 中系 ：两 类 曲 线 积 分 之 间
13、的 关 ， 则 ：的 参 数 方 程 为设标 的 曲 线 积 分 ） ：第 二 类 曲 线 积 分 （ 对 坐0),(),(),( ),( )0,(),(),(21 212, )()( )cos(),),(),(),()(0),),0 yxdyxQyPyxu uQyPxQGyxPG ydxdxyADyPxQy QPQdyxdL dPttttPdyxQyPtx DLDLLLL 曲面积分：考研论坛 考研论坛 dsRQPRdxyQzPdyxzdzxyQdyzPxzxRdxyzR dxyzRdzxyQdyP dfszxfzxyzy xyDDD )cosco(),(,),( , ),(),( ),(
14、),( ),(,1,),( 22 系 ：两 类 曲 面 积 分 之 间 的 关 号 。， 取 曲 面 的 右 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 前 侧 时 取 正 号 ；， 取 曲 面 的 上 侧 时 取 正 ， 其 中 ：对 坐 标 的 曲 面 积 分 ：对 面 积 的 曲 面 积 分 ：高斯公式：考研论坛 考研论坛 dsAvsRQPdsAsnzRyQx dsRQPRdxyzPdyvzyxPnn i )cocos( .,0iv,di )coscos()(成 ：因 此 ， 高 斯 公 式 又 可 写 ，通 量 ： 则 为 消 失的 流 体 质 量 ， 若即 ： 单 位 体 积 内
15、所 产 生散 度 ： 通 量 与 散 度 ：高 斯 公 式 的 物 理 意 义 斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系： dstARzQdyPxARQPzyx yPxQRzPyRzQPxdxyzdy RdzyPxRPzQyR 的 环 流 量 ：沿 有 向 闭 曲 线向 量 场旋 度 ： ， ， 关 的 条 件 ：空 间 曲 线 积 分 与 路 径 无上 式 左 端 又 可 写 成 ： kjirot coscos)()()( 微分方程的相关概念：即 得 齐 次 方 程 通 解 。 ，代 替分 离 变 量 ， 积 分 后 将， 则设 的 函 数 ， 解 法 ：， 即 写 成程 可 以 写 成齐 次
16、方 程 ： 一 阶 微 分 方 称 为 隐 式 通 解 。 得 ： 的 形 式 ， 解 法 ：为： 一 阶 微 分 方 程 可 以 化可 分 离 变 量 的 微 分 方 程 或 一 阶 微 分 方 程 ： uxyudxudxuxdyxu xyyfyCxFGdxfg dxfgydyyf )()(,)()()( )()(0,),( 一阶线性微分方程：考研论坛 考研论坛 )1,0()(2 )0)(, )(1 )()(nyxQPdxy eCdxeQCxxyPdx dxPPd，、 贝 努 力 方 程 ：时 ， 为 非 齐 次 方 程 ，当 为 齐 次 方 程 ，时当、 一 阶 线 性 微 分 方 程
17、 ：全微分方程： 通 解 。应 该 是 该 全 微 分 方 程 的 ， 其 中 ： 分 方 程 ， 即 ：中 左 端 是 某 函 数 的 全 微如 果 Cyxu yxQuyxPyxdP),( ),(),(0),(,)(二阶微分方程： 时 为 非 齐 次时 为 齐 次， 0)()()(2 xfyxQdPx二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 212,)(2 ,(*)0)(1,0(*)r yrqpqyp式 的 两 个 根、 求 出 的 系 数 ；式 中的 系 数 及 常 数 项 恰 好 是， 其 中、 写 出 特 征 方 程 ：求 解 步 骤 ： 为 常 数 ；， 其 中 式 的 通 解 ：出的
18、不 同 情 况 ， 按 下 表 写、 根 据 (*),321r的 形 式，1r(*)式的通解两个不相等实根 )04(2qp xrxrecy21两个相等实根 r1)(21一对共轭复根 )(2241pqpirir， ， )sinco2xeyx二阶常系数非齐次线性微分方程 型为 常 数 ；型 ， 为 常 数， sin)(cos)()(,xPxexffylm考研论坛 考研论坛 线性代数部分梳理：条理化，给出一个系统的，有内在有机结构的理论体系。沟通：突出各部分内容间的联系。充实提高：围绕考试要求，介绍一些一般教材上没有的结果，教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备：发现我的讲解
19、在体系上和你以前学习的有所不同，有的方法是你不知道的。但是我相信，只要你对它们了解了，掌握了，会提高你的解题能力的。基本运算 AB C cc dAc Ad 或 。0TTBA。TcT2121nCnnAaaAD转置值不变 T逆值变 1Acn, 2121，3 阶矩阵考研论坛 考研论坛 321,BA321,BBAA01,cjiE有关乘法的基本运算njijijiij babaC21线性性质 ，BAA2121Bcc结合律 CATTBAlklkllA不一定成立！kkB，E，A与数的乘法的不同之处不一定成立！kkB无交换律 因式分解障碍是交换性一个矩阵 的每个多项式可以因式分解，例如EAEA32考研论坛
20、 考研论坛 无消去律（矩阵和矩阵相乘）当 时 或0AB0B由 和由 时 （无左消去律）C特别的 设 可逆，则 有消去律。A左消去律： 。BA右消去律： 。如果 列满秩，则 有左消去律，即 0B C可逆矩阵的性质i）当 可逆时，A也可逆，且 。TTTA1也可逆，且 。kAkk1数 ， 也可逆， 。0c11Acii） ， 是两个 阶可逆矩阵 也可逆，且 。ABnB11AB推论：设 ， 是两个 阶矩阵，则 E命题：初等矩阵都可逆，且jiEji,1cici1jiEji,1命题：准对角矩阵考研论坛 考研论坛 可逆 每个 都可逆，记kAA021iA11210kAA伴随矩阵的基本性质：EA*当 可逆时
21、， 得 ， （求逆矩阵的伴随矩阵法）A*1且得： 11*AA11*伴随矩阵的其他性质 , 1*nA1 TT ,1cn *AB ，kk 。 时， n2*2A*dcba关于矩阵右上肩记号： ， ， ，*Tk1i) 任何两个的次序可交换，如 ，TA*等1ii) ，11 ,BBTT*A但 不一定成立！kk线性表示考研论坛 考研论坛 s,021si有解 ss xx 2121,有解s, Tsx,1有解，即 可用 A 的列向量组表示Ax， ，srCB,21 n,21则 。nsr,21 ，st,21则存在矩阵 ，使得CCst ,2121 线性表示关系有传递性 当 ，pst r,21 则 。ptr,2121
22、等价关系：如果 与 互相可表示 s,21 tts,2121 记作 。ts,2121 线性相关，单个向量 ， 相关1s0x0， 相关 对应分量成比例 相关221, 21, nbaba:21向量个数 =维数 ，则 线性相（无）关snn1, 01n， 有非零解nA,210AxA如果 ，则 一定相关nss,21考研论坛 考研论坛 的方程个数 未知数个数0Axns如果 无关，则它的每一个部分组都无关s,21如果 无关，而 相关，则s,21 ,21s s,21证明：设 不全为 0，使得cs,1 01ccs则其中 ，否则 不全为 0， ，与条件 无关s,1 1s s,1矛盾。于是 。scc1当 时，表示
23、方式唯一 无关s,1s1（表示方式不唯一 相关）s1若 ，并且 ，则 一定线性相关。st,11 stt,1证明：记 ， ，sA,1tB,1则存在 矩阵 ，使得 。tCA有 个方程， 个未知数， ，有非零解 ， 。0xstts0C则 ，即 也是 的非零解，从而 线性相关。AB0Bxt,1各性质的逆否形式如果 无关，则 。s,21 n如果 有相关的部分组，则它自己一定也相关。s,21如果 无关，而 ，则 无关。s1 s,1 s,1考研论坛 考研论坛 如果 ， 无关，则 。st 11t1st推论：若两个无关向量组 与 等价，则 。s1t1t极大无关组一个线性无关部分组 ，若 等于秩 ， 就一定是
24、极大无关组II#I6421, 无关s,21 s, 21 sss , ,1另一种说法： 取 的一个极大无关组s,21 I也是 的极大无关组 相关。Is ,证明： 相关。,1 Issss ,/,1, , 111 可用 唯一表示s,1 ss stsst , 111 st, ts,11 ttss , , 1111 矩阵的秩的简单性质nmAr,i00行满秩： r列满秩：An阶矩阵 满秩：nAr满秩 的行（列）向量组线性无关考研论坛 考研论坛 0A可逆只有零解， 唯一解。xAx矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩 ArT 时，0cc Brr A,min 可逆时， r弱化条件：如果 列满秩，则 BA
25、证：下面证 与 同解。0ABx是 的解是 的解0x可逆时，BAr若 ，则 （ 的列数， 的行数）0AnBB 列满秩时 r行满秩时BA BrnAr解的性质1 的解的性质。0x如果 是一组解，则它们的任意线性组合 一定e,21 ecc21也是解。00, 21eii ccA考研论坛 考研论坛 2 0Ax如果 是 的一组解，则e,21 Ax也是 的解ecc x121ecc是 的解21 00iAiee AccAcc 2121e特别的： 当 是 的两个解时， 是 的解21,x210x如果 是 的解，则 维向量 也是 的解 是 的解。0AxnA0Ax解的情况判别方程： ，即nx21有解 n,A|nn,2
26、121 无解 |唯一解 |无穷多解 nA|方程个数 ：mA,|当 时， ，有解m|当 时， ，不会是唯一解nn对于齐次线性方程组 ，0Ax只有零解 （即 列满秩）（有非零解 ）n考研论坛 考研论坛 特征值特征向量是 的特征值 是 的特征多项式 的根。AAAxE两种特殊情形：（1） 是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。321 0* 321321 * xxxAxE（2） 时： 的特征值为r Atr,0,特征值的性质命题： 阶矩阵 的特征值 的重数nAEn 命题：设 的特征值为 ，则 , ,21 n 21 Atr命题：设 是 的特征向量，特征值为 ，即 ，则A对于 的每个多项
27、式 ，fxff当 可逆时， ，1|*A命题：设 的特征值为 ，则An , 21 的特征值为fnff ,2 可逆时， 的特征值为1 n 1, 2 1的特征值为*AnA 2 1|,|,| 的特征值也是T n, ,21特征值的应用考研论坛 考研论坛 求行列式 nA, |21判别可逆性是 的特征值 不可逆EAE 0 可逆 不是 的特征值。 当 时，如果 ，则 可逆0Afcfc若 是 的特征值，则 是 的特征值 。Af0f不是 的特征值 可逆。cfcEn 阶矩阵的相似关系当 时， ，而 时， 。UABUB相似关系有 i）对称性： A，则1 1ii）有传递性： ， ，则C， ，则BA1V1BVAUUV
28、1命题 当 时， 和 有许多相同的性质 BA ， 的特征多项式相同，从而特征值完全一致。与 的特征向量的关系： 是 的属于 的特征向量 是 的属于 的特征向量。A1UB1111 11 UAU正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性变为 ，则它们同时正定或同时不正定nxf,21 nyg,21，则 ， 同时正定，同时不正定。BA例如 。如果 正定，则对每个ACT0x考研论坛 考研论坛 0ACxxCBxTTT（ 可逆， ， ！）0我们给出关于正定的以下性质正定AE存在实可逆矩阵 ， 。CAT的正惯性指数 。n的特征值全大于 。A0的每个顺序主子式全大于 。判断 正定的三种方法：顺
29、序主子式法。特征值法。定义法。基本概念对称矩阵 。AT反对称矩阵 。简单阶梯形矩阵：台角位置的元素都为 1 ，台角正上方的元素都为 0。如果 是一个 阶矩阵， 是阶梯形矩阵 是上三角矩阵，反之不一定nA矩阵消元法：（解的情况）写出增广矩阵 ，用初等行变换化 为阶梯形矩阵 。AB用 判别解的情况。Bi）如果 最下面的非零行为 ，则无解，否则有解。d0,ii）如果有解，记 是 的非零行数，则B考研论坛 考研论坛 时唯一解。n 时无穷多解。iii）唯一解求解的方法（初等变换法）去掉 的零行，得 ，它是 矩阵， 是 阶梯形矩阵，从而是上三B0 Bcn0Bn角矩阵。则 都不为 。0 nbinb1 就
30、是解。ErBA 行行一个 阶行列式 的值：nnnnaa 212112是 项的代数和!每一项是 个元素的乘积，它们共有 项 其中 是 的一个!njja21 nj21,全排列。 前面乘的应为 的逆序数njja1 nj21nj21n nnj jjja 21 2121Cn代数余子式为 的余子式。ijMijaijiijA1定理：一个行列式的值 等于它的某一行（列） ，各元素与各自代数余子式乘积之和。DnAaaD2221一行（列）的元素乘上另一行（列）的相应元素代数余子式之和为 。0范德蒙行列式考研论坛 考研论坛 个jiinaaa)(11 2nC乘法相关的 位元素是 的第 行和 的第 列对应元素乘积之
31、和。ABji,AiBjnjijijiij babaC21乘积矩阵的列向量与行向量（1）设 矩阵 ， 维列向量 ，则nmnA,21Tnb,21bb1矩阵乘法应用于方程组方程组的矩阵形式，AxTm,21方程组的向量形式nx21（2）设 ，CBsAA,21niiiii bbr的第 个列向量是 的列向量组的线性组合，组合系数是 的第 个列向量的各分Bi量。的第 个行向量是 的行向量组的线性组合，组合系数是 的第 个行向量的各分ABiBA量。矩阵分解当矩阵 的每个列向量都是 的列向量的线性组合时，可把 分解为 与一个矩阵CAC的乘积特别的在有关对角矩阵的乘法中的若干问题nn0,2121 n,21对角矩阵
32、从右侧乘一矩阵 ，即用对角线上的元素依次乘 的各列向量AA对角矩阵从左侧乘一矩阵 ，即用对角线上的元素依次乘 的各行向量考研论坛 考研论坛 于是 ，AE，kkA两个对角矩阵相乘只须把对角线上对应元素相乘对角矩阵的 次方幂只须把每个对角线上元素作 次方幂k对一个 阶矩阵 ，规定 为 的对角线上元素之和称为 的迹数。nAtr A于是 TkTk1Tk1Ttr其他形式方阵的高次幂也有规律例如： 102A初等矩阵及其在乘法中的作用（1） ：交换 的第 两行或交换 的第 两列jiE,ji,Eji,（2） ：用数 乘 的第 行或第 列)(c0i（3） ：把 的第 行的 倍加到第 行上，或把 的第 列的
33、倍加到第 列上。,jijciicj初等矩阵从左（右）侧乘一个矩阵 等同于对 作一次相当的初等行（列）变换A乘法的分块法则一般法则：在计算两个矩阵 和 的乘积时，可以先把 和 用纵横线分割成若干小矩阵来BAB进行，要求 的纵向分割与 的横向分割一致。A两种常用的情况（1） 都分成 4 块BA,，21 21B其中 的列数和 的行数相等， 的列数和 的行数相关。ij1iAj22122112AB（2）准对角矩阵考研论坛 考研论坛 kA021 kkk BABAB0000 212121 矩阵方程与可逆矩阵两类基本的矩阵方程 （都需求 是方阵，且 ）A0BAxIBxI（I）的解法：xE 行（II）的解法
34、，先化为 。TBA。TTxB通过逆求解： ， 1可逆矩阵及其逆矩阵定义：设 是 阶矩阵，如果存在 阶矩阵 ，使得 ，且 ，则称 是可逆AnnHEAHA矩阵，称 是 的逆矩阵，证作 。H1A定理： 阶矩阵 可逆 0求 的方程（初等变换法）11 EA行伴随矩阵TijnnnAA 212121*考研论坛 考研论坛 线性表示可以用 线性表示，即 可以表示为 的线性组合，s,21 s,21也就是存在 使得 sc sc21记号： s,21线性相关性线性相关：存在向量 可用其它向量 线性表示。isii,11 线性无关：每个向量 都不能用其它向量线性表示i定义：如果存在不全为 的 ，使得 则称0sc,21
35、021sc线性相关，否则称 线性无关。s,21 s,即： 线性相（无）关 有（无）非零解s,21 01sx有（无）非零解 ,21s极大无关组和秩定义： 的一个部分组 称为它的一个极大无关组，如果满足：s,21 Ii） 线性无关。Iii） 再扩大就相关。Is,21IIs1定义：规定 的秩 。s,21 s#, 21如果 每个元素都是零向量，则规定其秩为 。s 0ns,mi, 01有相同线性关系的向量组定义：两个向量若有相同个数的向量： ，并且向量方程ss,2121考研论坛 考研论坛 与 同解，则称它们有相同的线性关0,21sxx 021sxx系。对应的部分组有一致的相关性。的对应部分组 ，421, 421,若 相关，有不全为 的 使得01,c，421cc即 是 的解，, 021sxx从而也是 的解，则有021sx，0421cc也相关。3,极大无关组相对应，从而秩相等。有一致的内在线表示关系。设： ， ，则sA,21sB,21即 ，0sxx Ax即 。21s与 有相同的线性关系即 与 同解。s, s,21 0AxB反之，当 与 同解时， 和 的列向量组有相同的线性关系。0AxBAB矩阵的秩定理：矩阵 的行向量组的秩=列向量组的秩规定 行（列）向量组的秩。Ar的计算：用初等变换化 为阶梯形矩阵 ，则 的非零行数即 。r BAr命题： 的非零子式阶数的最大值。
