1、【三年真题重温】1.【2011 新课标全国理，15】已知矩形 ABCD的顶点都在半径为 4 的球 O的球面上，且6AB， 23C，则棱锥 O的体积为 2.【2011 A 新课标全国文，16】已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上若圆锥底面面积是这个球面面积的 163 ，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 3.【2010 新课标全国理，10】设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为 ，顶点都在一a个球面上，则该球的表面积为(A) (B) (C) (D) 2a273a213a254.【2010 新课标全国文，7】设长方体的长、宽、高分别为 2a、a、
2、a, 其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（A）3 a2 （B） 6 a2 （C）12 a2 （D） 24 a25.【2012 新课标全国理】已知三棱锥 的所有顶点都在球 的求面上， 是边SABCOABC长为 的正三角形， 为球 的直径，且 ；则此棱锥的体积为（ ）1SCO2()A26()B36()3()D26.【2012 新课标全国文】平面 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 的距离为 ，则此球的体积为 2（A） （ B）4 （C）4 （D）6 6 3 6 3【命题意图猜想】1.2011 年理科高考是四棱锥和球的组合体，文科是圆锥和球的组合体，2010 年理科考查的是三棱
3、柱与球的组合体，文科考查的是长方体与球的组合体.2012 年理科考查了三棱锥与球的组合体，试题难度较去年增大，文科只是简单考查了单一的几何体球的计算问题.从整体上看，试题难度理科较文科大，均需要学生有较强的画图能力和空间想象能力.并且均与球的外接或内切紧密联系到一起，猜想 2013 年高考试题不会逃离两个几何体的组合，且与球的组合体仍然是一个热点，以一种新颖的几何体的形态出现,考查几何体的体积或表面积.2.从近几年的考试题来看，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面
4、积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测 2013年高考仍将以空间几何体的表面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力【最新考纲解读】(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(2)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆)【回归课本整合】3.球（1）球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体；与定点距离等于定长的点的集合叫做球面. （2）球的截面：用一平面 去截一个球 ，设 是平面 的垂线段， 为垂足
5、，且OO，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以 为半径的一个圆，Od 2rRd截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆（3）球的表面积公式： .24SR4.棱柱、棱锥与球的体积（1）棱柱：体积底面积高，或体积 直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积V底面积侧棱长；三棱柱的体积 （其中 为三棱柱一个侧面的面积， 为与此12Sdd侧面平行的侧棱到此侧面的距离）（2）棱锥：体积 底面积高.31（3）球的体积公式： .34VR平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面) 是全等的矩形除了这两条重要特征外，还应掌握下面的一些重要属性所有的轴截面是以两
6、底面直径和两条母线为边的全等矩形，若该矩形为正方形，则圆柱叫等边圆柱用平行于轴的平面去截圆柱，所得的截面是以底面圆的弦和两条母线为边的矩形也就是说过圆柱任意两条母线的截面一定是一个矩形，在这所有的截面矩形中，以轴截面面积最大(3)圆锥的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面(轴截面) 是全等的等腰三角形；过圆锥两条母线的截面当轴截面的顶角不大于 90时，轴截面面积最大；当轴截面顶角大于 90时，两母线垂直时截面面积最大(4)圆台的结构特征平行于底面的截面都是圆；过轴的截面是全等的等腰梯形2.正方体与球（1）正方体的内切球： 截面图为正方形 EFGH 的内切圆，如图所示.设正方体的棱长为 ，
7、则 .a2aOJr1. 求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割” 、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的
8、计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素2.求体积常见方法直接法（公式法） ；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥 三棱柱平行六面体；
9、分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 1：2 ：3 和等积变换法(平行换点、换面)和比例( 性质转换) 法等.3.常见的特殊几何体的性质（1）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.平行六面体 直平行六面体 长方体 正四棱柱 正方体；平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.（2）长方体：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ，则 cos2 + ,cos2 +cos2 =1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角
10、分别为 则 cos2 +cos2 +cos2,=2.【考场经验分享】1注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体2棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形3注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形4将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.5与球有
11、关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点” 、 “接点”作出截面图.6.关于组合体的考查一般放在压轴的选择或填空的位置，难度较大，需具有较强的画图能力和空间想象能力，尤其是与球相关的内切与外接问题，具有一定的规律和常用的结论，故总结常用的类型，形成解题的套路和模式.【新题
12、预测演练】1.【2013 届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】若棱长均为的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为 （ ）A. 3B. 7 C. 23D. 2132.【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末理】在棱长为 1 的正方体 中，1ABCD点 ， 分别是线段 ， （不包括端点）上的动点，且线段 平行于平面1P2AB1D12P，则四面体 的体积的最大值是 AD12PA B C D41623.【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】如图，已知球 O是棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1 的内切球，则平面 ACD1 截球 O 的截面面积为（ ）A 6B 3C
13、 3D4.【东北三省三校 2013 届高三 3 月第一次联合模拟考试】点 在同一个球的球面上，ABCD、 、 、， ，若四面体 体积的最大值为 ，则这个球的表面积为 2ABCAABCD23（ ）A 3 B C D 125682542516【答案】C5.【河北省唐山市 2012-2013 学年度高三年级摸底考试】在三棱锥 PABC 中，PAPB=PC= 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（A） (B) 3 (C)4 （D) 46.【天津市新华中学 2013 届高三上学期第三次月考数学试卷】已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上， ABC是边长为
14、1的正三角形， SC 为球 O的直径，且 2，则此棱锥的体积为（ ）A. 26 B. 36 C. 2 D. 7.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】如图，设正方体的棱长为 1，E、F 分别是 、 的中点，则点 A 到平面 EFDB 的距1ABCD1BC1D离为A B C D1328.【云南玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】四面体 中，BCDA则四面体外接球的表面积为（ ）,5,4BDACBDAA B C D 34336189.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上， AB=6， ，棱锥 O-ABCD
15、的体积为 ，则球 O 的表面积为23BC8310.【2012-2013 学年度河北省普通高中 11 月高三教学质量监测 】已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为 时，其高的值为（ ）6A B C D26311.【2012 河北省名校名师俱乐部高三第二次调研考试】已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 R 的球 O 的球面上，AB=6， ，棱锥 O-ABCD 的体积为 ，则球 O 的表面积为23BC83A B C D1648612.【2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测 】.已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球
16、面上，当正棱柱的体积最大值时，其高的值为（ ）A B C D263棱柱的体积最大。13.【 2012-2013 学年度河北省普通高中高三 11 月教学质量监测】已知 ABCD 为正方形，点 P为平面 ABCD 外一点， ， ，二面角 为 ，则点 C 到平PDA2PAD06面 PAB 的距离为 14.【云南师大附中 2013 届高三适应性月考卷（三）】正三棱锥 ABCD 内接于球 O，且底面边长为 ，侧棱长为 2，则球 O 的表面积为_ 315.【北京四中 2012-2013 年度第一学期高三年级期中】湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球取出，冰面上留下了一个直径为 12 cm，深 2 cm 的空
17、穴，则该球的半径是_cm，16.【 2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正四面体的表面积为 ，其内切球的表面1S积为 ，则 _.2S117.【2013 年长春市高中毕业班第一次调研测试】若一个正方体的表面积为 ，其外接球的表面积为1S，则 _.2S118.【云南玉溪一中高 2013 届高三上学期第三次月考】 设动点 在棱长为 1 的正方体P的对角线 上，记 .当 为钝角时，则 的取值范围是 .1ABCD1BD1PAC19.【 河南中原名校 20122013 学年度第一学期期中联考】已知球Ol、O 2 的半径分别为 l、r，体积分别为 V1、V 2，表面积分别为 S1、S 2，当
18、时，(1,)r的取值范围21S是 . （第 17 题）APDCB20.【江苏省南通市 2013 届高三第二次调研测试】 若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为 2 cm 的半圆，则该圆锥的高为 cm21.【2013 河北省名校名师俱乐部高三 3 月模拟考试】 在三棱柱 中，侧棱垂直底1ABC面， ， ，BC=1 ，且三棱柱 的体积为 3，则三棱柱09ACB0A1的外接球的表面积为 1 2416S表【2012-2013 学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试】已知 A，B ，C，D 四点在半径为的球面上，且 ，AD=BC=5 ，AB=CD ，则三棱锥 DABC 的体积是 22.【云南
19、玉溪一中 2013 届第四次月考试卷】已知正三棱锥 ，点 都在半径ABCP,为 的球面上，若 两两互相垂直，则球心到截面 的距离为_.3PCBA,23.【2013 年乌鲁木齐地区高三年级第一次诊断性测验试卷】 如图，单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 P 在平面 A1BC1 上，则三棱锥 P-ACD1 的体积 为_24 【广西百所高中 2013 届高三年级第三届联考】如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，AB=BC=2，AA 1=1，E 为 A1D1 的中点，则 BE 与平面 BB1D1D所成角的正弦值为 。25.【2012-2013 学年辽宁省丹东市四校协作体高三摸底考试（零诊） 】设某几何体的三视图如图（尺寸的长度单位为： m） ，若该几何体的各个顶点都在同一球面上，则此球的表面积等于 m2（答案用含有 的式子表示）
