1、1第二章、第三章 三角函数及三角变换一、 概念基本名称 内 容 及 定 义任意角的基本概念平面内的一条射线 围绕着它的端点 旋转到另一个位置 所形成的图形就OAOOB叫做角. 记为: 其中: 旋转开始时的射线 叫做角的始边;旋转终止时的射线 叫做角的终边;B射线的端点 叫做角 的顶点. 射线 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角;OA射线 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角;射线 没有作任何旋转的图形规定叫做零角. 在平面直角坐标系 中,使任意角 的顶点 与坐标原点xoyO对齐,始边 与 轴的正半轴重合,则角 的终边 落在AB第几象限就称该角 是第几象限内的角;当角 的终边 与坐标轴重合时, 称
2、该角 是轴线角.OB性质所有与角 终边相同的的角,连同角 在内(而且只有这样的角), 都可以用式子:, 来表示.036kZk弧度制在一个圆 中,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. O记为: 1 (实数单位)注意: 在弧度制下,角的大小与实数之间建立起了“一一对应”的关系；即：“角的大小”可以用“实数”来表示. 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是零. 任意一已知角的弧度数的绝对值 ,rl|其中: 为以角 作圆心角时所对圆弧的长, 为圆的半径;l 扇形面积公式： lRS21其中: 是以 为圆心角的扇形所对的圆弧长, 为扇形所在圆的半径;l R 弧度制与角度制的互
3、化:(弧度) 1(弧度)=0180182二、 任意角的三角函数名称 内 容定义在平面直角坐标系 中,xoy设: 是角 终边上任意一点 , 是点 到坐标原点 的距离.),(yxPrPO那么角 的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割分别是正弦: 正切 : 正割: rsinxytanxrsec余弦: 余切 : 余割: xcocoy注意：它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，这些函数都叫做三角函数.其中: 正弦函数: 余弦函数: xysinxycos正切函数: 余切函数: tat正割函数: 余割函数: ec三角函数 定义域 值域xysinRx| 1,ycota Zk,2,| Rxyx| ysecR
4、, .0,定义域与值域 Zk|图象3正弦函数 正弦函数 xysinR在每一个区间 上都是从 增k2,2)(Z1大到 1 的增函数;在每一个区间 上都是从 1 减3,)(小到 的减函数. 正弦函数 是奇函数;xysinR 正弦函数 是周期函数, 周期是( ),最小正周期是 ;kT20,Z2 正弦函数 的图象si关于点 中心对称;,)关于直线 轴对称.kx2( 当 时,)Z正弦函数 取得最大值 1,xysinR当 时,kx2)(正弦函数 取得最小值 .i1性质余弦函数余弦函数 xycosR在每一个区间 上都是从 1 减小到 的k2,)(Z减函数.在每一个区间 上都是从 增大到 1的增函数; 余弦函
5、数 是偶函数;xycosR 余弦函数 是周期函数; 周期是 ( ), 最小正周期是 ;kT20,Z2 余弦函数 的图象s关于点 中心对称;,)关于直线 轴对称.kx( 当 时,2)Z余弦函数 取得最大值 1,xycosR当 时,(余弦函数 取得最小值 .14正切函数与余切函数正切函数 在每一个定义区间xytan上都是增函数; k2,)(Z余切函数 在每一个定义区间 上都cotk,)(Z是增函数.正切函数 在定义域内是奇函数, xyan余切函数 在定义域内是偶函数.t正切函数 、余切函数 在定义域内都是xycot周期函数,周期都是 ( ), 最小正周期是 .kT0,Z正切函数 在定义域内关于点
6、中心对称,xytank,2)(Z余切函数 在定义域内关于点 中心对称.coo,三角函数值终边相同的角的同一个三角函数值相等. 即: 诱导公式一 )(Zksin360sin cs)360cs(ktata otot终边相同的角的三角函数性质三角函数值之间的关系平方关系： ；1cssi22；etan1.o商数关系： ;csit.in倒数关系： ;1si;eco.tta5单位圆中的三角函数线在平面直角坐标系 中,以坐标原点 为圆心, 以 1 为半径作xoyO一个单位圆 ,设:圆 交 轴正半轴于点 (1,0), 交 轴正半轴于OAy点 ;)1,0(B任意角 的顶点 与坐标原点对齐,始边 与 轴的正半轴重
7、x合,则角 的终边 与单位圆 相交,设: 交点为 ;),(P 由交点 向 轴作垂线,设垂足是 ;PxM 由点 作单位圆 的切线,切线是 ,Al设:切线 交角 的终边 (或终边 的反向延长线)于lOB点 ;T 由点 作单位圆 的切线,切线是 .Bl设:切线 交角 的终边 (或终边 的反向延长线 )于l点 .S(如图):则: 任意角 的三角函数值都可以用单位圆 中的有向线段O来表示;BSATOMP、其中: 有向线段 叫做正弦线(即: ); MPsin有向线段 叫做余弦线(即: );co有向线段 叫做正切线(即: ); ATta有向线段 叫做余切线(即: ).SBS6三、 三角变换公式名 称 公 式
8、诱导公式公式一： )(Zksin360sin cos)360cos(ktata tt公式二：i)i()(tt ctct公式三：sin)180sin(os)180os(tata tt公式四：i)i(0c)c(0tn18tn ot18ot公式五：si)36si(0s)36s(0tata ctct公式六：co)9in(0in)9o(0tt tat公式七：s)si(0si)cs(0ot9tan tn9t公式八：)27i(0i)27(0ctt tact公式九：os)sin(0sin)s(0t27ta t27t注意： 上述“诱导公式”是在“角度制”下；在“弧度制”下，具有相应的“诱导公式” ，只要我们将上
9、述公式中的“90 换为 、180 0换为 、 ”23600换 为、换 为即可；7两角和与两角差公式两角和公式： sincosin)si(cota1tta两角差公式： sincosin)si(cota1tta倍角公式; 降幂公式：csin2si 2cos1sin22iocc; 升幂公式: 。1 2i. .2tanta coss1半角公式;cossi;21co.costancsinios1积化和差与和差化积积化和差： ;)()i(21si ;sinsn;)co()c(ocs .ss21i 和差化积： ;2cinsn;sioi;c2cso.2sini万能公式, , .2tan1sita1cos22tan1t
