1、诱 导 公 式 诱 导 公 式 常 用 的 诱 导 公 式 有 以 下 几 组 ：公 式 一 ：设 为 任 意 角 ， 终 边 相 同 的 角 的 同 一 三 角 函 数 的 值 相 等 ：sin（ 2k ） sin （ k Z）cos（ 2k ） cos （ k Z）tan（ 2k ） tan （ k Z）cot（ 2k ） cot （ k Z）公 式 二 ：设 为 任 意 角 ， + 的 三 角 函 数 值 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ：sin（ ） sincos（ ） costan（ ） tancot（ ） cot公 式 三 ：任 意 角 与 - 的 三 角 函 数
2、值 之 间 的 关 系 ：sin（ ） sincos（ ） costan（ ） tancot（ ） cot公 式 四 ：利 用 公 式 二 和 公 式 三 可 以 得 到 - 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ：sin（ ） sincos（ ） costan（ ） tancot（ ） cot公 式 五 ：利 用 公 式 一 和 公 式 三 可 以 得 到 2- 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关 系 ：sin（ 2 ） sincos（ 2 ） costan（ 2 ） tancot（ 2 ） cot公 式 六 ：/2 及 3/2 与 的 三 角 函 数 值 之 间 的 关
3、系 ：sin（ /2 ） coscos（ /2 ） sintan（ /2 ） cotcot（ /2 ） tansin（ /2 ） coscos（ /2 ） sintan（ /2 ） cotcot（ /2 ） tansin（ 3/2 ） coscos（ 3/2 ） sintan（ 3/2 ） cotcot（ 3/2 ） tansin（ 3/2 ） coscos（ 3/2 ） sintan（ 3/2 ） cotcot（ 3/2 ） tan(以 上 k Z) 注 意 ： 在 做 题 时 ， 将 a 看 成 锐 角 来 做 会 比 较 好 做 。 诱 导 公 式 记 忆 口 诀 规 律 总 结 上 面
4、 这 些 诱 导 公 式 可 以 概 括 为 ：对 于 /2*k (k Z)的 三 角 函 数 值 ， 当 k 是 偶 数 时 ， 得 到 的 同 名 函 数 值 ， 即 函 数 名 不 改 变 ； 当 k 是 奇 数 时 ， 得 到 相 应 的 余 函 数 值 ， 即 sin cos;cos sin;tan cot,cottan. （ 奇 变 偶 不 变 ）然 后 在 前 面 加 上 把 看 成 锐 角 时 原 函 数 值 的 符 号 。（ 符 号 看 象 限 ）例 如 ：sin(2 ) sin(4/2 )， k 4 为 偶 数 ， 所 以 取 sin。当 是 锐 角 时 ， 2 (270，
5、 360)， sin(2 ) 0， 符 号 为 “ ”。所 以 sin(2 ) sin上 述 的 记 忆 口 诀 是 ：奇 变 偶 不 变 ， 符 号 看 象 限 。公 式 右 边 的 符 号 为 把 视 为 锐 角 时 ， 角 k360+（ k Z） ， -、 180， 360-所 在 象 限 的 原 三 角 函 数 值 的 符 号 可 记 忆水 平 诱 导 名 不 变 ； 符 号 看 象 限 。各 种 三 角 函 数 在 四 个 象 限 的 符 号 如 何 判 断 ， 也 可 以 记 住 口 诀 “一 全 正 ； 二 正 弦 (余割 )； 三 两 切 ； 四 余 弦 (正 割 )” 这 十
6、 二 字 口 诀 的 意 思 就 是 说 ： 第 一 象 限 内 任 何 一 个 角 的 四 种 三 角 函 数 值 都 是 “ ”； 第 二 象 限 内 只 有 正 弦 是 “ ”， 其 余 全 部 是 “ ”； 第 三 象 限 内 切 函 数 是 “ ”， 弦 函 数 是 “ ”； 第 四 象 限 内 只 有 余 弦 是 “ ”， 其 余 全 部 是 “ ” 上 述 记 忆 口 诀 ,一 全 正 ,二 正 弦 ,三 内 切 ,四 余 弦还 有 一 种 按 照 函 数 类 型 分 象 限 定 正 负 ：函 数 类 型 第 一 象 限 第 二 象 限 第 三 象 限 第 四 象 限正 弦 .
7、余 弦 . 正 切 . 余 切 . 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 式倒 数 关 系 :tan cot 1sin csc 1cos sec 1商 的 关 系 ：sin/cos tan sec/csccos/sin cot csc/sec平 方 关 系 ：sin2() cos2() 11 tan2() sec2()1 cot2() csc2() 两 角 和 差 公 式两 角 和 与 差 的 三 角 函 数 公 式sin（ ） sincos cossinsin（ ） sincos cossincos（ ） coscos sinsincos（ ） c
8、oscos sinsintan（ ） (tan+tan) (1-tantan)tan（ ） (tan tan) (1 tantan) 二 倍 角 公 式二 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 （ 升 幂 缩 角 公 式 ）sin2 2sincoscos2 cos2() sin2() 2cos2() 1 1 2sin2()tan2 2tan/1 tan2() 半 角 公 式半 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式 （ 降 幂 扩 角 公 式 ）sin2(/2) (1 cos) 2cos2(/2) (1 cos) 2tan2(/2) (1 cos) (1 cos)另 也
9、有 tan(/2)=(1 cos)/sin=sin/(1+cos) 万 能 公 式万 能 公 式 sin=2tan(/2)/1+tan2(/2) cos=1-tan2(/2)/1+tan2(/2) tan=2tan(/2)/1-tan2(/2) 万 能 公 式 推 导附 推 导 ：sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2()*，（ 因 为 cos2()+sin2()=1）再 把 *分 式 上 下 同 除 cos2()， 可 得 sin2 2tan/(1 tan2()然 后 用 /2 代 替 即 可 。同 理 可 推 导 余 弦 的 万 能 公 式 。 正 切 的 万
10、能 公 式 可 通 过 正 弦 比 余 弦 得 到 。 三 倍 角 公 式三 倍 角 的 正 弦 、 余 弦 和 正 切 公 式sin3 3sin 4sin3()cos3 4cos3() 3costan3 3tan tan3() 1 3tan2() 三 倍 角 公 式 推 导附 推 导 ：tan3 sin3/cos3 (sin2cos cos2sin)/(cos2cos-sin2sin) (2sincos2() cos2()sin sin3()/(cos3() cossin2() 2sin2()cos)上 下 同 除 以 cos3()， 得 ：tan3 (3tan tan3()/(1-3tan
11、2()sin3 sin(2 ) sin2cos cos2sin 2sincos2() (1 2sin2()sin 2sin 2sin3() sin 2sin3() 3sin 4sin3()cos3 cos(2 ) cos2cos sin2sin (2cos2() 1)cos 2cossin2() 2cos3() cos (2cos 2cos3() 4cos3() 3cos即sin3 3sin 4sin3()cos3 4cos3() 3cos 三 倍 角 公 式 联 想 记 忆 记 忆 方 法 ： 谐 音 、 联 想正 弦 三 倍 角 ： 3 元 减 4 元 3 角 （ 欠 债 了 (被 减 成
12、 负 数 )， 所 以 要 “挣 钱 ”(音 似 “正 弦”)）余 弦 三 倍 角 ： 4 元 3 角 减 3 元 （ 减 完 之 后 还 有 “余 ”）注 意 函 数 名 ， 即 正 弦 的 三 倍 角 都 用 正 弦 表 示 ， 余 弦 的 三 倍 角 都 用 余 弦 表 示 。 另 外 的 记 忆 方 法 :正 弦 三 倍 角 : 山 无 司 令 (谐 音 为 三 无 四 立 ) 三 指 的 是 “3 倍 “sin, 无 指 的 是 减 号 , 四 指 的 是 “4 倍 “, 立 指 的 是 sin 立 方余 弦 三 倍 角 : 司 令 无 山 与 上 同 理 和 差 化 积 公 式三
13、角 函 数 的 和 差 化 积 公 式sin sin 2sin( )/2cos( )/2sin sin 2cos( )/2sin( )/2cos cos 2cos( )/2cos( )/2 cos cos 2sin( )/2sin( )/2 积 化 和 差 公 式三 角 函 数 的 积 化 和 差 公 式sin cos 0.5sin( ) sin( )cos sin 0.5sin( ) sin( )cos cos 0.5cos( ) cos( )sin sin 0.5cos( ) cos( ) 和 差 化 积 公 式 推 导附 推 导 ：首 先 ,我 们 知 道 sin(a+b)=sina*c
14、osb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我 们 把 两 式 相 加 就 得 到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所 以 ,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同 理 ,若 把 两 式 相 减 ,就 得 到 cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同 样 的 ,我 们 还 知 道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所 以 ,把 两 式 相 加 ,我 们 就 可 以 得 到 cos(a+b)+cos(a-b)
15、=2cosa*cosb所 以 我 们 就 得 到 ,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同 理 ,两 式 相 减 我 们 就 得 到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这 样 ,我 们 就 得 到 了 积 化 和 差 的 四 个 公 式 :sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好 ,有 了 积 化 和 差 的 四 个 公 式 以 后 ,我 们 只 需 一 个 变 形 ,就 可 以 得 到 和 差 化 积 的 四 个公 式 .我 们 把 上 述 四 个 公 式 中 的 a+b 设 为 x,a-b 设 为 y,那 么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分 别 用 x,y 表 示 就 可 以 得 到 和 差 化 积 的 四 个 公 式 :sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2)
