1、对数学的认识（一）概念：数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。（二）数学发展划分为以下五个时期：数学萌芽期（公元前 600 年以前） ；初等数学时期（公元前 600 年至 17 世纪中叶） ；变量数学时期（17 世纪中叶至 19 世纪 20 年代） ；近代数学时期（19 世纪 20 年代至第二次世界大战） ；现代数学时期（20 世纪 40 年代以来） 。（三）数学与其它学科的关系 。 数学是一种语言，是一种科学的共同语言，可用来描述宇宙。任一门科学只有使用了数学，才成为一门科学，否则就是不完善与不成
2、熟的。宇宙和人类社会就是用数学语言写成的一本大书。数学是打开科学大门的钥匙，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。数学是一种思维的工具，自然哲学认为任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学。数学是一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。 （四）数学史上一共爆发了三次数学危机：第一次：无理数的发现。 毕达哥拉斯学派认为自然界的任何数都可以由整数或整数之比表示，但其学派成员发现了直角边长均为的直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约），该悖论触犯了毕氏学派的根本信条，导致了第一次数学危机产生。 第二次：无穷小是零吗？ 在微积分蓬勃
3、发展时一位哲理学家指出应用无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此引发了第二次数学危机。第三次：悖论的出现。 在 19 世纪，集合概念已经渗透到众多的数学分支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑，史称第三次数学危机。（五）数学是美丽的。其代表有 A.完美数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。B.素数质数又称素数。指在一个大于 1 的自然数中，除了 1 和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个因数（1 和自己）的自然数即为素数。素数与素数对的分布规律：N 和 2
4、N 之间至少有一个素数。两个奇数之和是偶数,素数除去 2 以外都是奇数。C.无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。无理数的发现引发了第一次数学危机的产生。D黄金分割。黄金分割又称黄金律因数，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为 10.618 或 1.6181数学悖论悖论 是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。 数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无
5、法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。起 源 可 以 一 直 追 溯 到 古 希 腊 和 我 国 先 秦 时 代 。三个悖论引发的三次数学危机。 第一次：无理数的发现。 毕达哥拉斯学派认为自然界的任何数都可以由整数或整数之比表示，但其学派成员发现了直角边长均为的直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约），该悖论触犯了毕氏学派的根本信条，导致了第一次数学危机产生。 第二次：无穷小是零吗？ 在微积分蓬勃发展时一位哲理学家指出应用无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此引发了第二次数学危机。 第三次：悖论的出现。在 19 世纪，集合概念已经渗透到众多的数学分
6、支，并且实际上集合论成了数学的基础，因此集合论中悖论的发现自然地引起了对数学的整个基本结构的有效性的怀疑， 罗素提出的关于“集合论” 的悖论，它导致了数学史上第三次危机。罗素把集合论悖论用数学语号称天衣无缝、绝对严密的精确数学居然在基础问题上就明显地自相矛盾。数学悖论、数学危机对数学的起推动作用。数学悖论往往导致数学危机产生，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。正如希尔伯特在论无限一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果
7、甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。数学史上的三大危机数学的发展史中曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。第一次危机发生在古希腊，毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯学派所说的数，原来是指整数。该学派的希伯索斯根据毕达哥拉斯定理通过逻辑推理发现，边长为 1
8、 的正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示。希伯索斯的发现冲击了传统的数学，这就是第一次数学危机。最后，这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制，所谓的数学危机也就不复存在了。第一次危机的产生最大的意义导致了无理数地产生。第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地微积分。牛顿在推导一些力学和几何学的公式及应用时发现这些公式是正确的，但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾焦点是：无穷小量是零还是非零？如果是零，怎么能用它
9、做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？19 世纪，柯西详细而有系统地发展了极限理论。认为把无穷小量作为确定的量，是说不过去，它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量本质上它是变量，且是以零为极限的量，柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外 Weistrass 创立了极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而第二次数学危机基本解决。第三次数学危机发生在 1902 年，罗素悖论的产生震撼了整个数学界，号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。其中之一是 “理发师悖论”，就是一位理发师给不给自己理发的人理发。那么理发师该不该给自己理发呢？罗素在该悖论中所定义的集合 R，被几乎所有集合论
10、研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。解决这场危机的办法之一是回避悖论。首先德国数学家策梅罗提出七条公理，在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。数学的发展史中曾发生过三大危机，危机的发生促使了数学本生的发展，因此我们应该辨证地看待这三大危机。数学与其它学科的关系1、数学是一种语言，是一种科学的共同语言，若没有数学语言，宇宙就是不可描述的，因而也就是永远是无法理解的。任何一门科学只有使用了数学，才成其为一门科学，否则就是不完善与不成熟的。、2、数学与物理：数学是打开科学大门的钥匙。忽视数学必将伤害所有的
11、知识，因为忽视数学的人是无法了解任何其他科学乃至世界上任何其他事物的。几千年来，凡是有意义的科学理论与实践成就，无一例外地借助于数学的力量。例如，没有微积分就谈不上力学和现代科学技术，没有麦克斯威尔方程就没有电波理论，伦琴因发现 X 射线于 1901 成为诺贝尔的第一位获奖人，记者问他需要什么时，他回答：“第一是数学，第二是数学，第三还是数学。”3、数学与哲学：自然哲学认为：任何事物都是量和质的统一体，数学就是研究量的科学，它不断地发现、总结和积累了很多人类对量的方面的规律，这些都是人们认识世界的有力工具。这里举两个例子：一个是自然科学的，一个是社会科学的。我们企图找到一个不经手术就可以准确确
12、定人体内的器官位置、密度和三维形状的方法，可惜借助 X 射线只能绘出二维信息图。这个问题难倒了工程师很多年，后来遇到数学家的工作，即 R变换，考尔麦克把 X 射线从许多不同角度照射人体，再运用计算机进行数学变换，导致 CT 数据透视仪的诞生。现这一方法进一步推广到核磁共振领域，使图像分辨率更高。从本质上说，这两项技术只不过是，先大量测量一维的物理量，再用数学技巧来重构三维图像而已。另一例子：现代经济学家使数学进入了经济学领域，构建了平衡模型，可以预言自由市场的经济行为，这方面的工作使阿洛获得了诺贝尔经济学奖，他的哈佛大学的同事看了这篇得奖论文说，这些应用在数学中是很基本的，很多哈佛大学一年级学
13、生就可以完成。可见掌握数学工具后，在其它领域中进行应用，并不是一件困难的事，而且有时甚至是一个很大的成就。4、数学与艺术：数学是一门艺术，一门创造性艺术。美是艺术的一种追求，美也是数学中一种公认的评价标准。数学的美体现在和谐性、对称性、简洁性，这三性上。数学家不断地追求美好的新概念、新方法、新结论，因此数学是创造性艺术。人们掌握了数学，可以陶冶人的美感，培养理性的审美能力，一个人数学造诣越深，越是拥有一种直觉力，这种直觉力实际就是理性的洞察力、由美感驱动的选择力，最终成为创造美好新世界的驱动力。数学美数学是理性思维和想象的结合，它的发展建立于社会的需求，所以就有了数学美。主要有：统一性、对称性
14、、简单性。统一性：统一性反映的是审美对象在形式或内容上的某种共同性、关联性或一致性,它能给人一种整体和谐的美感。数学对象的统一性通常表现为数学概念、规律、方法的统一,数学理论的统一,数学和其它科学的统一。 （1） 数学概念、规律、方法的统一。数学概念、数学定理、数学公式、数学法则也是互相联系的，在一定条件下可处于一个统一体之中。例如，运算、变换、函数分别是代数、几何、分析这三个数学分支中的重要概念,在集合论中,便可统一于映射的概念。在数学方法上，数学中的公理化方法,使零散的数学知识用逻辑的链条串联起来,形成完整的知识体系,在本质上体现了部分和整体之间的美。 （ 2） 数 学 理 论 的 统 一
15、 。 数 学 理 论 的 统 一 性 主 要 表 现 在 它 的 整 体 性 趋 势 ， 在 数 学 的 高 度 统 一 性 上 给 人 一美 的 启 迪 。 （ 3） 数 学 和 其 它 科 学 的 统 一 。 数 学 和 其 它 科 学 的 相 互 渗 透 ， 导 致 了 科 学 数 学 化 。 一 门 科 学 只 有 当 它 成功 的 运 用 数 学 时 ,才 算 达 到 了 真 正 完 善 的 地 步 。 力 学 的 数 学 化 使 牛 顿 建 立 了 经 典 力 学 体 系 。 科 学 的 数 学 化 使 物 理 学 与数 学 趋 于 统 一 。 化 学 的 数 学 化 加 速 了
16、化 学 这 门 实 验 性 很 强 的 学 科 向 理 论 科 学 和 精 确 科 学 过 渡 而 且 数 学 方 法 进入 了 社 会 科 学 领 域 ,日 益 显 示 出 它 的 效 用 。对 称 性 ： 对 称 性 反 映 的 是 审 美 对 象 形 态 或 结 构 的 均 衡 性 、 匀 称 性 或 变 化 的 周 期 性 、 节 律 性 。 数 学 的 对 称 美 ,实质 上 是 自 然 物 的 和 谐 性 在 量 和 量 的 关 系 上 最 直 观 的 表 现 。 从 数 学 美 来 讲 ,对 称 包 括 狭 义 对 称 、 常 义 对 称 与 泛 对 称 等 。狭 义 对 称 可
17、 分 为 代 数 对 称 与 几 何 对 称 ， 常 义 对 称 包 括 同 构 、 同 态 、 映 射 等 ， 泛 对 称 包 括 数 学 对 象 的 系 统 性 、 守 恒 性 、等 价 性 和 匀 称 等 。 简 单 性 ： 简 单 、 明 快 才 能 给 人 以 和 谐 之 感 ,繁 杂 晦 涩 就 谈 不 上 和 谐 一 致 。 数 学 美 的 简 单 性 ， 并 非 指 数 学 对 象 本身 简 单 、 浅 显 ,而 是 指 数 学 对 象 由 尽 可 能 少 的 要 素 通 过 尽 可 能 简 捷 、 经 济 的 方 式 组 成 ,并 且 蕴 含 着 丰 富 和 深 刻 的 内
18、容 。数 学 的 简 单 美 ,主 要 表 现 在 数 学 的 逻 辑 结 构 、 数 学 的 方 法 和 表 达 形 式 的 简 单 性 。 （ 1） 数 学 结 构 的 简 单 美 。 著 名的 皮 亚 诺 算 术 公 理 系 统 ,就 是 逻 辑 结 构 简 单 美 的 一 个 典 范 。 （ 2） 数 学 方 法 的 简 单 美 。 简 单 性 是 数 学 方 法 美 的 重 要标 志 。 数 学 中 所 谓 美 的 问 题 是 指 一 个 难 于 解 决 的 问 题 ,所 谓 美 的 解 答 则 是 指 一 个 困 难 、 复 杂 问 题 的 简 单 回 答 希 尔伯 特 解 决 果
19、 尔 丹 问 题 的 存 在 性 证 明 方 法 就 是 数 学 方 法 简 单 美 的 一 个 范 例 。 （ 3） 数 学 形 式 的 简 单 美 。 数 学 形 态 美 ，是 数 学 美 的 外 部 表 现 形 态 ， 是 数 学 定 理 和 数 学 公 式 的 外 在 结 构 中 呈 现 出 来 的 美 。 如 ， 爱 因 斯 坦 用 E=mc2 揭 示 了自 然 界 的 质 量 和 能 量 的 转 换 关 系 ； 这 里 F=ma、 E=mc2 就 外 在 形 式 而 论 ， 都 是 非 常 简 洁 的 ， 不 失 为 数 学 形 态 美 的 范例 。 数 学 美 的 表 现 形 式
20、 主 要 在 语 言 美 和 简 洁 美 两 方 面 。（ 一 ） 语 言 美 ： 数 学 有 着 自 身 特 有 的 语 言 数 学 语 言 ， 包 括 数 的 语 言 和 形 的 语 言 。数 的 语 言 （ 符 号 语 言 ） ： 关 于 “” ， 九 章 算 术 说 ： “割 之 弥 细 ， 所 失 弥 小 ， 割 之 又 割 ， 以 至 于 不 可 割 ， 则与 圆 合 体 ， 而 无 所 失 矣 ”； 面 对 “2”这 一 差 点 被 无 理 的 行 为 淹 没 的 无 理 数 ， 我 们 一 直 难 以 忘 怀 那 位 因 发 现 “边 长 为1 的 正 方 形 ， 其 对 角
21、线 长 不 能 表 示 成 整 数 之 比 ”这 一 “数 学 悖 论 ”而 被 抛 进 大 海 的 希 帕 索 斯 。 还 有 sin、 等 等 ， 无不 将 数 的 完 美 与 精 致 表 现 得 淋 漓 尽 致 。 形 的 语 言 （ 视 角 语 言 ） ： 从 形 的 角 度 来 看 对 称 性 （ “中 心 对 称 ”、 “轴 对 称 ”演 绎 了 多 少 遥 相 呼 应 的 缠绵 故 事 ） ； 比 例 性 （ 美 丽 的 “黄 金 分 割 法 ”分 出 的 又 岂 止 身 材 的 绝 妙 配 置 ？ ） ； 和 新 颖 性 （ 一 个 接 一 个 数 学 “悖 论 ”的 出 现
22、， 保 持 了 数 学 乃 至 所 有 自 然 科 学 的 新 鲜 与 活 力 ） 等 等 。 （ 二 ） 简 洁 美 ： 本 质 上 终 究 是 简 单 性 。 只 有 借 助 数 学 ， 才 能 达 到 简 单 性 的 美 学 准 则 。 朴 素 ， 简 单 ， 是 其 外在 形 式 。 只 有 既 朴 实 清 秀 ， 又 底 蕴 深 厚 ， 才 称 得 上 至 美 。 欧 拉 给 出 的 公 式 ： V E+F=2， 堪 称 “简 单 美 ”的 典 范 。世 间 的 多 面 体 有 多 少 ？ 没 有 人 能 说 清 楚 。 但 它 们 的 顶 点 数 V、 棱 数 E、 面 数 F， 都 必 须 服 从 欧 拉 给 出 的 公 式 ， 一 个如 此 简 单 的 公 式 ， 概 括 了 无 数 种 多 面 体 的 共 同 特 性 ， 能 不 令 人 惊 叹 不 已 ？
