1、探究欧拉不等式薛畅前些日子，我在做画三角形的内切圆和外接圆的时候，就想图个方便，将三角形画成等边三角形，结果意外发现这个三角形的内切圆和外接圆是同心圆。有意思！再画一个不等大的等边三角形，作出它的内切圆和外接圆，发现它们仍是同心圆。于是，我建立假设，猜想三角形的内切圆和外接圆是同心圆这一性质适合于所有的三角形。接着来的任务就是验证猜想了。我画了一些腰与底边不相等的等腰三角形和各边都不相等的任意三角形，作出它们的内切圆和外接圆，发现腰与底边不相等的等腰三角形的内切圆和外接圆的圆心都在底边的高上，但圆心不同，而任意三角形的内切圆和外接圆关于圆心的规律一点没有。我有些丧气，猜想失败了。可为什么不成立
2、呢？我的心缓缓归于平静，试着用自己所学的数学知识来解析这一现象：等边三角形的角平分线和对边的中垂线是共线的，因此它的三个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）和三边的中垂线的交点（外接圆的圆心）是同一个点（即内切圆和外接圆是同心圆）；腰与底边不相等的等腰三角形的顶角的平分线和底边的中垂线共线，而底角的平分线和腰的中垂线不共线，因此它的三个角的角平分线的交点（内切圆的圆心）和三边的中垂线的交点（外接圆的圆心）都在底边上的高（也是底边的中垂线）上，但不是同一个点（即内切圆和外接圆不是同心圆）；各边都不相等的三角形的角平分线和对边的中垂线是不共线，因此它的内切圆和外接圆的圆心没有一定规律。同时，在分析上
3、面现象的过程中，我们很容易发现等边三角形的外接圆的半径等于内切圆的半径的 2 倍。而通过尝试画图，便可以发现非等边三角形的外接圆的半径均大于内切圆的半径的 2 倍。不过这仅仅是靠眼睛观察而知，我一时还不能证明它的准确性。我带上我的草稿去问教数学的爸爸，爸爸抿着嘴眯着眼浅笑，有些神秘：“哟，不可小觑呵！这么讨巧，一不小心就生出个小欧拉呢。” 原来这结论绝非我首创，18 世纪人欧拉就提出并证明了它著名的欧拉不等式：若三角形的外接圆的半径为 R，内切圆的半径为 r，则 R2r。它可以看作著名的 4 个欧拉公式中的公式2的推论。欧拉公式2：设ABC 外接圆的半径为 R，内切圆的半径为 r,两圆心之间的
4、距离为d，则 d=R(R-2r),当且仅当ABC 为正三角形时 d=0。证：设 O、I 分别为ABC 的外心和内心，延长 AI 交外接圆于 D，则 D 是弧 BC 的中点，设 =1/2BAC，=1/2ABC，则BCD=BAD=，DBC=DAC=BID=+=DBIBDI 是等腰三角形ID=BD由相交弦定理，得 R-d=DIIA=DBIA=2Rsinr/sin=2Rr故 d=R(R-2r)，且 R2r，当且仅当ABC 是正三角形时，d=0，此时，R=2r.从欧拉公式2的证明过程可知：由于 d=R(R-2r) 0，所以 R2r，当且仅当三角形是等边三角形时，d=0，此时有 R=2r。虽然，从上面的计
5、算过程已经可以说明：R2r。但我总觉得“R2r”说理过程有些不知所云。所以，我想应用更严密的逻辑思维来证明“R2r”。于是，我设计了如下方案：方案 1：直接利用平面几何知识证明。方案 2：建立直角坐标系，利用平面解析几何知识，通过计算直线的交点的坐标，算出 R 和 r 的表达式而证之。然而随着问题的深入，按照方案 1 的思路总让人不知从何下手，难以找出解决问题的方法。而方案 2 中又存在新的麻烦：R、r 的表达式过于繁琐，且难以比较大小，无法证明R2r。万般无奈之下，我上网查阅他人证明欧拉不等式的方法。但老师们采用的都是高中学习的三角函数知识，我看得是丈二和尚摸不着头脑，一头雾水。我在一条唤做
6、迷茫的荆棘路上久久徘徊。直至有一天，班长在课堂上提出：能运用特殊方法来解老师布置的一道几何题。我脑子里灵光一现：如果用常规的数学思想方法解决问题时遇到了困难，那么我能不能考虑一下它的特殊情况？或许就能找出解决问题的办法。于是我另起炉灶，把问题分成两步：（1）当三角形ABC 是等腰三角形时；(2)当ABC 不是等腰三角形时。经过一番思考，我终于证明了欧拉不等式，证明如下：证明：（1）当ABC 是等腰三角形时，设ABC 的内切圆的半径为 r，外接圆的半径为 R，高 AH 为 h 则RtAEFRtADCRtAHC Rhhrh22)(r= hRR2)()(sinB=sinD= hADC2)(h=2Rs
7、in B2 r=RRBRB21)(cos2 cos2ssinin22 当 cosB= ，即ABC 是等边三角形时，r 取得最大值 R，命题成立。21(2)当ABC 不是等腰三角形时，在圆内作与ABC 同底等高的三角形A BC，在圆上作与ABC 同底得等腰A B C，（如图）1 1设：等腰A BC 与等腰ABC 的外接圆的半径为 R（它们共外接圆），内切圆的半径分别为 r 、r，ABC 的面积为 S，周长为1L，A BC 的外接圆的半径为 R ，内切圆的半径分别为 r ，面1 1积为 S ，周长为 L 。1ABC 与A BC 等高同底 S= S 1A B+A CAB+AC（用数形结合方法可以看出
8、来，或平面几何知1识证明：延长 CA 至 P，使 A P=A C，连结 AP，易证A APPA AB，得到 AB=AP，所以 A11 11B+A C=CA +A P=PCAC+AP=AB+AC）L L12S=Lr，2S =L r rr1 12r R （第一步已证） 2rRA BC 在圆内 R R1 12rR据（1）、（2）证明可知：2rR 当仅当ABC 是等边三角形时取等号。（命题得证）问题的解决让我沐浴在成功的喜悦之中，然而，在一切趋于平静之后，我又开始思考自己在解决问题的过程中的所感所悟。有时，常用的一般的数学方法和技能不是打开数学问题的万能钥匙。从特殊的视觉入手，往往会起到意想不到的效果，解决问题事半功倍，这就是数学的奇妙所在。从问题的特殊情况开始考虑，然后推广到一般情况，再将一般情况在转化到特殊情况进行考虑。整合知识点和数学思想方法，能为今后分析问题和解决问题提供帮助。在解决问题过程中，我体验了发现、探索、创造的乐趣，尝试了丰收的喜悦，增强了学好数学的信心，为自己以后的学习和工作打下良好的基础。这正是我们学习数学的真正的目的。指导老师：洪慧林
