1、第 0 页（共 18 页）不等式解法探究摘要：不等式可以求最大值、最小值，给我们的日常生活带来了效率。不等式在高中数学中不是孤立存在的，在函数、数列、解析几何、平面向量，几乎所有的章节都有不等式的知识，可以说不等式贯穿了整个高中数学，由此可见不等式的重要性。不等式题目呈现不同形式，包括函数定义域、解不等式、与简易逻辑相结合、与圆锥曲线相结合、与数列相结合、求取值范围、均值不等式。本文针对各种不等式，给出一些解法供大家学习参考。关键词：不等式；解法；探究Abstract: Inequality can be maximum, minimum, bring to our daily life ef
2、ficiency. Inequality in the high school math do not exist in isolation, in function and sequence, analytic geometry, plane vector and so on , almost all the chapters have the knowledge of the inequality, to say the inequality throughout the high school mathematics, the importance of this inequality.
3、 Inequality present different forms, including function domain, inequality, combined with a simple logic, combined with a conic, combined with a progression, scope, and the mean inequality. This paper in view of the various kinds of inequality, I give some solution to consult for everybody to learn.
4、Key words: inequation ; solutio;explore第 1 页（共 18 页）引言不等式是高中数学学习中的一个重要内容，也是一大难点。论文归纳了高中不等式的类型，并以具体题目为例来分析和探究不等式的解题方法，以促进高中不等式的学习。在论文中，作者将会介绍一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、简单高次不等式、指数不等式、对数不等式、无理数不等式这七种不等式的具体解法，让读者建立起基本的不等式思维。1、 一元二次不等式的解法1.1 一元二次不等式的定义含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式。它的一般形式是 或 （ ）其中 是实数0a2cbx
5、0a2cbxacbx2a域内的二次三项式。1.2 一元二次不等式解法的步凑第一步、将二次项系数化为正数；第二步、判断相应的一元二次方程是否有实数根；第三步、根据根的情况写出相应的解集。1.3 一元二次不等式四种解法例题讲解解法一（十字相乘法）当 时，04b2ac一元二次方程 有两个实根，那么 可分解为如2bx cbx2a的形式。)(a21x这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。例 1、试解一元二次不等式067x2第 2 页（共 18 页）解：利用十字相乘法：得 023x然后，分两种情况讨论。1） ,得 （不成立）2x
6、5.且2） 0,3得 .1且得最终不等式的解集为： 2x5.解法二（配方法）此外，亦可用配方法解一元二次不等式。如上面例题中：67x25.36025.3-2 16.x-75.12.06.x2两边开平方，得： 且25.7.125.07.1x且得不等式的解集为2.51|x解法三（图像法）一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。第 3 页（共 18 页）通过观察图象可知，二次函数图象与 X 轴的两个交点，然后根据题中所需求“0“而推出答案。求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次
7、函数的形式，求出函数与 X 轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行 解题，使得问题简化。解法四（数轴穿根）数轴穿根：用穿根法解高次不等式时，就是先把不等式一端化为零，再对另一端分解因式，并求出它的零点，把这些零点标在数轴 上，再用一条光滑的曲线，从 x 轴的右端上方起，依次穿过这些零点，这大于零的不等式的解对应这曲线在x 轴上方部分的实数 x 得起值集合，小于零的这相反。这种方法叫做序轴穿根法，又叫“穿根法”。口诀是“从右到左，从上到下，奇穿偶不穿。 ”步骤:1.把二次项系数变成正的(不用是 1,但是得出者为正解)；2.画数轴,在数轴上从小到大依次标出所有
8、根；3.从右上角开始,一上一下依次穿过不等式的根，奇过偶不过(即遇到含 X 的项是奇次幂就穿过,偶次幂就跨过。后文有详细介绍)；4.注意看看题中不等号有没有等号,没有的话还要注意写结果时舍去使不等式为 0 的根。例如：不等式 （最高次项系数一定要为正，不为正要化成正的)023x2分解因式: ；1x找方程 的根: 或 ；12x画数轴,并把根所在的点标上去；注意，此时从最右端开始,从 2 的右上方引出一条曲线,经过点 2，继续向左绘制,类似于抛物线，再经过点 1，向点 1 的左上方无限延伸；第 4 页（共 18 页）看题求解,题中要求求小于等于 0 的解，那么只需在数轴上观察哪一段在数轴及数轴以下
9、即可,观察可以得到： 。 2x12、 绝对值不等式的解法2.1 绝对值不等式的性质在不等式应用中，经常涉及质量、面积、体积等，也涉及某些数学对象（如实数、向量）的大小或绝对值。它们都是通过非负数来度量的。表示数轴上的点 a 与原点的距离叫做数 a 的绝对值。abb两个重要性质：1. ab02. 可逆推出 aab，当且仅当 时左边等号成立， 时右边等0b0ab号成立。2.2 绝对值不等式的几何意义1.当 同号时它们位于原点的同一边，此时 与 的距离等于它们到原点b,a ab-的距离之和。 2.当 异号时它们分别位于原点的两边，此时 与 的距离小于它们到原, -点的距离之和。( 表示 与原点的距离
10、，也表示 与 之间的距离)ba ab-2.3 绝对值不等式三种解法例题讲解表 2.3 绝对值不等式的三种解法同解变形不等式 xgfxgfxgf第 5 页（共 18 页）解法讨论法，就是令绝对值中的式子等于 0，分出 x 的段，然后根据每段讨论得出的 x 值，取交集，综上所述即可数形结合法，即在数轴上将各点画出，将数转换为长度的概念求解平方法，就是在不等式左右两边同时平方同解变形 或xgfgfxgfx22xgf例 2、解不等式 .273解：原不等式转化为 ，即 ，得 .273x4210x5x所以原不等式的解集为 .5例 3、解不等式 .52x解：原不等式转化为 ，则 ，得 .2x05x所以原不等
11、式的解集为 .05x例 4、解不等式 .（注：此题提供了另外一种解绝对值不等式的方法。）1x解：分 、 两种情况讨论。当 时，绝对值直接去掉，在原不0x等式两边同乘以 得 ，解得 .当 时，原不等式转化为 ，20101x两边同乘以 得 ，即 ，解得 .所以原不等式的解集为 .x12x0例 5、不等式组 的解集是032xA. B. 0502xC. D. 6x3解：从各选项来看，只需解方程 或 .前者解得2x2x，后者解得 .于是选 C.（注：绝对值不等式的解集的端点值必为方程0x6x的解。）例 6、解不等式 .4321第 6 页（共 18 页）解（方法一）：原不等式等价于 或 .解之43021x
12、430()21x得 或 ，即 或 .所以原不等式的解集为 .342x12x13 3x或解（方法二）：原不等式转化为 或 ，解之得421x43(21)原不等式的解集为 .123x或3、 分式不等式的解法3.1 分式不等式的定义与 分 式 方 程 类 似 ， 像 或 （ 其 中 、 g(x)为 整 式0/xgf0/xgf f且 不 为 0） 这 样 ， 分 母 中 含 有 未 知 数 的 不 等 式 称 为 分 式 不 等 式 。xg3.2 分式不等式解法的核心思想表 3.2 分式不等式的解法不等式()0fxg()0fxg()0fxg()0fxg等价转化ff()fx()fx如上表中，将分式不等式转
13、化为整式不等式，然后运用整式不等式的方法求解。这就是分式不等式解法的核心思想。3.3 分式不等式例题讲解例 6、解不等式 .21x解（方法一）：分 与 两种情况讨论。当 时，原不等式转化1x1x为 ，解之得 ，但前提是 ，所以此时不等式的解为2()x第 7 页（共 18 页）；当 时，原不等式转化为 ，解之得 ，但前提是12x12(1)x2x，所以此时解为 .综上所述，原不等式的解集为 .解（方法二）：把不等式右边的 移到左边并通分得 ，再等价01x转化为 ，解此一元二次不等式得到原不等式的解集为(2)10x.1例 7、解不等式 .2x解（方法一）：原不等式等价于 或 或 .解之得102x0x
14、1.1x解（方法二）：原不等式等价于 ，解之得 .(1)2x12x4、 简单高次不等式的解法4.1 简单高次不等式的概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式。常用的解法有化为不等式组法、列表法和根轴法（串根法或穿针引线法）来求解。4.2 简单高次不等式三种解法例题讲解方法一（列表法）解题步骤：将不等式化为 形式（各项 x 的符号化)0().(x21nx“+”），令 ，求出各根，不妨称之为分界)点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n 个分界点把数轴分成n+1 部分；第 8 页（共 18 页）按各根把实数分成的 n+1 部分，由小到大横向排列，相
15、应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号；看下面积的符号写出不等式的解集.例 9、解不等式：(x-1)(x+2)(x-3)0；解：检查各因式中 x 的符号均正；求得相应方程的根为：-2，1，3；列表如下：表 4.2 (x-1)(x+2)(x-3)0 各因式积2x1x3x3x2x 13各因式积 由上表可知，原不等式的解集为： 312xx或方法二（分组法）此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了 “交”与“并”的思想方法。方法三（根轴法又叫穿针引线法，串根法）将不等式化为 形式，并将各因式 x 的系数 )0().(x
16、21nx化“+”；(为了统一方便)求根，并在数轴上表示出来；由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么？原因为：当时不等式左侧恒为正。）；x若不等式（ 的系数化 “+”后）是“ ”,则找 “线”在 轴上方的区x0x间；若不等式是“ ”,则找“线”在 轴下方的区间 .0x第 9 页（共 18 页）注意：奇穿偶不穿例 10、解不等式 054321xxx解：解方程 得根分别为 ，在数1,2345轴上标根如下：图 4-1 数轴上标根054321xxx然后穿针引线，记住穿针口诀（从右到左、从上到下、奇穿偶回）如下：图 4-2 数轴上穿针引线054321xxx不等式大于零取数轴上方的部分，如下：图 4-
17、3 数轴上取值054321xxx于是原不等式的解集为 或 或例 11、解不等式 .253()()()xxx解：解方程 得根分别为 ，14501,2345在数轴上标根如下：第 10 页（共 18 页）图 4-4 数轴上标根253(1)()4()0xxx然后穿针引线，记住穿针口诀（从右到左、从上到下、奇穿偶回），注意到此题与上题的区别，根为 的那一项的指数为 ，为偶数；根22为 的那两项的指数均为奇数；其余根所在项的指数均为 ，为奇3,4 1数。于是此题穿针引线的方法与上题略有不同，指数为奇数的穿过数轴，指数为偶数的不能穿过数轴，应该迂回。此题只有 要迂回，2具体过程如下：图 4-5 数轴上穿针引
18、线253(1)()4()0xxx不等式大于零取数轴上方的部分，如下：图 4-6 数轴上取值253(1)()4()0xxx于是原不等式的解集为 .15或 或第 11 页（共 18 页）例 12、解不等式 .2601x解：根据分式不等式的解法，原不等式等价于 ，2(6)(10x即 ，画数轴标根及穿针引线如下：(3)2(1)010xx图 4-7 数轴标根及穿针引线2601x于是解得 ，所以原不等式的解集为213xx或 213xx或5、 指数不等式的解法5.1 指数不等式的解法归纳表 5.1 指数不等式的解法5.2 指数不等式例题讲解例 13、解不等式 .21x解：原不等式转化为 ，等价于 ，解得20
19、1x20x.0x例 14、解不等式 .24730x()()fxgxa()()fxgxa()()fxgxa()()fxgxa01a第 12 页（共 18 页）解：注意到 ，令 ，则原不等式转化为 ，解一24xx2xt 2730t元二次不等式得 ，即 ，解得13或 13xx或 1log2x或6、 对数不等式的解法6.1 对数不等式的定义对数不等式是一种两边由对数构成的不等式.6.2 对数不等式例题讲解例 15、解不等式 .12log()0x解：原不等式即 ，则有 ，解得 .12log01x12x例 16、解不等式 .12l()x解：原不等式即 ，则有 ，解得 12l2x32x例 17、解不等式 .
20、8log3x解：原不等式即 ，解得81log4104x7、 无理数不等式的解法7.1 无理数不等式的解法归纳表 7.1.1 无理不等式的解法不等式()fxg()fxg()()fxg等价转化 2()0fxg 2()0()xfxfg或 ()0fxg第 13 页（共 18 页）表 7.1.2 无理数不等式解法的等价转化不等式 ()0fxg()0fxg等价转化 f或7.2 无理数不等式例题讲解例 18、解不等式 .343x解：原不等式等价于 ，解得 ，即 .034x4312x3x例 19、解不等式 .12x解（方法一）：原不等式等价于 ，解得 ，即2210()x12504x或.54x例 20、解不等式
21、 .12x解：原不等式等价于 ，解得 .22100()xx或 514x补充：此处提供例 19 与例 200 的另一种方法：数形结合法。该法简单又直观，宜首选。在很多解不等式的题中都能用此法。大致步骤为先识别是哪两个函数在比较函数值，再在同一个坐标系中把这两个函数的图象画出来，最后只需观察哪个函数在哪些范围内图象高，在哪些范围内图象低，图象高的说明函数值越大，图象低的说明函数值越小。比如，此题中涉及的两个函数分别是 与1xy，在同一坐标系中作出函数 与 的图象如下：12xy 1xy2xy第 14 页（共 18 页）图 7-1 与 的图象1xy2xy从图象可以得知（图象高，函数值大；图象低，函数值
22、小）：当 时， ；51,4x12x当 时， ；当 时， .5,4x12x8、 综合型不等式例题讲解例 21、解不等式 .21log0x.解：原不等式即 ，可等价转化为22log1xx10xx或解之得 22011或解得 0xx或或即 .12第 15 页（共 18 页）例 22、解不等式 .12log204xx解：原不等式即 ，可等价转化为1 12 2l logxx，整理得 ，即14xx 30xx，因 恒成立，所以不等式转化为3102xx12x，即 ，继续转化为 ，解得1x3x12log3x.12log39、 总结在上面的论文中，我们了解到了不等式的各种解法，那么我们如何把它们运用到实际生活中去呢
23、？这是一个实践的过程，正所谓“学以致用”。高中数学新课标的基本理念是注重高中数学的基础性，与时俱进信息时代的到来，使数学得到更广泛的应用，体现数学的文化价值，数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门学科，它是人类文化的重要组成部分之一，不仅是研究其它学科，以及人们参加社会生产和生活的必不可少的工具，还具有极高的美学价值。本论文的内容很好的实现了新课标的要求，通过与现实生活中资源利用问题相结合，不仅将基本不等式的知识再次巩固，将基础知识落实到位，还让读者通过基本不等式模型去解决实际生活中的最值问题，感受到数学之美，数学之价值，并意识运用数学知识可以帮助我们解决一些生活中的难题，在增强读者对于
24、资源节约的使命感、责任感的同时，还帮助读者树立了资源节约意识的美德，很好的培养了让读者爱数学、爱资源、爱社会的思想情操。第 16 页（共 18 页）参考文献1 童美亚. 新疆内地高中班预科自编教材方程与不等式编写及实施跟踪研究D. 华东师范大学, 2011.2 杨庆华. 浅谈矛盾转化观点在数学教学中的运用J. 保山师专学报, 1998(2):44-44.3 谭德盛. 不等式的解法J. 黑龙江医药, 1980(6):3-5.4 曹志新. 高中生解不等式困难点的研究D. 东北师范大学, 2013.5王众杰. 数学师范生教学实践调查问卷设计J. 洛阳师范学院学报, 2013(5):121-123.6
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